2020年人教版九年级数学全册知识点总结(七年级-九年级)
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1、 第 1 页 一一、实数实数 考点一、实数的概念及分类考点一、实数的概念及分类 实数的分类:1、有理数(1)整数(2)分数;2、无理数 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果 a 与 b 互为相反数,则有 a+b=0。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|0。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数,则有 ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 考点考点三三、科学记数法和近似数、科学记数法和近似数 1、有效数字 从左边第一个不是零的数字起到
2、右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做 n a 10的形式,其中101 a,n 是整数,这种记数法叫做科学记数法。 考点考点四四、平方根、算数平方根和立方根、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a, 那么这个数就叫做a的平方根 (或二次方跟) , 正数a的平方根记做 “a” 。 2、算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作“a” 。 正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 3、立方根 如果一个数的立方等于 a,那么这个数就叫做 a 的立方根(或 a 的三次方根) 。 注意: 33 aa,这说
3、明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点五、考点五、数轴数轴 数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。 考点六、实数的运算考点六、实数的运算 (做题的基础)(做题的基础) 1、加法交换律 abba 2、加法结合律 )()(cbacba 3、乘法交换律 baab 4、乘法结合律 )()(bcacab 5、乘法对加法的分配律 acabcba )( 6、实数的运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 第 2 页 二二、整式整式 考点一、整式的有关概念考点一、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字
4、母连接而成的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 考点二、多项式考点二、多项式 1、多项式:几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母 的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 注意: (1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。 (2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧, “整体”代入。 2、同类项 所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 (1)括
5、号前是“+” ,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。 (2)括号前是“” ,把括号和它前面的“”号一起去掉,括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法: (1)去括号; (2)合并同类项。 整式的乘法:),(都是正整数nmaaa nmnm ),(都是正整数)(nmaa mnnm )()(都是正整数nbaab nnn 22 )(bababa 222 2)(bababa 222 2)(bababa 整式的除法:)0,( anmaaa nmnm 都是正整数 考点三、因式分解考点三、因式分解 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做
6、把这个多项式分解因 式,它是整式乘法的逆过程。 2、因式分解的常用方法 (1)提公因式法:)(cbaacab (2)运用公式法:)( 22 bababa; 222 )(2bababa; 222 )(2bababa (3)分组分解法:)()()(dcbadcbdcabdbcadac (4)十字相乘法:)()( 2 qapapqaqpa 第 3 页 考点四、分式考点四、分式 1、分式的概念 2、分式的性质 (1)分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 (2)分式的变号法则: 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式
7、的运算法则 ; bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a );()(为整数n b a b a n n n ; c ba c b c a bd bcad d c b a 考点五、二次根式考点五、二次根式 1、二次根式 式子)0( aa叫做二次根式, 二次根式必须满足: 含有二次根号 “” ; 被开方数 a 必须是非负数。 2、最简二次根式 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤: (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式, 然后利用分母有理化进行化简。 (2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得
8、尽方的因数或因式开出 来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 (1))0()( 2 aaa )0( aa (2) aa2 )0( aa (3))0, 0(babaab (4))0, 0(ba b a b a 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样, 先乘方, 再乘除, 最后加减, 有括号的先算括号里的。 第 4 页 三三、方程方程、不等式、不等式(组)(组) 考点一、一元一次方程考点一、一元一次方程(不等式不等式) 1、等式的性质 (1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整
9、式,所得结果仍是等式。 若 A=B,则 A+C=B+C (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零) ,所得结果仍是等式。 若 A=B,则 A*C=B*C(C 不为 0) 2、解一元一次方程)为未知数,(0ax0bax 3、解一元一次不等式并用数轴表示不等式的解集 解一元一次方程(不等式)的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,将系数化为 1 4、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 注: (1)在不等式中,不等号两边加上(减去)同一个数,不等式符号不改向; AB,A+CB+C 或
10、AB,A-CB-C (2)在不等式中,不等号两边同乘以一个正数,不等号不改向;例如:AB,A*CB*C(C0) (3)在不等式中,不等号两边同乘以一个负数,不等号改向;例如:AB,A*CB*C(C0) 如果不等号两边同乘以 0,那么不等号改为等号 考点考点二二、二元一次方程组、二元一次方程组 二元一次方正组的解法(1)代入法消元(2)加减法消元 考点考点三三、一元二次方程、一元二次方程 一元二次方程的一般形式:)0(0 2 acbxax,它的特征是:等式左边是一个关于未知数 x 的 二次多项式,等式右边是零,其中 2 ax叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系 数;
11、c 叫做常数项。 考点考点四四、一元二次方程的解法、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解 形如bax 2 )(的一元二次方程。 根据平方根的定义可知,ax是b的平方根, 当0b时,bax, bax,当 b0 时,方程有两个不相等的实根;=0 时,方程有 两个相等的实根;0 时,方程没有实根。 考点考点六六、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(0 2 acbxax的两个实数根是 21 xx,那么 a b xx 21 , a c xx 21 。也就是 说,对于任何一个有实数根
12、的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的 相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点考点七七、分式方程、分式方程 1、分式方程 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。它的一般解法是: (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母(2)解所得的整式方程 (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方 程的根。 3、分式方程的特殊解法:换元法 四四、统计与概率统计与概率 考点一、平均数考点一、平均数 平均数的概念及计算方法 (1)平均数:当所给数据, 21n xxx比较分散时,一般
13、选用定义公式:)( 1 21n xxx n x (2)加权平均数法: n fxfxfx x kk 2211 ,其中nfff k 21 。 考点二、统计学中的几个基本概念考点二、统计学中的几个基本概念 1、 总体 2、个体 3、样本 4、样本容量 5、样本平均数 6、总体平均数 7、众数 8、中位数 考点考点三三、方差、方差 方差的概念:在一组数据, 21n xxx中,各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数,叫做这组 数据的方差。通常用“ 2 s”表示,即)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 第 6 页 作用:描述数据的波动性 考点考点四四、统计图统计图 条形统计图
14、一般简称条形图,也叫长条图或直条图。条形统计图是用条形的长短来代表数量的大小, 便于比较。 扇形统计图:用圆表示总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总 体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分 所对应的扇形圆心角的度数与 360 度的比。 折线统计图:是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次 连接起来,以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化。折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且 还能够清楚的表示出数量增减变化的情况。 各类统计图的优劣:条形统计图:能清楚表示出每个项目的具体
15、数目;折线统计图:能清楚反映事物 的变化情况;扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 考点考点五五、频、频数数分布分布 1、研究频数分布的一般步骤及有关概念 (1)频数分布的有关概念 极差:最大值与最小值的差频数:落在各个小组内的数据的个数 频率:每一小组的频数与数据总数(样本容量 n)的比值叫做这一小组的频率 (2)研究样本的频数分布的一般步骤是: 计算极差(最大值与最小值的差) 决定组距与组数 决定分点 列频数分布表 画频数分布直方图 考点考点六六、确定事件和随机事件、确定事件和随机事件 1、必然发生的事件 P(A)=1 2、不可能发生的事件 P(A)=0 3、随机事件 0
16、=P(A)0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大。 b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限,y 随 x 的增大而增大。 K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小 第 8 页 b0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (2)当 k0 时,y 随 x 的增大而增大 (2)当 k0 k0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x0, y 的取值范围是 y0; 当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质 (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; (2)对称轴是
17、 x= a b 2 ,顶点坐标是( a b 2 , a bac 4 4 2 ) ; (3)在对称轴的左侧,即当 x a b 2 时,y 随 x 的增大而增大,简记左减右 增; (4)抛物线有最低点,当 x= a b 2 时,y 有最小 值, a bac y 4 4 2 最小值 (1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (2)对称轴是 x= a b 2 ,顶点坐标是( a b 2 , a bac 4 4 2 ) ; (3)在对称轴的左侧,即当 x a b 2 时,y 随 x 的增大而减小,简记左增 右减; (4)抛物线有最高点,当 x= a b 2 时,y 有最 大值, a bac y 4 4 2
18、 最大值 5、二次函数)0,( 2 acbacbxaxy是常数,中,cb、a的含义: a表示开口方向:a0 时,抛物线开口向上 a0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当=0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当0 时,图像与 x 轴没有交点。 考点考点六六、二次函数的解析式、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: 第 11 页 (1)一般式:)0,( 2 acbacbxaxy是常数, (2)顶点式:)0,()( 2 akhakhxay是常数, (3) 当抛物线cbxaxy 2 与 x 轴有交点时, 即对应二次好方程0 2 cbxax有实根 1 x和 2 x 存在时, 根据二次三项式的分解
19、因式)( 21 2 xxxxacbxax, 二次函数cbxaxy 2 可转化 为两根式)( 21 xxxxay。如果没有交点,则不能这样表示。 考点考点七七、二次函数的最值、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当 a b x 2 时, a bac y 4 4 2 最值 。 如果自变量的取值范围是 21 xxx,那么,首先要看 a b 2 是否在自变量取值范围 21 xxx内, 若在此范围内,则当 x= a b 2 时, a bac y 4 4 2 最值 ;若不在此范围内,则需要考虑函数在 21 xxx范 围内的增减性,如果在此范围内,y
20、随 x 的增大而增大,则当 2 xx 时,cbxaxy 2 2 2最大 ,当 1 xx 时,cbxaxy 1 2 1最小 ; 如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当 1 xx 时,cbxaxy 1 2 1最大 , 当 2 xx 时,cbxaxy 2 2 2最小 。 补充:补充: 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法) 点 A 坐标为(x1,y1) ,点 B 坐标为(x2,y2) ,则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为 2 21 2 21 yyxx 2、 函数平移规律:左加右减、上加下减左加右减、上加下减 六六、图形图形的初步的初步 考点
21、一、直线、射线和线段考点一、直线、射线和线段 1、几何图形:从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。 立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。 2、点、线、面、体 (1)几何图形的组成 点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 第 12 页 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。 体:几何体也简称体。 (2)点动成线,线动成面,面动成体。 注: 在棱柱中, 任何相邻的两个面的交线叫做棱, 侧棱是相邻两个侧面的交线, 棱柱的所有侧棱长相等
22、, 棱柱的上下底面的形状相同,侧面的形状都是长方体。N 棱柱就是底面图形有 N 条边的棱柱。 截一个几何体:用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面。 3、线:线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线 段的两端无限延长就形成了直线。 点、直线、射线和线段的表示 在几何里,我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 4、直线的性质 (1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有 一条直线。
23、 (2)过一点的直线有无数条。 (3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。 (4)直线上有无穷多个点。 (5)两条不同的直线至多有一个公共点。 5、线段的性质 (1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。 (2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。 (3)线段的中点到两端点的距离相等。 (4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理:与一条线段
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