2020年华师大版八年级下数学全册知识点总结
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1、 1 华师大版八年级下册数学知识点总结华师大版八年级下册数学知识点总结 第 16 章 分式 16.1 分式及基本性质 一、分式的概念一、分式的概念 1.分式的定义:如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式。整式和分式统称有理式。 对于分式的概念的理解重点把握三点: (1)分式 B A 中的 A、B 是整式; (2)分母 B 中必须含有字母,这是区分整式与分式的主要依据; (3)整式 B0。 2.分式有意义、无意义的条件 (1)分式有意义的条件:分式的分母不等于 0; (2)分式无意义的条件:分式的分母等于 0。 3.分式的值为 0 的条件: 当分式的分子等于
2、 0,而分母不等于 0 时,分式的值为 0。即,使 B A =0 的条 件是:A=0,B0。 4.分式的值为正或负的条件: 值为正:分子和分母同为正或同为负。值为负:分子和分母异号。 二、分式的基本性质二、分式的基本性质 1.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或都除以)同一个不等于零 的整式,分式的值不变。 2.约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分 式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。 2 确定公因式的方法: (1)如果分子、分母都是单项式:先找分子、分母系数 的最大公约数,再找相同字母的最低次幂; (2)如果分子、分母中至少有一个多 项式就应先分解因式,然
3、后找出它们的公因式再约分; 注意:约分一定要把公因式约完,化为最简分式。 3.最简分式:约分后,分子与分母不再有公因式,分子与分母没有公因式的 分式称为最简分式。 通分:利用分式的基本性质,使分子和分母都乘以适当的整式,不改变分式 的值,把几个异分母分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是: 确定几个分式的最简公分母。 确定最简公分母的一般方法是: (1)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同 字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。 (2)如果各分母中有多项式,就先 把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同 因
4、式、不同因式三个方面去确定。 三、分式的符号法则:三、分式的符号法则: B A B A B A B A )( 1; B A B A B A B A )(2 16.2 分式的运算 一、分式的乘除法一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为 积的分母,如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。 即:).0, 0(db bd ac d c b a 2.分式的除法法则 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 即:).0, 0, 0(dcb bc ad c d b a d c b a 3 应用法则时要注意: (1)分式中的符号法则与有理
5、数乘除法中的符号法则相 同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正” ; (2)当分子 分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分; (3)分式乘除法的结果要化简 到最简的形式。 3.分式的乘方 分式的乘方等于把分子和分母分别乘方,用式子表示为: )., 0(为正整数nb b a b a n n n 提示:负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数。 二、分式的加减法二、分式的加减法 (一)同分母分式的加减法 1.法则:同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减。 用式子表示: 2.注意事项: (1) “分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子 都应有括号;当分子是单项式时括号可以
6、省略,但分母是多项式时,括号不能省 略; (2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 (二)异分母分式的加减法 1.法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。用式 子表示: bd bcad bd bc bd ad d c b a 。 2.注意事项: (1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母 分式的加减法变成同分母分式的加减法。 (2)若分式加减运算中含有整式,应视 其分母为 1,然后进行通分。 (3)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将 其分离为整式与真分式之和的形式参与运算,可使运算简便。 四、分式的混合运算四、分式的混合运算 b ca b c b
7、 a 4 注意事项: (1)有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活 运用交换律、结合律和分配律; (2)分式运算结果必须化到最简,能约分的要约 分,保证运算结果是最简分式或整式。 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 一、分式方程基本概念一、分式方程基本概念 1.定义:方程中含有分式,并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 二、分式方程的解法二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想:化分式方程为整式方程。 方法是:方程两边都乘以各分式的最简公分母,约去分母,化为整式方程求 解。 2.解分式方程的一般步骤: (1)去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母,约去分母,把原
8、 分式方程化为整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根。验根方法:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不 等于 0 的根是原分式方程的根,使最简公分母为 0 的根是原分式方程的增根,必 须舍去。 3.分式方程的增根。意义是:把分式方程化为整式方程后,解出的整式方程 的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根,这种根就是增根,因 此,解分式方程必须验根。 注意:分式方程的增根必须同时满足两个条件: (1)增根使最简公分母为 0; (2)增根使分式方程化为整式方程的跟。 4.利用增根的概念解题的步骤:先将分式方程化为整式方程,再由最简公分 母为 0 求出增根,最后将增根代入所化
9、的整式方程求解。 5 5.分式方程无解,应考虑两个方面: (1)由分式方程化成整式方程后,此整式方程无解; (2)原分式方程有增 根,方法同上。注意分式方程有增根与分式方程无解既有区别又有联系。 三、分式方程的应用三、分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤如下: (1)审题。理解题意,弄清已知条件和未知量; (2)设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量,有直接设法和间接设 法两种; (3)列方程。找出能够表示题目全部含义的等量关系,列出分式方程; (4)解方程。求出未知数的值; (5)检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根,还要检验未知 数的值是否符合题目的实际意。 “双重
10、验根” 。 (6)写出答案。 可以简单地说成:审、设、列、解、验、答。 16.4 零指数幂与负整数指数幂 一、零指数幂一、零指数幂 1.定义:任何不等于零的实数的零次幂都等于 1,即 a0=1(a0) 。 2.特别注意:零的零次幂无意义。即 00无意义。若问当 x=_时,(x-2)0 有意义。答案是:x2。 二、负整数指数幂二、负整数指数幂 1.定义:任何不等于的数的-n(n 为正整数)次幂,都等于这个数的 n 次幂 的倒数,即 a-n= n a 1 (a0,n 为正整数) 2.注意事项: 6 (1)负整数指数幂成立的条件是底数不为 0; (2)正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂,
11、即指数幂的运 算可以扩大到整数指数幂范围; 包括:同底数幂的乘法(除法) 、幂的乘方、积的乘方 三、用科学计数法表示绝对值小于三、用科学计数法表示绝对值小于 1 的数的数 1.规则:绝对值小于 1 的数,利用 10 的负整式指数幂,把它表示成 a10-n (n 为正整数) ,其中 1|a|10。 2.注意事项: (1) n 为该数左边第一个非零数字前所有 0 的个数 (包括小数点前的那个零) 。 如-0.00021=-2.110-4 (2)注意数的符号的变化,在数前面有负号的,其结果也要写符号。 (3)写科学记数法的关键的是确定 10n的指数 n 的值。 第 17 章 函数及其图象 17.1
12、变量与函数 一、函数概念一、函数概念 1.常量和变量 在某一变化过程中,取值始终保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量 叫做变量。 2.定义:在某个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定 的值,y 都有唯一的值与其对应,那么,我们就说 y 是 x 的函数,其中 x 叫做自 变量,y 叫做因变量。 3.对函数概念的理解,主要抓住三点: (1)有两个变量; 7 (2)一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化; (3)自变量每确定一个值,因变量就有一个并且只有一个值与其对应。 二、函数的表示法:二、函数的表示法: (1)列表法; (2)图象法; (3)解析法。 三、求函
13、数自变量的取值范围三、求函数自变量的取值范围 1实际问题中的自变量取值范围,按照实际问题是否有意义的要求来求。 2用数学式子表示的函数的自变量取值范围 (1)解析式为整式的,自变量的取值范围是全体实数; (2)解析式为分式的,自变量的取值范围是使分母不等于 0 的实数; (3)解析式为二次根式时(算术平方根) ,自变量的取值范围是使被开方 数为非负数的实数;解析式是立方根的,自变量的取值范围是全体实数。 (4)解析式同时出现分式和算术平方根,必须同时满足其有意义。 四、函数关系式:四、函数关系式: 用来表示函数关系的等式叫做函数关系式(也叫解析式) 。 五、函数值:五、函数值: 指自变量取一个
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