第05讲 基本不等式及应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 5 讲:基本不等式及应用讲:基本不等式及应用 一、课程标准 1.探索并了解基本不等式的证明过程 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、基础知识回顾 1、基本不等式 ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当 ab. 2、算术平均数与几何平均数 设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为 ab 2 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数 3、利用基本不等式求最值问题 已知 x0,y0,则 (1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最
2、小值是 2 p (2)如果 xy 是定值 q,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值是 q2 4 4、基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab ab 2 2(a,bR,当且仅当 ab 时取等号) (2)ab2 ab(a0,b0,当且仅当 ab 时取等号) 5、几个重要的结论 (1) a2b2 2 ab 2 2. (2) b a a b2(ab0) (3) ab ab 2 a2b2 2 (a0,b0) 三、自主热身、归纳总结 1、若 x0,y0,且 xy18,则 xy的最大值为( ) A9 B18 第 2 页 / 共 17 页 C36 D81 【答案】A 【解析】因为 xy18,所以 xy xy
3、 2 9,当且仅当 xy9 时,等号成立 2设 a0,则 9a 1 a的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 【答案】C 【解析】因为 a0,所以 9a 1 a2 9a 1 a 6,当且仅当 9a 1 a,即 a 1 3时,9a 1 a取得最小值 6.故选 C. 3、设 a,b 为正数,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设 a,b 为正数,且 ,当且仅当时取等号,故选 C。 4、已知正实数 a,b 满足 3 2 abab ,则 ab 的最小值为( ) A1 B 2 C2 D4 【答案】C 【解析】 1 2 22ababab ,当且仅当 2ab 时取等号, 31 22
4、2ababab , 2ab, 故 ab 的最小值为 2,故选 C。 5、若正数 ,m n满足2 1mn,则 11 mn 的最小值为( ) A.3 2 2 B.3 2 C.2 2 2 D.3 【答案】A 第 3 页 / 共 17 页 【解析】由题意,因为21mn, 则 111122 () (2)33232 2 nmnm mn mnmnmnmn , 当且仅当 2nm mn ,即 2nm 时等号成立, 所以 11 mn 的最小值为3 2 2 ,故选 A。 6、下列不等式的证明过程正确的是( ) A若 a0,b0,则 + 2 = 2 B若 x,yR*,则 + 2 C若 x 为负实数,则 + 4 2 4
5、 = 4 D若 x 为负实数,则2+ 2 22 2 2 【答案】AD 【解析】由 a0,b0 可得 0, 0,则由基本不等式可得, + 2 =2,故 A 正确; x,yR 时,lg x,lg y有可能为 0 或负数,不符合基本不等式的条件,B 错误; 若 x0,则 x+ 4 0,C 错误; x0 时,2x0,由基本不等式可得,2x+2x2,故 D 正确 7、设 a1,b1,且 ab(a+b)1,那么( ) Aa+b 有最小值 2(2 +1) Ba+b 有最大值(2 +1) 2 Cab 有最大值 3+2 2 Dab 有最小值 3+2 2 【答案】AD 【解析】根据 a1,b1,即可得出 + 2,
6、从而得出 2 1,进而得出 2 + 1,从 而得出 ab 有最小值3 + 22;同样的方法可得出 (+ 2 )2,从而得出(a+b)24(a+b)4,进而解出 + 2(2 + 1),即得出 a+b 的最小值为2(2+ 1) a1,b1, + 2,当 ab 时取等号, 1 = ( + ) 2,解得 2 + 1, (2 + 1)2= 3 + 22, ab 有最小值3 + 22; 第 4 页 / 共 17 页 (+ 2 )2,当 ab 时取等号, 1 = ( + ) (+ 2 )2 ( + ), (a+b)24(a+b)4, (a+b)228,解得 + 2 22,即 + 2(2+ 1), a+b 有
7、最小值2(2 + 1) 8、已知 a0, b0,且 2 a 3 b ab,则 ab 的最小值是_ 【答案答案】 2 6 【解析】 、思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式 因为 ab 2 a 3 b2 2 a 3 b,所以 ab2 6,当且仅当 2 a 3 b 6时,取等号 9、一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m,则这个矩形的长为_m,宽为 _m 时菜园面积最大 【答案答案】15 15 2 【解析】设矩形的长为 x m,宽为 y m,则 x2y30,所以 Sxy 1 2x(2y) 1 2 x2y 2 2 225 2,当且仅当 x 2y,即 x15,y
8、15 2时取等号 10(一题两空)若 a0,b0,且 a2b40,则 ab 的最大值为_, 1 a 2 b的最小值为_ 【答案答案】2 9 4 【解析】a0,b0,且 a2b40,a2b4,ab 1 2a 2b 1 2 a2b 2 22,当且仅当 a2b,即 a 2,b1 时等号成立,ab 的最大值为 2. 1 a 2 b 1 a 2 b a2b 4 1 4 5 2b a 2a b 1 4 52 2b a 2a b 9 4, 当且仅当 ab 时等号成立, 1 a 2 b的最小值为 9 4. 四、例题选讲 考点一、运用基本不等式求函数的最值 例 1、 (1)已知 0x1,则 x(43x)取得最大
9、值时 x 的值为_ (2)已知 x1)的最小值为_ 【答案】(1) 2 3 (2)1 (3)2 32 【解析】 (1)x(43x) 1 3 (3x) (43x) 1 3 3x43x 2 24 3, 当且仅当 3x43x,即 x 2 3时,取等号 故所求 x 的值为 2 3. (2)因为 x0, 则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231. 当且仅当 54x 1 54x,即 x1 时,取等号 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. (3)y x22 x1 x 22x12x23 x1 x122x13 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当 x1 3 x1,即 x
10、31 时,取等号 变式 1、已知 x0,y0,且 2x8yxy0,求: (1)xy 的最小值; (2)xy 的最小值 解:(1)由 2x8yxy0,得 8 x 2 y1. 又 x0,y0, 则 1 8 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy,得 xy64, 当且仅当 8 x 2 y,即 x16 且 y4 时等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0,得 8 x 2 y1, 则 xy 8 x 2 y(xy) 第 6 页 / 共 17 页 10 2x y 8y x102 2x y 8y x18. 当且仅当 2x y 8y x,即 x12 且 y6 时等号成立, 所以 xy
11、的最小值为 18. 变式 2、已知 2 36 ( )(0) 1 xx f xx x ,则 ( )f x的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 【答案】D 【解析】由题意知, 2 2 11 4364 11 111 xxxx f xx xxx , 因为0 x,所以10 x , 则 4 112 415 1 x x , (当且仅当 4 1 1 x x ,即1x 时取“=”) 故 f x的最小值是 5,故选 D。 变式 3、已知 x 5 4,则 f(x)4x2 1 4x5的最大值为_ 【答案】1 【解析】因为 x 5 4,所以 54x0, 则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231.
12、当且仅当 54x 1 54x,即 x1 时,取等号 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. 变式 4、已知 x0,y0,x3yxy9,则 x3y 的最小值为_ 【答案】6 【解析】由已知得 x3y9xy, 因为 x0,y0,所以 x3y2 3xy, 所以 3xy x3y 2 2,当且仅当 x3y,即 x3,y1 时取等号,即(x3y)212(x3y)1080. 令 x3yt,则 t0 且 t212t1080, 得 t6,即 x3y 的最小值为 6. 方法总结:运用不等式求函数的最值要满足三个条件,一正,二定,三相等;有时不满足几定要 通过拼凑法;拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通
13、过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值 第 7 页 / 共 17 页 的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关 键 考点二、基本不等式中 1 的运用 例 2、已知 a0,b0,ab1,则 1 a 1 b的最小值为_ 【答案】 4 【解析】因为 ab1, 所以 1 a 1 b 1 a 1 b(ab)2 b a a b22 b a a b224.当且仅当 ab 1 2时,取等号 变式 1、若正实数x y ,满足 1xy ,则 4 y xy 的最小值是 【答案】 、8 【解析】 、因为正实数x y ,满足 1xy , 所以 4() 44 4 yyx
14、yy x xyxyxy 4 24448 yx xy ,当且仅当 4yx xy ,即2yx,又 1xy ,即 12 , 33 xy,等号成立,即 4 y xy 取得最小值8. 变式 2、 已知 a,b 为正数,且直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行,则 2a3b 的最小值为_ 【答案】25 【解析】 、由于直线 axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行,所以 a(b3)2b,即 2 a 3 b1(a,b 均为正数),所以 2a3b(2a3b) 2 a 3 b 136 b a a b136 2 b a a b25(当 且仅当 b a a b即 ab5 时取等号) 变式
15、 3、已知正实数 a,b 满足 ab1,则 b b a a4212 22 的最小值为 【答案】 :.11 【解析解析】 、思路分析:思路分析:由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本 不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解 117 4 27 4 )( 41 ()(2 4 2 1 2 4212 22 b a a b b a a b ba ba ba b b a a b b a a 当 且 第 8 页 / 共 17 页 仅当 b a a b4 ,即 3 2 3 1 b a 时取“”,所以 b b a a4212 22 的最小值为.11 变式 4、
16、22 91 sincos 的最小值为( ) A18 B16 C8 D6 【答案】B 【解析】 22 2222 9191 sincos sincossincos 22 22 9sinsin 9 1216 sincos , 故选 B。 方法总结:1 的代换就是指凑出 1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值, 凑的过程中要特别注意等价变形。基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常 数)变形为 1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式。(4)利用基 本不等式求解最值 考点三、运用消参法解决不等式问题 例
17、 3、(2017 苏北四市期末). 若实数 x,y 满足 xy3x3 0 x 1 2,则 3 x 1 y3的最小值为_ 【答案答案】. 8 【解析解析】 、解法 1 因为实数 x,y 满足 xy3x3 0 x 1 2,所以 y 3 x3(y3), 所以 3 x 1 y3y3 1 y3y3 1 y362 y3 1 y368,当且仅当 y3 1 y3,即 y4 时取等 号,此时 x 3 7,所以 3 x 1 y3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x,y 满足 xy3x3 0 x 1 2,所以 y 3 x3(y3),y3 3 x60, 所以 3 x 1 y3 3 x 1 3 x6 3 x6 1
18、3 x6 62 3 x6 1 3 x6 68,当且仅当 3 x6 1 3 x6 ,即 x 3 7时取等 号,此时 y4,所以 3 x 1 y3的最小值为 8. 变式 1:(徐州、宿迁三检)若 0,0ab,且 11 1 21abb + + ,则2ab+的最小值为 第 9 页 / 共 17 页 【答案】 : 2 31 2 + 【解析】 、由已知等式得bbaabba 2 22122,从而 b bb a 2 1 2 , b b bb ba2 2 1 2 2 b b 2 1 2 3 2 1 2 132 4 3 2 2 1 ,故有最小值 2 31 2 + . 变式 2、设实数 x,y 满足 x22xy10
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