第45讲 空间向量在立体几何中的运用(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 45 讲讲 空间向量在立体几何中的运用空间向量在立体几何中的运用 一、课程标准 1、 能用向量方法解决点到直线、 点到平面、 相互平行的直线、 相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题, 2、能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 二、基础知识回顾 1. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量: 如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合, 则称此向量 a 为直 线 l 的方向向量 (2)平面的法向量:直线 l,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 的法向量 2. 空间位置关系的向量表示
2、位置关系 向量表示 直线 l1,l2的方向向量分别为 n1,n2 l1l2 n1n2n1n2 l1l2 n1n2n1n20 直线 l 的方向向量为 n,平面 的法向量为 m, l,nmnm0 l,nmnm 平面 ,的法向量分别为 n,m, ,nmnm ,nmnm0 3. 异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2的方向向量,则 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 范围 (0,) 0, 2 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 求法 cos a b |a|b| cos|cos |a b| |a|b| 4. 求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 的法向
3、量为 n,直线 l 与平面 所成的角为 ,则 sin|cosa,n 第 2 页 / 共 10 页 |a n| |a|n|. 5. 求二面角的大小 (1)如图,AB,CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 AB ,CD (2)如图,n1,n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ,的法向量,则二面角的大小 满足 |cos |cosn1,n2|,二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 三、自主热身、归纳总结 1、若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2),平面 的法向量为 n(2,0,4),则( ) A. l B. l C. l D. l 与 斜交 2、
4、已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是( ) A. (1,1,1) B. (1,1,1) C. 3 3 , 3 3 , 3 3 D. 3 3 , 3 3 , 3 3 3、在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为 BC 的中点,F 为 B1C1的中点,则异面直线 AF 与 C1E 所成角的正 切值为( ) A. 5 2 B. 2 3 C. 2 5 5 D. 5 3 4、如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别是 CD,CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的 大小是_ 第 3 页 / 共 10 页 5、已知
5、四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ABBC, ADABAA12BC,E 为 DD1的中点,F 为 A1D 的中点,则直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 _ 四、例题选讲 考点 异面直线所成的角 例 1 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA底面 ABCD,E 是 PC 的中点已知 AB2, AD2 2,PA2,求异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小 变式 1、 如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为_ 变式 2、(
6、2019 浙江高考)如图,已知三棱柱 ABC- A1B1C1,平面 A1ACC1平面 ABC,ABC90 ,BAC 30 ,A1AA1CAC,E,F 分别是 AC,A1B1的中点 (1)证明:EFBC; (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 第 4 页 / 共 10 页 方法总结:利用向量法求异面直线所成角的方法:(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确 定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦 值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 考点二 直线与平面所成的角 例 2 如图,在直棱
7、柱 ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90 ,ACBD,BC1,ADAA13. (1) 证明:ACB1D; (2) 求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 变式 1、如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,侧棱 AA1底面 ABCD,ABDC,AA11,AB3k,AD 4k,BC5k,DC6k(k0)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为6 7,求实数 k 的值 第 5 页 / 共 10 页 变式 2、 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,BF平面 ABCD,DE平面 ABCD,BF DE,M 为棱 AE 的中点 (1)求证:平面 BD
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