第02讲 充要条件与量词(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 2 讲:充要条件与量词讲:充要条件与量词 一、课程标准 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义并能正确判断两个命题之间的关系 2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 二、基础知识回顾 1、 充分条件与必要条件 (1)充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp (2
2、)从集合的角度: 若条件 p,q 以集合的形式出现,即 Ax|p(x),Bx|q(x),则由 AB 可得,p 是 q 的充分条件,请写出 集合 A,B 的其他关系对应的条件 p,q 的关系 提示 若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 AB,则 p 是 q 的必要条件; 若 AB,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 AB,则 p 是 q 的充要条件; 若 AB 且 AB,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2、全称量词与全称命题 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词 (2)全称命题:含有全称量词的命题 (3)全称命题的符号表示: 形如“对 M 中
3、的任意一个 x,有 p(x)成立”的命题,用符号简记为xM,p(x) 3、存在量词与特称命题 (1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词 第 2 页 / 共 10 页 (2)特称命题:含有存在量词的命题 (3)特称命题的符号表示: 形如“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”的命题,用符号简记为x0M,p(x0) 三、自主热身、归纳总结 1、命题“xR,x2x0”的否定是( ) Ax0R,x20 x00 Bx0R,x20 x00 CxR,x2x0 DxR,x2x0 【答案】B 【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题 B 正确故选 B. 2、“(x1)(x2
4、)0”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】选 B 若 x1,则(x1)(x2)0 显然成立,但反之不成立,即若(x1)(x2)0,则 x 的值也可 能为2. 3、使不等式 1 10 x 成立的一个充分不必要条件是( ) A 2x B0 x C1x 或1x D10 x 【答案】AC 【分析】不等式 1 10 x ,即 1 0 x x ,(1)0 x x,解得x范围,即可判断出结论 【解答】解:不等式 1 10 x ,即 1 0 x x ,(1)0 x x,解得0 x ,或1x 使不等式 1 10 x 成立的一个充分不必
5、要条件是:2x 及1x ,或1x 4、 命题“x0,1,x210”是_命题(选填“真”或“假”) 【答案】 真 【解析】 取 x1,则 x210,所以为真命题 5、“2, 6 xkkZ ”是“ 1 sin 2 x ”成立的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分又不必要”) 第 3 页 / 共 10 页 【答案】充分不必要 【解析】根据正弦函数sinyx的图象,由 1 sin 2 x 可得,2 6 xk ,或 5 2, 6 xkkZ ,故 “2, 6 xkkZ ”是“ 1 sin 2 x ”成立的充分不必要条件. 6、(一题两空)已知 p:|x|m(m0),q:1x4
6、,若 p 是 q 的充分条件,则 m 的最大值为_;若 p 是 q 的必要条件,则 m 的最小值为_ 【答案】1 4 【解析】由|x|m(m0),得mxm. 若 p 是 q 的充分条件 m m4 0m1. 则 m 的最大值为 1. 若 p 是 q 的必要条件 m m4 m4. 则 m 的最小值为 4. 四、例题选讲 考点一、充要条件、必要条件的判断 例 1、 已知直线 l,m,平面 ,m,则“lm”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”或“既不充分又不必要”) 【答案】 必要不充分 【解析】根据直线与平面垂直的定义:若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面
7、垂 直现在是直线与平面内给定的一条直线垂直,而不是任意一条,故由“lm”推不出“l”,但是由定义知“l ”可推出“lm”,故填必要不充分 变式 1、“a1”是“直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直的充要条件为 a(a2)1 (3)0,解得 a1 或 3,故“a1”是“直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直”的充分不必要条件. 第 4 页 / 共 10 页 变式 2、.设 xR,则“1x2”是“|x2|1”的( )
8、A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由|x2|1,得 1x3,所以 1x21x3;但 1x31x2. 所以“1x2”是“|x2|0 (1)若 m1,则 p 是 q 的什么条件? (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围 分析:问题(1)考查的仍是充要条件的判定,需要从“充分”和“必要”两个方面考察,并且用集合方法处理; 问题(2)考查充要条件的应用,根据“若 p 是 q 的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数 m 的取值范围 【解析】 (1)因为 p: x x20, x100 x|2x10,
9、 q:x|1mx1m,m0 x|0 x2, 显然x|0 xx|2x10, 所以 p 是 q 的必要不充分条件 第 6 页 / 共 10 页 (2)由(1),知 p:x|2x10,因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以 m0, 1m2, 1m10, 1m2与1m10不同时相等. 解得 m9,即 m9,) 变式 1、 设 p:实数 x 满足 x24ax3a20.若 a0 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】由 p 得(x3a)(xa)0,当 a0 时,3ax0,则2x3 或 x2,则 x4 或 x2. 设 p:A(3a,a),q:B(,4)2,), 又 p 是
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