第18讲 利用导数研究函数的单调性(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 18 讲:利用导数研究函数的单调性讲:利用导数研究函数的单调性 一、课程标准 1、结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系; 2、能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间 二、基础知识回顾 1. 利用导数研究函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f(x)0 且在(a,b)的任意子区间上不恒为 0,那么函数 yf(x)在这个区间内单调 递增;如果 f(x)0 且在(a,b)的任意子区间上不恒为 0,那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域; (2
2、)求导数 f(x); (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 或 f(x)0; (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数 yf(x)在区间(a,b)上单调递增,可转化为 f(x)0 在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的任意子区间上不 恒为_0;也可转化为(a,b)增区间 函数 yf(x)在区间(a,b)上单调递减,可转化为 f(x)0 在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的任意子区间上不恒 为_0;也可转化为(a,b)减区间 (2)函数 yf(x)的增区间是(a,b),可转化为(a,b)增区间,也可转化为 f(x)0 的解
3、集是(a,b); 函数 yf(x)的减区间是(a,b),可转化为(a,b)减区间,也可转化为 a,b 是 f(x)0 的两根 三、自主热身、归纳总结 1、若函数 yf(x)的图像如下图所示,则函数 yf(x)的图像有可能是( ) 第 1 题图 A B 第 2 页 / 共 17 页 C D 【答案】A. 【解析】 由 f(x) 的图像可知:在(,0) ,f(x)单调递减,当 x(,0)时,f(x)0;故选 A. 2、函数 f(x)2lnxx3 x的单调递增区间是( ) A. () 0, B. ()3,1 C. () 1, D. ()0,1 【答案】D 【解析】 函数 f(x)2lnxx3 x的定
4、义域为( ) 0,且 f(x)2 x1 3 x2 x22x3 x2 ,解不等式 f(x)0,即 x22x30,解得 0x0),若对任意两个不相等的正实数 x1,x2,都有f(x1)f(x2) x1x2 2 恒成立,则 a 的取值范围为( ) A.(0,1 B.(1,) C.(0,1) D.1,) 【答案】D 第 3 页 / 共 17 页 【解析】对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有f(x 1)f(x2) x1x2 2恒成立,则当 x0 时,f(x)2 恒 成立,f(x)a xx2 在(0,)上恒成立,则 a(2xx 2) max1. 5、定义在R上的可导函数( )yf x的导函数的图象如图
5、所示,以下结论正确的是( ) A3是( )f x的一个极小值点 B2和1都是( )f x的极大值点 C( )f x的单调递增区间是( 3,) D( )f x的单调递减区间是(, 3) 【答案】ACD 【解析】 当(, 3)x 时,( )0fx,( )f x单调递减;当( 3, 1)x 时,( )0fx,( )f x单调递增,3 是( )f x的极小值,故选项A正确; 由图可知,当( 3,)x 时,( )0fx,( )f x的递增区间为( 3,) ,故选项C正确; 由图可知,当(, 3)x 时,( )0fx,( )f x的递减区间为(, 3) ,故选项D正确; 又( )fx在2x 和1x 两侧同
6、号,2,1不是( )f x的极值点,故选项B错误; 6、函数 f(x)x36x2的单调递减区间为_ 【答案】(0,4) 【解析】 :f(x)3x212x3x(x4), 由 f(x)0,得 0x4, 函数 f(x)的单调递减区间为(0,4) 7、(多填题)已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点(1,6),函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对 称.则 m_,f(x)的单调递减区间为_. 【答案】3 (0,2) 【解析】由 f(x)的图象过点(1,6),得 mn3, 又 g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn 为偶函数, 2m60,即 m3, 第 4 页 / 共 17 页 代入
7、式,得 n0. 所以 f(x)3x26x3x(x2). 令 f(x)0,得 0x0 时,x ,2 3 (1,);当 f(x)0 时,x 2 3,1 . 函数的单调增区间为 ,2 3 和(1,),单调减区间为 2 3,1 . (2)g(x)2x2 x 2(x1)(x1) x ,定义域为(0,),令 g(x)0,解得:x1 或 x1(舍去),列表: x (0,1) 1 (1,) g(x) 0 g(x) 减 极小值 增 函数的单调增区间是(1,),单调减区间是(0,1) 方法总结: 1. 利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导函数 f(x);
8、 (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f(x)0 和 f(x)0), 则 f(x)x 24x5 4x2 ,令 f(x)0, 解得 x1 或 x5, 因为 x1 不在 f(x)的定义域(0,)内,所以舍去 当 x(0,5)时,f(x)0,故 f(x)在(5,)内单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(0,5),单调递增区间是(5,). 变式 2、已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数),曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行. (1)求实数 k 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 【解析】 (1)f(x) 1 xln xk ex (x0). 又由题意知
9、f(1)1k e 0,所以 k1. (2)由(1)知,f(x) 1 xln x1 ex (x0). 设 h(x)1 xln x1(x0), 则 h(x)1 x2 1 x0, 所以 h(x)在(0,)上单调递减. 由 h(1)0 知,当 0x0,所以 f(x)0; 当 x1 时,h(x)0,所以 f(x)h(2)3, 实数 a 的取值范围为 a3; 由题意得 g(x)x2ax20 在(2,1)上有解,ax2 x在(2,1)上有解, 又x2 x(x 2 x)2 2,当且仅当x 2 x,即 x 2时取等号 实数 a 的取值范围为(,2 2) 变式 2、设函数 f(x)1 3x 3a 2x 2bxc,
10、曲线 yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y1. (1)求 b,c 的值; (2)设函数 g(x)f(x)2x,且 g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围 【解析】 (1)f(x)x2axb, 由题意得 f01, f00, 即 c1, b0. (2)由(1)知 f(x)1 3x 3a 2x 21, 则 g(x)x2ax2,依题意,存在 x(2,1), 使不等式 g(x)x2ax20 成立, 即 x(2,1)时,a0,令 f(x)0,得 x1 a,列表如下: x (0,1 a) 1 a 1 a f(x) 0 f(x) 增 极大值 减 综上: 当 a0 时, f
11、(x)在(0, )上单调递增; 当 a0 时, f(x)在 0,1 a 上单调递增, 在 1 a, 上单调递减 方法总结 1. 对含参函数的合理分类,关键是找到引起分类讨论的原因 2. 会对函数进行准确求导,求导以后进行整理并因式分解,其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根 的大小等都是引起分类讨论的原因 变式 1、已知函数 f(x)a 2(x1) 2xln x(a0)讨论 f(x)的单调性 【解析】 函数 f(x)的定义域为(0,), f(x)a(x1)11 x (1)(1)xax x , 令 f(x)0,则 x11,x21 a, ()若 a1,则 f(x)0 恒成立,所以 f(x)在(0
12、,)上是增函数 ()若 0a1, 当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)是增函数, 第 9 页 / 共 17 页 当 x 1,1 a 时,f(x)0,f(x)是增函数 ()若 a1,则 01 a0,f(x)是增函数, 当 x 1 a,1 时,f(x)0,f(x)是增函数 综上所述,当 a1 时,f(x)在(0,)上是增函数; 当 0a1 时,f(x)在 0,1 a 上是增函数,在 1 a,1 上是减函数,在(1,)上是增函数 考点四 构造函数研究单调性 例 4、(1)设 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当 x0 时,xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )
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