第59讲 古典概型（学生版）备战2021年新高考数学微专题讲义

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1、 第 1 页 / 共 8 页 第第 59 讲：古典概型讲：古典概型 一、课程标准 1、了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性 2、理解古典概型的特点及其概率计算公式 二、基础知识回顾 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的 3如果 1 试验的等可能基本事件共有 n 个， 那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1 n， 如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事件 A 发

2、生的概率为 P(A)m n 4古典概型的概率公式（） P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 三、自主热身、归纳总结 1、掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于（ ） A 1 18 B 1 9 C 1 6 D 1 12 2、2019 年中国北京世界园艺博览会于 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京市延庆区举办如果小明从中国馆、国 际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为 ( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 3、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数从

3、1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 1 20 4、 （多选题） 从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，记事件“选中的 2 人都是女同的概率 第 2 页 / 共 8 页 为 1 P； 事件“选中2人都是男同的概率为 2 P； 事件“选中1名男同名女同的概率 3 P 则下列选项正确的是 （ ） A 123 PPP B 23 2=P P C 12 2PP D 2 123 PP P 5、一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为 1，两个编号为 2，三个编号为 3

4、现从 中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于 4 的概率是_ 6、在运动会火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，4，5 的 5 名火炬手若从中任选 3 人，则选出的火炬手 的编号相连的概率为_ 四、例题选讲 考点一 随机事件的概率与频率 例 1、某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其 上年度出险次数的关联如下： 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3

5、 4 5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” ， 求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 第 3 页 / 共 8 页 变式 1、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸 奶降价处理， 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温(单位： ) 有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温

6、位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果 最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数 据，得下面的频数分布表： 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写 出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 变式 2、某超市随机

7、选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计 表，其中“”表示购买， “”表示未购买 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 第 4 页 / 共 8 页 方法总结： (1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数， 计算频率， 用频率估计概率 (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来

8、 反映随机事件发生的可能性的大小， 通过大量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)， 所以有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 考点二 古典概型的概率问题 例 1、 （1）(2020武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气， 如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节 气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的 6 幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到 绘制夏季 6 幅彩绘的概率是( ) A.1 6 B.1 4 C.1 3 D.1 2 （2）(2019兰州市诊断考试)某区要从参

9、加扶贫攻坚任务的 5 名干部 A，B，C，D，E 中随机选取 2 人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则 A 或 B 被选中的概率是( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D. 7 10 （3）(2019 武汉市调研测试)已知某口袋中装有 2 个红球，3 个白球和 1 个蓝球，从中任取 3 个球，则其中 恰有两种颜色的概率是( ) A.3 5 B.4 5 C. 7 20 D.13 20 变式 1、 （1） 甲盒子中有编号分别为 1， 2 的 2 个乒乓球， 乙盒子中有编号分别为 3， 4， 5， 6 的 4 个乒乓球 现 分别从两个盒子中随机地各取出 1 个乒乓球，则取出的乒乓球的编号

10、之和大于 6 的概率为_ 第 5 页 / 共 8 页 (2)从 1，2，3，4，5，6 这六个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率为_ (3)100 张卡片上分别写有 1， 2， 3， ， 100.从中任取 1 张， 则这张卡片上的数是 6 的倍数的概率是_ 变式 2、先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求： (1) 点数之和是 4 的倍数的概率； (2) 点数之和大于 5 且小于 10 的概率 变式 3、 在上例的条件下，求： (1) 点数之和出现 7 点的概率； (2) 出现两个 4 点的概率； (3) 点数之和能被 3 整除的概率 变式 4、若先后抛掷两次骰子得到

11、的点数分别为 m，n，求点 P(m，n)在直线 xy4 上的概率 第 6 页 / 共 8 页 方法总结：古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件的个数 m. (3)代入公式 P(A)m n求解 考点三 古典概型与统计的综合 例 3、 从某地高中男生中随机抽取 100 名同将他们的体重(单位： kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示) 由 图中数据可知体重的平均值为_ kg；若要从体重在60,70)，70,80)，80,90三组内的男生中，用分 层抽样的方法选取 12 人参加一项活动，再从这 12 人中选两人当正副队长，则这两人体重不在

12、同一组内的 概率为_ 变式 1、在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分用 xn表示编号为 n(n1，2，6)的同学所得成 绩，且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6 位同学的成绩 x6及这 6 位同学成绩的标准差 s； (2)从前 5 位同学中，随机地选 2 位同求恰有 1 位同学成绩在区间(68，75)中的概率 变式 2、某小组共有 A，B，C，D，E 五位同他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示： 第 7 页 / 共 8 页 A B C D E 身高 1.69 1.73 1.7

13、5 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于 1.80 m 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 m 以下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 m 以上且体重指标都在18.5，23.9)中的概 率 方法总结：解决此类题目步骤是：根据题目要求求出数据；列出所有基本事件，计算基本事件总数； 找出所求事件包含的基本事件个数；根据古典概型公式求解；明确规范表述结论 五、优化提升与真题演练 1、 （2018 年高考全国卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的

14、成果哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过 30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ） A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 2、(2019 全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个 爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 3、(多选)(2019 山东烟台期中)某学校共有 6 个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选

15、择一家餐 厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( ) A四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 5 18 第 8 页 / 共 8 页 B四人去了同一餐厅就餐的概率为 1 1 296 C四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为 25 216 D四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为2 3 4、 （2019 年高考全国卷理数）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 5、 （2018 年高考江苏卷）某兴趣小组有

16、2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选 中 2 名女生的概率为_ 6、 （2017 全国高考从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_ 7(2019 南昌市第一次模拟测试)2021 年广东新高考将实行 312 模式，即语文、数英语必选，物理、历 史二选一，政治、地理、化生物四选二，共有 12 种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若 他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为_ 8(一题两空)一只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个， 取得两个红玻璃球的概率为 7 15， 取得两个绿玻璃球的概率为 1 15， 则取得两个同色玻璃球的概率为_； 至少取得一个红玻璃球的概率为_