第13讲 对数函数(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 13 讲:对数函数讲:对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0,a1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数 ylogax(a0,且 a1)的图象与性质 底数 a1 0a1 时,恒有 y0; 当 0x1 时,恒有 y1 时,恒有 y0; 当 0x0 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 注 意 当对数函数
2、的底数 a 的大小不确定时,需分 a1 和 0a0, 且 a1)与对数函数 ylogax(a0, 且 a1)互为反函数, 它们的图象关于直线 yx 对称 对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图,作直线 y1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故 0cd1ab. 第 2 页 / 共 15 页 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大 三、自主热身、归纳总结 1、函数 f(x)log2(x22 2)的值域为(B ) A. , 3 2 B. , 3 2 C. 3 2, D. 3 2, 【答案】B 【解析】 由题意可得x22 20,即x22 2(0,2 2,得所求函数值
3、域为 , 3 2.故选 B. 2、若 loga2logb20,则下列结论正确的是(B ) A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba1 【答案】B 【解析】(方法 1)由 loga2logb20,得 0a、b1,且 1 log2a 1 log2b,即 log2blog2a log2a log2blog2ea, 所以 ca. 因为 bln 2 1 log2e1log2ea, 所以 ab. 所以 cab. (3)由题意得 a0, log2alog2a 或 a0, log2(a)log2(a), 解得 a1 或1a0.故选 C. 变式 1、 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|
4、xm|1(m 为实数)为偶函数, 记 af(log0.53), bf(log25), cf(2m), 则 a,b,c 的大小关系为 ; (2)已知函数 f(x) 3 x1,x0, log1 3 x,x0,则不等式 f(x)1 的解集为 ; (3)若函数 f(x) 2 (3) log a (ax4)在1,1上是单调增函数,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (1)cab. (2) 1, 1 3. (3)(2, 3)(2,4) 【解析】 (1)由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知 m0,f(x)2|x|1.af(log0.53) 0.5 log3 2 1 log 3 2 2 1 2,bf(log
5、25)= 2 log 3 2 1 2 log 5 2 14,cf(0)2|0|10,ca1 可转化为 3x11x10 x1,10,则不等式 f(x)1 可转化 第 6 页 / 共 15 页 为 1 2 log x 1x 1 3,0x1 的解集是 1, 1 3. (3)首先由 a230,可得 a 3或 a 3时, 函数 g(x)ax4 在1, 1上是 x 的增函数, 则需 a231, 故 a2.又函数 g(x)ax40 在 1,1上恒成立,故 g(1)4a0,即 2a4. 当 a 3时,函数 g(x)ax4 在1,1上是 x 的减函数,则需 0a231,故可得2a0 在1,1上恒成立,故 g(1
6、)a40,即2a 3. 综上所述,实数 a 的取值范围为(2, 3)(2,4) 变式 2、已知是偶函数,则( ) A B C D 【答案】C 【解析】是偶函数, ,函数为增函数, , 故选:C 方法总结:对数函数的性质有着十分广泛的应用,常见的有:比较大小,解不等式,求函数的单调区间和 值域、最值等等 (1)对数值大小比较的主要方法:化为同底数后利用函数的单调性;化为同真数后利用图像比较;借 用中间量(0 或 1 等)进行估值比较 (2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时须分 底数 0a1 两种情形进行分类讨论,防止错解 第 7 页 /
7、共 15 页 考点二 对数函数的图像及其应用 例 1、 (1) 2019 潍坊一模若函数 f(x)axax(a0 且 a1)在 R 上为减函数,则函数 yloga(|x|1)的图像 可以是(D ) A B C D (2)已知 f(x)|lgx|,若 1 cab1,则 f(a),f(b),f(c)的大小关系是 【答案】 (1)D、 (2) f(c)f(a)f(b) 【解析】 (1)由 f(x)在 R 上是减函数,知 0a1 时,yloga(x1)的图像由 ylogax 的图像向右平移一个单位得到选 项 D 正确故选 D. (2)先作出函数 ylgx 的图像,再将图像在 x 轴下方的部分沿 x 轴
8、翻折到上方,这样,我们便得到了 y |lgx|的图像 由图可知, f(x)|lgx|在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,于是 f 1 cf(a) f(b),而 f 1 c|lg 1 c|lgc|lgc|f(c)f(c)f(a)f(b) 变式 1、(1)函数 yln(2|x|)的大致图象为( ) 第 8 页 / 共 15 页 (2)当 0 x 1 2时,4 xlog ax,则 a 的取值范围是( ) A. 0, 2 2 B. 2 2 ,1 C(1, 2) D( 2,2) 【答案】 (1)A(2)B 【解析】(1)令 f(x)ln(2|x|),易知函数 f(x)的定义域为x|2x2,且
9、f(x)ln(2|x|)ln(2|x|) f(x),所以函数 f(x)为偶函数,排除选项 C、D.由对数函数的单调性及函数 y2|x|的单调性知 A 正确 (2)易知 0a1,函数 y4x与 ylogax 的大致图象如图,则由题意可知只需满足 loga 1 24 1 2, 解得 a 2 2, 2 2a1,故选 B. 变式 2、关于函数 ( ) |2|f xlnx 下列描述正确的有( ) A函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增 B函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称 C若 12 xx ,但 12 ()()f xf x ,则 12 4xx D函数( )f x有且仅有两个零点 【答
10、案】ABD 【解析】函数 ( ) |2|f xlnx 的图象如下图所示: 由图可得: 第 9 页 / 共 15 页 函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增,A正确; 函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称,B正确; 若 12 xx,但 12 ()()f xf x,则 12 4xx,C错误; 函数 ( )f x有且仅有两个零点,D正确 故选:ABD 方法总结: (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域 (最值)、零点时,常利用数形结合思想求解 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解 考点三 对数
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