第09讲 函数的奇偶性与周期性(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 9 讲:函数的奇偶性与周期性讲:函数的奇偶性与周期性 一、课程标准 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 二、基础知识回顾 1、 奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为奇函数;对于 函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(x)f(x)(或 f(x)f(x)0),则称 f(x)为偶函数 2、 奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于
2、原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义 域关于原点对称) (2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称 (3)若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)_0_ (4)若函数 f(x)是偶函数,则有 f(|x|)f(x) (5)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反 3、 周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(xT)f(x), 那么就称函数 yf(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那
3、么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 4、函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义, 则一定有f(0)0; 如果函数f(x)是偶函数, 那么f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 5、函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x: (1)若 f(xa)f(x),则 T2a(a0) 第 2 页 / 共 18 页 (2)若 f(xa) 1 f(x),则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 f(x),则 T2a(a0) 6、函数图象的对称性 (1)若函数 yf(xa)是偶函数,即
4、f(ax)f(ax),则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax),则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (3)若函数 yf(xb)是奇函数,即 f(xb)f(xb)0,则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称 三、自主热身、归纳总结 1、对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列说法: 若 f(x)是偶函数,则 f(2)f(2); 若 f(2)f(2),则函数 f(x)是偶函数; 若 f(2)f(2),则函数 f(x)不是偶函数; 若 f(2)f(2),则函数 f(x)不是奇函数 其中,正确的说法是(
5、A ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据偶函数的定义,正确,若举例奇函数 2,0 ( )0 x0, 2,0 xx f x xx , , , 由于 f(2)f(2),都错误故填写. 2、(2019 郴州第二次教学质量检测)已知 f(x)是定义在2b,1b上的偶函数,且在2b,0上为增函数,则 f(x1)f(2x)的解集为( ) A. 1, 2 3 B. 1, 1 3 C1,1 D. 1 3,1 【答案】B 【解析】 (1)f(x)是定义在2b,1b上的偶函数,2b1b0,b1, f(x)在2b,0上为增函数,即函数 f(x)在2,0上为增函数,故函数 f(x)在(0,2上为减函
6、数,则由 f(x 第 3 页 / 共 18 页 1)f(2x),可得|x1|2x|,即(x1)24x2, 解得1x 1 3. 又因为定义域为2,2,所以 2x12, 22x2, 解得 1x3, 1x1. 1x 1 3. 3、函数 yf(x)在0,2上单调递增,且函数 f(x2)是偶函数,则下列结论成立的是( ) Af(1)f 5 2f 7 2 Bf 7 2f(1)f 5 2 Cf 7 2f 5 2f(1) Df 5 2f(1)f 7 2 【答案】B 【解析】函数 yf(x)在0,2上单调递增,且函数 f(x2)是偶函数, 函数 yf(x)在2,4上单调递减,且在0,4上函数 yf(x)满足 f
7、(2x)f(2x), f(1)f(3),f 7 2f(3)f 5 2, 即 f 7 2f(1)f 5 2. 4、(2019 福建莆田一中模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x),且在0,1上是减函数,则有 ( ) Af 3 2f 1 4f 1 4 Bf 1 4f 1 4f 3 2 Cf 3 2f 1 4f 1 4 Df 1 4f 3 2f 1 4 【答案】C 【解析】因为 f(x2)f(x),所以 f(x22)f(x2)f(x),所以函数的周期为 4,作出 f(x)的草图(如 图),由图可知 f 3 2f 1 4f 1 4, 第 4 页 / 共 18 页 5、(多选)已知
8、偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0,下列说法正确的是( ) A函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数 B函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数 C函数 f(x2)为偶函数 D函数 f(x3)为偶函数 【答案】BC 【解析】偶函数 f(x)满足 f(x)f(2x)0,即有 f(x)f(x)f(2x),即为 f(x2)f(x),f(x4)f(x 2)f(x),可得 f(x)的最小正周期为 4,故 A 错误,B 正确;由 f(x)f(2x)0,可得 f(x)f(2x)0, 两式相减得 f(2x)f(2x)0,故 f(2x)f(2x),f(x2)为偶函数,故 C 正确;由 f(x)为偶函数
9、得 f( x3)f(x3),若 f(x3)为偶函数,则有 f(x3)f(x3),可得 f(x3)f(x3),即 f(x6)f(x),可得 6 为 f(x)的周期,这与 4 为最小正周期矛盾,故 D 错误故选 B、C. 6、(2019 江苏淮安一中模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 x2 时,f(x)x3x, 则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_ 【答案】7 【解析】因为当 0 x2 时,f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且 f(0)0, 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0, 所以
10、 f(5)f(3)f(1)0, 故函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点有 7 个 7、 (2019 通州、 海门、 启东期末) 已知函数 f(x)的周期为 4, 且当 x(0, 4时, f(x) cos x 2, 0x2, log2 x 3 2, 2f(a1),则实数 a 的取值范围为_ 【答案】(1,) 【解析】 函数 f(x)2x44x2为偶函数,因为 f(x)8x38x8x(x21),所以当 x0,)时,函数 f(x) 为增函数,当 x(,0)时,函数 f(x)为减函数,由 f(a3)f(a1),得 f(|a3|)f(|a1|),即(a3)2(a 1)2,解得 a1,所以
11、实数 a 的取值范围为(1,) 四、例题选讲 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 9x2 x29; (2)f(x)(x1) 1x 1x; (3)f(x) 4x2 |x3 3. (4)f(x) x22x1,x0, x22x1,x0; 【解】 (1)由 2 2 90 90 x x , 得 x 3. f(x)的定义域为3,3,此时 f(x)0. 又 f(3)f(3)0,f(3)f(3)0. 即 f(x) f(x)f(x)既是奇函数,又是偶函数 (2)由 1-x 0 1 1+0 x x , 得10 时,f(x)x22x1, x0,f(x)(x)22(x)1x22x1f(x); 当 x0,f
12、(x)(x)22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 变式 1、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x) 1x2 x21; (2)f(x)(x1) 1x 1x; (3)f(x) 4x2 x2 . 解:(1)由 1x20, x210 x21x 1,故函数 f(x)的定义域为1,1,关于原点对称,且 f(x)0,所以 f( x)f(x)f(x),所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)因为 f(x)有意义,则满足 1x 1x0, 所以1x1, 所以 f(x)的定义域不关于原点对称, 所以 f(x)为非奇非偶函数 (3)因为 4x20, x20, 所以2x2 且 x0, 所以定义域
13、关于原点对称 又 f(x) 4(x)2 (x)2 4x2 x2 , 所以 f(x)f(x)故函数 f(x)为偶函数 变式 2、下列函数是偶函数的是( ) A ( )tanf xx B ( )sinf xx C ( )cosf xx D ( )|f xlg x 【答案】CD 第 7 页 / 共 18 页 【解析】根据题意,依次分析选项: 对于A, ( )tanf xx ,是正切函数,是奇函数,不符合题意; 对于B, ( )sinf xx ,是正弦函数,是奇函数,不符合题意; 对于C, ( )cosf xx ,是余弦函数,是偶函数,符合题意; 对于D, ( )|f xlg x ,其定义域为 | 0
14、 x x 有 ()|( )fxlgxlg xf x ,是偶函数,符合题意; 故选:CD 方法总结: 1. 判断函数的奇偶性, 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若函数定义域关于原点不对称, 则此函数一定是非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,再化简解析式,根据 f(x)与 f(x)的关系结合定义 作出判断 2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下,要说明一个函数是奇(偶)函数,必须证明 f(x)f(x)(f(x) f(x)对定义域中的任意 x 都成立;而要说明一个函数是非奇非偶函数,则只须举出一个反例就可以了 3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别
15、从 x0 或 x 0 来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具 有确定的奇偶性 考点二 函数的周期性及应用 例 1、已知函数 f(x)满足 f(0)2,且对任意 xR 都满足 f(x+3)f(x) ,则 f(2019)的值为( ) A2019 B2 C0 D2 【答案】D 【解析】f(x+3)f(x) , f(x+6)f(x+3)f(x) , f(x)的周期为 6, f(2019)f(3) , 又 f(3)f(0)2, f(2019)2 故选:D 变 式1 、 ( 2 0 1 7 南 京 三 模 ) 已 知 函 数f ( x )
16、是 定 义 在 R上 且 周 期 为4的 偶 函 数 当 x2,4时,f(x)|log4(x 3 2)|,则 f( 1 2)的值为 第 8 页 / 共 18 页 【答案】 1 2 【解析】 由题意可得: 4 117731 log 222222 fff 变式 2、(2019 湖北武钢三中模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 x2 时,f(x)x3 x,则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】B 【解析】当 0 x2 时,令 f(x)x3xx(x21)0,所以 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为
17、 x10, x21 变式变式 3、 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1 时,f(x)(x2)2;当1x3 时,f(x) x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 019)_338_ 【答案】338 【解析】 由 f(x6)f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5) 1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2,在一个周期内有 f(1)f(2)f(6)1210101,f(1) f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336 112(1)336338. 变式 4、 已知函数是定义在 R 上的奇函数,且( )
18、 A B9 C D0 【答案】A 【解析】根据题意,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(x)f(x) , 又由 f(1+x)f(1x) ,则 f(x)f(2+x) , 则有 f(x+2)f(x) ,变形可得 f(x+4)f(x+2)f(x) ,即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, 则 f(2019)f(1+505 4)f(1)f(1)9; 故选:A 考点三 函数奇偶性的应用 第 9 页 / 共 18 页 例 1、(2019 南京学情调研)若函数 f(x)a 1 2x1是奇函数,则实数 a 的值为_ 【答案】 1 2 【解析】 解法 1(特殊值法) 因为函数 f(x)为奇函数,
19、且定义域为x|x0,所以有 f(1)f(1)0,即(a 1)(a2)0,解得 a 1 2. 解法 2(定义法) 因为函数 f(x)为奇函数,所以有 f(x)f(x)0,即 a 1 2x1 a 1 2x10,即 2a1 0,解得 a 1 2. 易错警示 本题由于是填空题,可用特殊值法解答,但取特值时,要注意函数的定义域 变式1、 (2019苏州期初调查) 已知函数f(x) x22x,x0, x2ax, x0, 为奇函数, 则实数a的值等于_ 【答案】 2 【解析】 解法 1(特殊值法) f(1)1a,f(1)1, 因为 f(x)为奇函数,所以1a1,则 a2. 解法 2(定义法) 设 x0,所以
20、 f(x)x22xf(x),即 x22xx2ax 对 x0 恒成立,所以 a 2. 变式 2、(2019 南通、泰州、扬州一调)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x2)f(x)当 0x1 时,f(x)x3ax1,则实数 a 的值为_ 【答案】 2 【解析】 因为 f(x2)f(x),则 f(1)f(1),又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(1)f(1),则有 f(1)f(1),即 f(1)0,所以 1a10,则 a2,故答案为 2. 变式 3、(2019 河北唐山二模)已知函数 f(x) x2ax,x0, ax2x,x0 为奇函数,则 a( ) A1 B1 C0
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