第54讲 抛 物 线(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 54 讲讲 抛抛 物物 线线 一、课程标准 1、了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、基础知识回顾 1、 、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的 焦点,直线 l 叫做抛物线的准线 2 、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)
2、 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2,0 F p 2,0 F 0,p 2 F 0,p 2 离心率 e1 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0,y0) | PF x0p 2 | PF x0p 2 | PF y0p 2 | PF y0p 2 3 、 与焦点弦有关的常用结论 第 2 页 / 共 6 页 设 A(x1,y1),B(x2,y2) (1)y1y2p2,x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (3) 1 |AF| 1
3、|BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 三、自主热身、归纳总结 1、抛物线 y24x 的准线方程为( ) A. x1 B. x1 C. y1 D. y1 2、 设抛物线 y28x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3、过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果 x1x26,则|PQ|( ) A9 B8 C7 D6 4、拋物线 y2ax2(a0)的焦点是( ) A. a 2,0 B.
4、a 2,0 或 a 2,0 C. 0, 1 8a D. 0, 1 8a 或 0, 1 8a 5、已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C 的方程为_ 6、设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值 范围是_ 四、例题选讲 考点一 抛物线的定义及其应用 第 3 页 / 共 6 页 例 1 (1)已知抛物线定点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线 xy20 上,则抛物线方程为_ (2)动圆过点(1,0),且与直线 x1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为_ 变式 1、(1)若抛物线 y24x 上
5、一点 P 到其焦点 F 的距离为 2,O 为坐标原点,则OFP 的面积为( ) A.1 2 B1 C.3 2 D2 (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点,若 B(3,2),则|PB|PF|的最小值为_ 变式 2、(1)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22x 上移动,M 为 AB 的中点,则点 M 到 y 轴的最 短距离为( ) A.1 2 B1 C.3 2 D2 (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点, F 为抛物线的焦点, 若 B(3,2), 则|PB|PF|的最小值为_ 方法总结:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与
6、点到直 线的距离的转化 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 构造出“两点之间线段最短”, 使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段 最短”原理解决 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质 例 2 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且|AF|4|FB|,O 为 坐标原点,若AOB 的面积为5 8,求 p 的值 第 4 页 / 共 6 页 变式 1、已知点 F1,F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点,点 P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交
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