第31讲 平面向量的数量积(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 31 讲:平面向量的数量积讲:平面向量的数量积 一、课程标准 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量 a 和 b,如图所示,作 OA a, OBb,则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a
2、,b (2)范围:夹角 的范围是0, 当 0 时,两向量 a,b 共线且同向; 当 2时,两向量 a,b 相互垂直,记作 ab; 当 时,两向量 a,b 共线但反向 2平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b, 我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积), 记作a b, 即a b|a|b| cos ,其中 是 a 与 b 的夹角 规定:零向量与任一向量的数量积为零 3平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设 是 a,b 的夹角,则|b|cos 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影,|a|cos 叫做向量 a 在向量 b 的 方向上的投影 (2)
3、a b 的几何意义 第 2 页 / 共 7 页 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 4向量数量积的运算律 (1)交换律:a bb a. (2)数乘结合律:(a) b(a b)a (b) (3)分配律:(ab) ca cb c.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a b) c 不一定等于 a (b c),这 是由于(a b) c 表示一个与 c 共线的向量,a (b c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线 5平面向量数量积的性质 设 a,b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量, 是 a 与 e 的夹角,则 (1
4、)e aa e|a|cos . (2)aba b0. (3)当 a 与 b 同向时,a b|a|b|;当 a 与 b 反向时,a b|a|b|. 特别地,a a|a|2或|a| a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 6平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2), 为 a 与 b 的夹角,则 (1)|a| x21y21; (2)a bx1x2y1y2; (3)abx1x2y1y20;_ (4)cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 三、自主热身、归纳总结 1、已知直角坐标平面内,OA (1,8),OB (4,
5、1),OC (1,3),则ABC 是_( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 2、已知向量 a,b 满足|a|1,|b|2 3,a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 17 3 ,则 b (2ab)等于( ) A.2 B.1 C.6 D.18 3、已知向量 a(1,2),b(2,3)若向量 c 满足(ac)b,c(ab),则 c( ) A. 7 9, 7 3 B 7 3, 7 9 C. 7 3, 7 9 D. 7 9, 7 3 第 3 页 / 共 7 页 4、(2019 贵州省适应性考试)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB4,CD2,ABCD,ABA
6、D,E 是 BC 的中点,则 AB ( AC AE)( ) A8 B12 C16 D20 6、在ABCD 中,|AB |8,|AD |6,N 为 DC 的中点,BM 2MC ,则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 7、已知两个单位向量 a,b 满足|ab| 3|b|,则 a 与 b 的夹角为_ 8、已知|a|4,|b|8,a 与 b 的夹角是 120 . (1)计算:|ab|,|4a2b|; (2)当 k 为何值时,(a2b)(kab) 四、例题选讲 考点一 平面向量的数量积的运算 例 1、(1)已知非零向量 a,b 满足 a b0,|a|3,且 a 与 a
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