第52讲 椭圆的几何性质(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质,能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa, byb bxb, aya 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0) 顶点 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0, a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2
2、的长为 2a,短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a, e(0,1) a,b,c 的关系 c2a2b2 2、焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分 别记作 r1|PF1|,r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0),r1aex0,r2aex0; (2)y 2 a2 x2 b21(ab0),r1aey0,r2aey0; (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2,
3、PF1F2的面积 第 2 页 / 共 9 页 为 S,则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时, 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|,当|y0|b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|; (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程
4、与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式,当: 0直线与椭圆相交; 0直线与椭圆相切; 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线 l 斜率,则 AB (1k2)|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 第 2 题图 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2
5、a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 第 3 页 / 共 9 页 3、中心为原点,一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆,截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2,则该椭圆的方程 是_ 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若椭圆的离心率为 2 2 ,焦距为 2,则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 5、 (一题两空)已知点 F1, F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点, 点 P 在此椭圆上, 则椭圆离心率为_,
6、 PF1F2的周长为_ 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 例 1 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A,左焦点为 F, 第(1)题图 上顶点为 B,若BAOBFO90,则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为_ 变式 1、(1)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2
7、a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120 ,则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 第 4 页 / 共 9 页 变式 2、(四川省乐山一中 2019 届质检)设 F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点,P 是椭圆 C 上的 点,圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A,B 两点,若 A,B 三等分线段 PF,则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 C. 10 4 D. 17 5 变式 3、 焦点在 x 轴上
8、的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 该三角形内切圆的半径为b 3,则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 变式 4、(2017 苏北四市一模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 方法总结:求离心率的值关键是找到等式关系,解出 a 与 c 的关系,进而求出离心率。常见的等式关系主要 有:1、题目中给出等式关系;2、通过几何关系如垂直或者夹
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