第25讲三角函数的图像与性质（学生版）备战2021年新高考数学微专题讲义

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1、第 1 页 / 共 10 页第第 25 讲：三角函数的图像与性质讲：三角函数的图像与性质一、课程标准 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在 2， 2 上的性质二、基础知识回顾 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数 ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)， 2，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) 在余弦函数 ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)， 2，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1). (

2、2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数 ysin x ycos x ytan x 图象定义域 R R R R x xR R，且xk 2 ，kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶性奇函数偶函数奇函数第 2 页 / 共 10 页单调性在 22k， 22k (kZ Z)上是递增函数，在 22k， 3 2 2k (k Z Z)上是递减函数在2k， 2k(kZ Z)上是递增函数，在 2k，2k(k Z Z)上是递减函数在 2k， 2k (kZ Z)上是递增函数周期性周期是 2k(k Z Z 且

3、k0)，最小正周期是 2 周期是2k(kZ Z 且 k0)，最小正周期是 2 周期是 k(kZ Z 且 k0)，最小正周期是对称性对称轴是 x 2k(k Z Z)，对称中心是(k，0)(k Z Z) 对称轴是 x k(kZ Z)，对称中心是 k 2，0 (k Z Z) 对称中心是 k 2 ，0 (kZ Z) 三、自主热身、归纳总结 1、函数 2tan 2 3 yx 的定义域为（） A | 12 x x B| 12 x x C |, 12 x xkkZ D|, 212 k x xkZ 2、在函数ycos|2x|，y|cosx|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中，最小

4、正周期为的所有函数为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A. B. C. D. 3、函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2 2 D. 0 4、下列关于函数 y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是( ) A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在 2， 2 上是增函数，在， 2 和 2，上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在 2，和， 2 上是增函数，在 2， 2 上是减函数 5、（安徽省淮南市 2019 届高三模拟）若函数 f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增，在区间 3， 2

5、上单调递减，则等于( ) A.2 3 B. 3 2 C2 D3 6、下列关于函数tan() 3 yx 的说法正确的是( ) A在区间 5 (,) 66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0) 4 成中心对称 D图象关于直线 6 x 成轴对称 7、函数 ycos 2x 4 的单调递减区间为_ 第 4 页 / 共 10 页 8、函数 y32cos x 4 的最大值为_，此时 x_. 四、例题选讲考点一、三角函数的定义域例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为变式 1、 (1)函数 y 1 tan x1的定义域

6、为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为_. 变式 2、函数 y sin xcos x的定义域为_ 方法总结：三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例，应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式 (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2简单三角不等式的解法第 5 页 / 共 10 页 (1)利用三角函数线求解 (2)利用三角函数的图象求解考点二、三角函数的值域(最值) 例 2、（1）2017 全国高考函数 f( )x sin2x 3cosx3 4(x 0， 2 )的最大值是_ (2)函数 y

7、sinx2 sinx1的值域为_ _ (3)函数 f(x)cos2x6cos( 2 x)的最大值为_ 变式 1、(1)函数 f(x)3sin 2x 6 在区间 0， 2 上的值域为_ (2)设 x 0， 2 ，则函数 y sin 2x 2sin2x1的最大值为_ (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 变式 2、（南京期末）若函数( )14sinf xxt 在区间(,2 ) 6 上有 2 个零点，则t的可能取值为( ) A3 B0 C3 D4 方法总结：求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yA

8、sin(x)k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数，可先设 tsin x cos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 考点三、三角函数的单调性第 6 页 / 共 10 页例 3 若 f(x)2sinx1(0)在区间 2 ，2 3 上是增函数，求的取值范围变式 1、(1)函数ysin 3 2x的单调递减区间为_ (2)函数y|tan x|的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 变式 2、已知

9、0，函数f(x)sin x 4 在 2 ，上单调递减，则的取值范围是_. 方法总结：本题考查三角函数的单调性首先化成 yAsin(x)的形式，再把 x 看作整体代入 ysinx 的相应单调区间内求 x 的范围即可对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性例 4、 (1)函数 f(x)|tan x|的最小正周期是_. (2)函数 f(x)cos23 2xsin 23 2x

10、的最小正周期是_. 变式 1、(1)若函数 f(x)3sin 2x 3 ，(0，)为偶函数，则的值为_ (2)若函数 ycos x 6 (N*)图像的一个对称中心是 6 ，0 ，则的最小值为_ 第 7 页 / 共 10 页变式 2、下列函数，最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 ) 2 yx 变式 3、（1）已知函数f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期为 4，且xR R，有f(x)f 3 成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ，0 B. 3 ，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 (2

11、)(2020武汉调研)设函数f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x | 2 的图象关于y轴对称，则 ( ) A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴，只需令x 2 k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想五、优化提升与真题演练第 8 页 / 共 10 页 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=在, 的图像大致

13、10 页 A B C D 5、 (2018 全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 6、【2017 年高考全国理数】设函数 ( 3 cos)f xx，则下列结论错误的是 A( )f x的一个周期为2 B( )yf x的图象关于直线 8 3 x 对称 C()f x的一个零点为 6 x D( )f x在( 2 ，)单调递减 7、关于x的函数( )sin()f xx有以下四个选项，错误的有( ): A对任意的，( )f x都是非奇非偶函数 B存在，使( )f x是偶函数 C存在，使( )f x是奇函数第 10 页 / 共 10 页 D对任意的，( )f x都不是偶函数 8最小正周期为的函数有( ) A 2 cos 2 x y B|sin|yx Ccos|2 |yx Dtan(2) 4 yx 9、【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ 10、【2018 年高考全国理数】已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_