第03讲 不等式及性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 3 讲:不等式及性质讲:不等式及性质 一、课程标准 1、通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 2、了解不等式(组)的实际背景 3、掌握不等式的性质及应用 二、基础知识回顾 1、两个实数比较大小的依据 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2、不等式的性质 (1)对称性:abbb,bcac; (3)可加性:abacbc;ab,cdacbd; (4)可乘性:ab,c0acbc; ab0,cd0acbd; cb0anbn(nN,n1); (6)可开方性:ab0na n b(nN,n2) 3、常见的结论 (1)ab,
2、ab0 1 a 1 b. (2)a0b 1 ab0,0c b d. (4)0axb 或 axb0 1 b 1 xb0,m0,则 (1) b a bm am(bm0) 第 2 页 / 共 10 页 (2) a b am bm; a b0) 三、自主热身、归纳总结 1、若 a ln 2 2,b ln 3 3,则 a_b(填“”或“”) 【答案】 【解析】 :易知 a,b 都是正数, b a 2ln 3 3ln 2log891,所以 ba. 2、已知1x4,2y3,则 xy 的取值范围是_,3x2y 的取值范围是_ 【答案】 :(4,2) (1,18) 【解析】1x4,2y3,3y2, 4xy2.
3、由1x4,2y3,得33x12,42y6, 13x2yb,则 ac2bc2 B若 ab,cd,则 acbd C若 a|b|,则 a2b2 D若 ab,则 1 a1,31,而 23|b|知 a0,所以 a2b2,故选 C 4、设 ab1,c c b;a cloga(bc) 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 第 3 页 / 共 10 页 【答案】D 【解析】由不等式性质及 ab1,知 1 a 1 b, 又 c c b,正确; 构造函数 yxc, cb1,acb1,cbc1, logb(ac)loga(ac)loga(bc),正确 5、(多选)设 ba0,cR,则下列不等式中正确的是(
4、 ) Aa 1 2b 1 2 B. 1 ac 1 bc C. a2 b2 a b Dac2bc2 【答案】ABC 【解析】因为 yx 1 2在(0,)上是增函数,所以 a 1 2b 1 2.因为 y 1 xc 在(0,)上是减函数,所以 1 ac 1 bc.因为 a2 b2 a b 2ba b2b0,所以 a2 b2 a b.当 c0 时,ac 2bc2,所以 D 不成立故选 A、B、C. 四、例题选讲 考点 1、不等式的性质 例 1、若 1 a 1 b0,给出下列不等式: 1 ab 1 ab;|a|b0;a 1 ab 1 b;ln a 2ln b2.其中正确的 不等式是( ) A. B. C
5、. D. 【答案】 C 【解析】方法一 因为 1 a 1 b0,故可取 a1,b2. 显然|a|b1210,所以错误;因为 ln a2ln(1)20,ln b2ln(2)2ln 40,所以错误. 综上所述,可排除 A,B,D. 方法二 由 1 a 1 b0,可知 ba0.中,因为 ab0,ab0,所以 1 ab0, 1 ab0.故有 1 ab 1 ab,即 正确; 第 4 页 / 共 10 页 中,因为 ba0,所以ba0.故b|a|,即|a|b0,故错误; 中,因为 ba0,又 1 a 1 b0,则 1 a 1 b0, 所以 a 1 ab 1 b,故正确; 中,因为 ba0,根据 yx2在(
6、,0)上为减函数,可得 b2a20,而 yln x 在定义域(0,)上 为增函数,所以 ln b2ln a2,故错误.由以上分析,知正确. 变式 1、设, ,a b c为实数,且0ab,则下列不等式正确的是( ) A. 11 ab B. 22 acbc C. ba ab D. 22 aabb 【答案】D 【解析】对于 A,令 11 1 2,1,1 2 ab ab ,故 A 错误; 对于 B,当0c =时,则 22 0acbc,故 B 错误; 对于 C,则 11 ab ,1,2ba ,则 ba ab ,故 C 错误; 对于 D, 2 0,abaab 且 2 abb,故 D 正确,故选 D。 变式
7、 2、已知 x,yR,且 xy0,则( ) A 1 x 1 y0 Bsinxsiny0 C 1 2 x 1 2 y0 【答案】 C 【解析】 函数 y 1 2 x 在(0,)上为减函数,当 xy0 时, 1 2 x 1 2 y,即 1 2 x 1 2 yy0 1 x 1 y 1 x 1 yy0 时,不能比较 sinx 与 siny 的大小,故 B 错误;xy0 xy1ln (xy)0ln xln y0,故 D 错误 方法总结:判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:不等式两边都乘以一个代数式时,考察所
8、乘的代 数式是正数、 负数或 0; 不等式左边是正数, 右边是负数, 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变; 不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 考点 2、结合不等式比较大小 例 2、设 ab0,试比较 a2b2 a2b2与 ab ab的大小 第 5 页 / 共 10 页 解法一(作差法): a2b2 a2b2 ab ab 2222 22 abababab abab 2 22 2222 2 ababab ab ab abababab 因为 ab0,所以 ab0,ab0,2ab0 所以 22 2ab ab abab 0,所以 a2b2 a2b2 ab ab 解
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