第06讲 函数的概念与运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 14 页 第第 6 讲:函数的概念与运算讲:函数的概念与运算 一、课程标准 1.通过实例,体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,学会用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 二、基础知识回顾 1函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数
2、值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等 的依据 2函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 就是把变量 x,y 之间的关系 用一个关系式 yf(x)来表示, 通过关系式可以由 x 的值求 出 y 的值. 就是把 x,y 之间的关系绘制 成图象, 图象上每个点的坐标 就是相应的变量 x,y 的值. 就是将变量 x,y 的取值列成 表格, 由表格直接反映出两者 的关系. 3分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的
3、函数通常叫做分 段函数 三、自主热身、归纳总结 1、集合 Ax|1x2,Bx|1x4,有以下 4 个对应法则: A. f:xyx2 B. f:xy3x5 C. f:xyx4 D. f:xy4x2 其中能构成从 A 到 B 的函数的是( ) 第 2 页 / 共 14 页 【答案】A 【解析】 按函数的定义判断,A 中的对应能构成从 A 到 B 的函数;B 中若 x1,则 y2B;C 中若 x 2,则 y6B;D 中若 x2,则 y0B,即 B、C、D 中的对应不能构成从 A 到 B 的函数故选 A. 2、下列各组函数中,表示同一函数的是( ) Af(x)eln x,g(x)x Bf(x) x24
4、 x2,g(x)x2 Cf(x) sin 2x 2cos x,g(x)sin x Df(x)|x|,g(x) x2 【答案】D 【解析】A,B,C 的定义域不同,所以答案为 D. 3、已知 2 (21)4fxx,则下列结论正确的是( ) Af(3) 9 B( 3)4f C 2 ( )f xx D 2 ( )(1)f xx 【答案】BD 【解析】 2 (21)(21)2(21) 1fxxx,故 2 ( )21f xxx,故选项C错误,选项D正确; f(3)16 , ( 3)4f ,故选项A错误,选项B正确 4、已知函数 f(x) x 1 x2,x2, x22,x2, 则 f(f(1)( ) A
5、1 2 B2 C4 D11 【答案】C 【解析】因为 f(1)1223,所以 f(f(1)f(3)3 1 324.故选 C. 5、已知 f(x) 1 3 x,x0, log3x,x0, 则 f f 1 9 _. 【答案】9 【解析】f 1 9log3 1 92, f f 1 9 f(2) 1 3 29. 第 3 页 / 共 14 页 6、(2019 南京三模)若函数 f(x) 2x, x0 f(x2),x0,则 f(log23) 【答案】 3 4 【解析】因为 1 2 log 32,所以 f(log23)f(log232) 2 2 log 3 log 3 2 2 23 2 24 . 7、已知
6、f(x)是一次函数,且满足 3f(x1)2f(x1)2x17,则 f(1)_ 【答案】9 【解析】 设 f(x)axb(a0),则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab,即 ax 5ab2x17 不论 x 为何值都成立 a2, 517,ba ,解得 2, 7, a b f(x)2x7,从而得 f(1)9. 7、函数 yf(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是_;值域是_;其中只有唯一的 x 值与 之对应的 y 值的范围是_ 【答案】3,02,3 1,5 1,2)(4,5 【解析】观察图像结合函数的概念。 四、例题选讲 考点一、函数的概念 例 1 (1)已知 A
7、1,2,3,k,B4,7,a4,a23a,aN*,kN*,xA,yB,f:xy3x1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数,求 a,k 的值; (2)下列各选项给出的两个函数中,表示相同函数的有( ) A ( )f xx 与 2 ( )g xx B ( ) |1|f tt 与 ( ) |1|g xx C ( )f xx 与 2 ( )log 2xg x D 2 1 ( ) 1 x f x x 与 ( )1g xx 【答案】BC 第 4 页 / 共 14 页 【解答】(1)(定义法)由对应法则 14,27,310,又 k3k1,故 a23a10(a410 舍去),解得 a 2 或 a5(舍去)
8、,故 3k1a416,解得 k5.a2,k5.【分析】根据两个函数的定义域相同,对 应关系也相同,即可判断是相同函数 (2)对于A,函数 ( )f xx 与 2 ( )|g xxx的解析式不同,表示相同函数; 对于B,函数 ( ) |1|f tt 的定义域为R, ( ) |1|g xx 的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是相 同函数; 对于C,函数 ( )f xx 的定义域为R, 2 ( )log 2g x x x的定义域为R,定义域相同,对应关系也相同,是 相同函数; 对于D,函数 2 1 ( )1 1 x f xx x 的定义域为(,1) ( 1 , ),( )1g xx 的定义域
9、为R,定义域不 同,不是相同函数 故选:BC 变式 1、下列各组函数中,表示同一函数的是_. f(x)|x|,g(x) x2; f(x) x2,g(x)( x)2; f(x) x21 x1,g(x)x1; f(x) x1 x1,g(x) x21. 【答案】 【解答】 (1)由一个变量 x 仅有一个 f(x)与之对应,得不是函数图象.故正确. (2)中,g(x)|x|,f(x)g(x). 中,f(x)|x|(xR),g(x)x (x0), 两函数的定义域不同. 中,f(x)x1 (x1),g(x)x1(xR), 两函数的定义域不同. 中,f(x) x1 x1(x10 且 x10),f(x)的定义
10、域为x|x1; g(x) x21(x210), g(x)的定义域为x|x1 或 x1. 两函数的定义域不同.故只有符合. 第 5 页 / 共 14 页 变式 2、已知集合 Px|0 x4,Qy|0y2,下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 不是函数的是_(填 序号) f:xy 1 2x;f:xy 1 3x;f:xy 2 3x;f:xy x. 【答案】 : 【解答】 :对于,因为当 x4 时,y 2 3 4 8 3Q,所以不是函数 方法总结:(1)定义是解题的重要依据,它有双重功能:一是判定;二是性质要判定一个对应是不是从定 义域 A 到值域 B 的一个函数,就要看其是否满足函数的定义,反之亦然
11、; (2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定,当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数, 而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数 考点二、函数的解析式 例 2、(1)已知 f 2 x1 lg x,求 f(x)的解析式; (2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)0,f(x1)f(x)x1,求 f(x)的解析式; (3)已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x,求 f(x)的解析式 【解答】 (1)(换元法)令 2 x1t,得 x 2 t1, 代入得 f(t)lg 2 t1,又 x0,所以 t1, 故 f(x)的解析式是 f(x)lg 2 x1, x(1,) (2
12、)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0), 由 f(0)0,知 c0,f(x)ax2bx, 又由 f(x1)f(x)x1, 得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1, 即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1, 所以 2abb1, ab1, 解得 ab 1 2. 第 6 页 / 共 14 页 所以 f(x) 1 2x 21 2x,xR. (3)(解方程组法)由 f(x)2f(x)2x, 得 f(x)2f(x)2x, 2, 得 3f(x)2x12x. 即 f(x) 2x12x 3 . 故 f(x)的解析式是 f(x) 2x12x 3 ,xR. 变式 1、已知 f(x)是二次函数,且
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