第35讲 等比数列(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 35 讲:等比数列讲:等比数列 一、课程标准 1.通过实例,理解等比数列的概念 2.探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题 4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母_q_表示 2. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列an的第 n 项 an,有公式 ana1qn 1,这就是等比数
2、列a n的通项公式,其中 a1 为首项,q 为公比第二通项公式为:anamqn m 3. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列an的前 n 项和公式:Sna1(1q n) 1q (q1)或 Sna1anq 1q (q1) 注意:(1)当 q1 时,该数列是各项不为零的常数列,Snna1; (2)有关等比数列的求和问题,当 q 不能确定时,应分 q1,q1 来讨论 4. 等比数列的性质 (1)若 a,G,b 成等比数列,则称 G 为 a 和 b 的等比中项,则 G2ab. (2)等比数列an中, 若 mnkl(m, n, k, lN*), 则有 am anak al, 特别地, 当 mn2p 时
3、, am an a2p. (3)设 Sm是等比数列an的前 n 项和,则 Sm,S2mSm,S3mS2m满足关系式(S2mSm)2Sm (S3mS2m) (4)等比数列的单调性,若首项 a10,公比 q1 或首项 a10,公比 0q1,则数列为递增数列;若首 项 a10,公比 0q0,dS40 B. a1d0,dS40,dS40 D. a1d0 2、若等比数列 an满足 anan116n,则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3、 2017 新课标高考我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:
4、一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( ) A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏 4、已知数列an满足 log2an11log2an(nN*),且 a1a2a3a101,则 log2(a101a102a110) _. 5、已知数列an是等比数列,Sn为其前 n 项和,若 a1a2a34,a4a5a68,则 S12_. 四、例题选讲 考点一 等比数列的基本运算 例 1、 (1) (2019 苏锡常镇调研 (二) ) 已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S, 若 62 2aa, 则 12 8 S S (2)(
5、2019 苏北四市、苏中三市三调)已知 n a是等比数列,前n项和为 n S若 32 4aa, 4 16a ,则 3 S 的值为 (3) 、(2019 南京、盐城一模)已知等比数列an为单调递增数列,设其前 n 项和为 Sn,若 a22,S37, 则 a5的值为_ 变式 1、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1a35 2,a2a4 5 4,则 Sn an_ 变式 2、2018 苏州模拟已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且S6 S3 19 8 ,a4a215 8 ,则 a3的值为_ 方法总结:(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量 a1,n,
6、q, an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解; (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,当 q1 时,an的前 n 项和 Snna1;当 q1 时,an的前 n 项和 Sna1 1qn 1q a1anq 1q 。 第 3 页 / 共 7 页 考点二 等比数列的性质 例 2、(1)已知等比数列an的各项为正数,且 a5a6a4a718,则 log3a1log3a2log3a10( ) A12 B10 C8 D2log35 (2)设等比数列an中,前 n 项和为 Sn,已知 S38,S67,则 a7a8a9等于( ) A.1 8 B 1 8 C.57 8
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