第20讲 导数的综合应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 26 页 第第 20 讲:导数的综合应用讲:导数的综合应用 一、课程标准 1、利用导数证明不等式有关的综合问题 2、利用导数研究零点有关的综合问题 3、通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用. 二、基础知识回顾 1、逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式 解决问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程 (1)对数形式:x1ln x(x0),当且仅当 x1 时,等号成立 (2)指数形式:exx1(xR),当且仅当 x0 时,等号成立进一步可得到一组不等式链:exx1x1 ln x(
2、x0,且 x1) 2、一般地,若 af(x)对 xD 恒成立,则只需 af(x)max;若 af(x)对 xD 恒成立,则只需 af(x0)成立, 则只需 af(x)min; 若存在 x0D, 使 af(x0)成立, 则只需 af(x0)max.由此构造不等式, 求解参数的取值范围 分类讨论法:常见有两种情况,一种先利用综合法,结合导函数零点之间大小关系的决定条件,确定 分类讨论的标准,分类后,判断不同区间函数的单调性,得到最值,构造不等式求解;另一种,直接通过 导函数的式子,看出导函数值正负的分类标准,通常导函数为二次函数或者一次函数 提示:求解参数范围时,一般会涉及分离参数法,理科试题中很
3、少碰到分离参数后构造的新函数能直 接求出最值点的情况,通常需要设出导函数的零点,难度较大 判断、证明或讨论函数零点个数的方法 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a,b上是连 续不断的曲线, 且 f(a) f(b)0.直接法: 判断一个零点时, 若函数为单调函数, 则只需取值证明 f(a) f(b)0; 分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在 每个单调区间内取值证明 f(a) f(b)1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0,)上的增减 性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随 x
4、 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不 同 值的比较 存在一个 x0,当 xx0 时,有 logaxxnax 解函数应用题的步骤 第一步:阅读理解题意读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景, 在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题 第二步:引用数学符号,建立数学模型一般地,设自变量为 x,函数为 y,必要时引入其他相关辅助 变量,并用 x、y 和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他 相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现
5、问题数学化,即所谓建立数学模 型 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答 三、自主热身、归纳总结 1、 某商人将彩电先按原价提高 40%,然后以“八折优惠”出售,结果是每台彩电比原价多赚 270 元,那么 每台彩电原价是( ) A. 2 225 元 B. 2 250 元 C. 2 500 元 D. 3 000 元 答案 B 第 3 页 / 共 26 页 【解析】 设每台原价是 a 元,则 a(140%) 80%a270,解得 a2 250.故选 B. 2、有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙
6、的地方围成一块矩形场地,中间用同样的 材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),若围墙厚度不计,则围成的矩形最大面积为( ) 第 2 题图 A. 2 500 m2 B. 2 750 m2 C. 3 000 m2 D. 3 500 m2 【答案】 、A 【解析】 设矩形的长为 x m,宽为200 x 4 m,则 Sx 200 x 4 1 4(x 2200 x),其中 0x200.当 x100 时,Smax2 500 m2.故选 A. 3、 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S 梯形的周长2 梯形的面积 ,则 S 的最小值是_ 【答案】 、32 3
7、3 【解析】如图,设 CDx(0x1),则 C梯形DEBAx2(1x)13x,S梯形DEBAx1 2 3 2 3 2 x 3 4 (1 x2)所以 S梯形的周长 2 梯形的面积 43x2 31x2(0x2lna2. 解:(1)f(x)的定义域为(0,),且 f(x)xa x2 . (1.1)当 a0 时,f(x)0 成立,所以 f(x)在(0,)为增函数;(2 分) (1.2)当 a0 时, (i)当 xa 时,f(x)0,所以 f(x)在(a,)上为增函数; (ii)当 0xa 时,f(x)0 时,f(x)的最小值为 f(a),依题意知 f(a)1lna0,解得 0aa,f(1)a0,f(x
8、)在(a,)为增函数,且函数 f(x)的图像在(a,1)上不间断 所以 f(x)在(a,)上有唯一的一个零点 另一方面, 因为 0a1 e,所以 0a 2a1 e. f(a2)1 alna 21 a2lna,令 g(a) 1 a2lna, 当 0a1 e时,g(a) 1 a2 2 a 2a1 a2 g 1 e e20 又 f(a)a2. 不妨设 x1x2,由知 0x1aa2,即证 x1a 2 x2. 因为 x1,a 2 x2(0,a),f(x)在(0,a)上为减函数, 所以只要证 f a2 x2 f(x1) 又 f(x1)f(x2)0,即证 f a2 x2 f(x2)(14 分) 设函数 F(
9、x)f a2 x f(x)x a a x2lnx2lna(xa) 所以 F(x)(xa) 2 ax2 0,所以 F(x)在(a,)为增函数 所以 F(x2)F(a)0,所以 f a2 x2 f(x2)成立 从而 x1x2a2成立 所以 p2ln(x1x2)2lna2,即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立(16 分) 变式 1、(2019 苏州暑假测试)已知函数 f(x)x1alnx(其中 a 为参数) (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 若对任意 x(0,)都有 f(x)0 成立,求实数 a 的取值集合; (3) 证明: 11 n ne0), 当 a0 时,f(x)1a
10、x xa x 0,所以 f(x)在(0,)上是增函数;(2 分) 当 a0 时, 第 6 页 / 共 26 页 x (0,a) a (a,) f(x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的增区间是(a,),减区间是(0,a) 综上所述, 当 a0 时,f(x)的单调递增区间是(0,); 当 a0 时,f(x)的单调递增区间是(a,),单调递减区间是(0,a)(5 分) (2) 由题意得 f(x)min0. 当 a0 时,由(1)知 f(x)在(0,)上是增函数, 当 x0 时,f(x),故不合题意;(6 分) 当 a0 时,由(1)知 f(x)minf(a)a1alna0.(13 分) 令
11、g(a)a1alna,则由 g(a)lna0,得 a1, a (0,1) 1 (1,) g(a) 0 g(a) 极大值 所以 g(a)a1alna0,又 f(x)minf(a)a1alna0,所以 a1alna0, 所以 a1,即实数 a 的取值集合是1(10 分) (3) 要证不等式 11 n ne11 n n1, 两边取对数后,只要证 nln11 n1(n1)ln1 1 n,(11 分) 即只要证 1 n1ln1 1 n 1 n, 令 x11 n,则只要证 1 1 xlnxx1(1f(1),即 x1lnx0,所以 lnxx1(1x2)(14 分) 令 (x)lnx1 x1(10, 所以 (
12、x)在(1,2上递增,故 (x)(1),即 lnx1 x10,所以 1 1 xlnx(1 1 ex 1 2 e2x成立 解 (1)函数 f(x)xln xax 的定义域为(0,) 当 a1 时,f(x)xln xx, f(x)ln x2. 由 f(x)0,得 x 1 e2. 当 x 0, 1 e2 时,f(x)0; 当 x1 e2时,f(x)0. 所以 f(x)在 0, 1 e2 上单调递减,在 1 e2, 上单调递增 因此 f(x)在 x1 e2处取得最小值,即 f(x)minf 1 e2 1 e2,但 f(x)在(0,)上无最大值 (2)证明:当 x0 时,ln x1 1 ex 1 2 e
13、2x 等价于 x(ln x1) x ex 1 2 e2. 由(1)知 a1 时,f(x)xln xx 的最小值是1 e2,当且仅当 x 1 e2时取等号 设 G(x) x ex 1 2 e2,x(0,), 则 G(x)1x ex 1,易知 G(x)maxG(1) 1 e2, 当且仅当 x1 时取到,从而可知对一切 x(0,),都有 f(x)G(x),即 ln x1 1 ex 1 2 e2x. 方法总结:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关 的函数, 利用函数单调性、 极值、 最值加以证明 常见的构造方法有: (1)直接构造法: 证明不等式 f(x)
14、g(x)(f(x) g(x)转化为证明 f(x)g(x)0(f(x)g(x)0),进而构造辅助函数 h(x)f(x)g(x);(2)适当放缩构造法:一 是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如 ln xx1,exx1,ln xxex(x0), x x1ln(x 1)x(x1);(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把 不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直 接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造 函数 f(x)和 g(x),利用
15、其最值求解 考点二、利用导数研究恒成立问题 第 8 页 / 共 26 页 例 2、 (2018 年南通一模)已知函数 f(x) |x32x2x|, x1, lnx, x1, 若对于tR,f(t)kt 恒成立,则实数 k 的取值范围是_ 答案: 1 e,1 思路分析 本题条件“tR,f(t)kt”的几何意义是:在(,)上,函数 yf(t)的图像恒 在直线 ykt 的下方,这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题 令 yx32x2x,x0,即(x1)(3x1)0,解得 x1.又因为 x1,所以 x1 3.令 y0,得 1 3x1,所以 y 的增区间是(, 1 3),减区间是( 1 3,1),所以
16、 y 极大值 4 27. 根据图像变换可作出函数 y|x32x2x|,x1 的图像又设函数 ylnx(x1)的图像经过原点的切线斜率 为 k1,切点(x1,lnx1),因为 y1 x,所以 k1 1 x1 lnx10 x10 ,解得 x1e,所以 k11 e.函数 yx 32x2x 在原 点处的切线斜率 k2yx01.因为tR,f(t)kt,所以根据 f(x)的图像,数形结合可得1 ek1. 变式 1、(2018 无锡期末)已知函数 f(x)ex(3x2),g(x)a(x2),其中 a,xR. (1) 求过点(2,0)和函数 yf(x)图像相切的直线方程; (2) 若对任意 xR,有 f(x)
17、g(x)恒成立,求 a 的取值范围; (3) 若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)g(x0),求 a 的取值范围 思路分析 (1)利用导数的几何意义求切线的方程,根据斜率建立方程即可 (2)不等式恒成立问题处理的方法有两种:一种是分离参变,转化为相应函数的值域(最值)问题解决;另 一种是转化为含参函数的值域问题,通过分类讨论解决这里可以采取第一种方法,只是分离参变时要注 意对 x2 的符号进行分类讨论 (3)在第(2)小问的基础上,分离参变,转化为存在有限整数自变量满足条件的问题利用导数研究函数 F(x)e x(3x2) x2 的性质,找到相关的整数自变量,求得对应的函数值是解决本问题的关
18、键 规范解答 (1) 设切点为(x0,y0),f(x)ex(3x1),则切线斜率为 ex0(3x01),所以切线方程为 yy0 ex0(3x01)(xx0),因为切线过点(2,0), 所以ex0(3x02)ex0(3x01)(2x0), 第 9 页 / 共 26 页 化简得 3x208x00,解得 x00 或 x08 3,(3 分) 当 x00 时,切线方程为 yx2,(4 分) 当 x08 3时,切线方程为 y9e 8 3x18e 8 3.(5 分) (2) 由题意,对任意 xR,有 ex(3x2)a(x2)恒成立, 当 x(,2)时,ae x(3x2) x2 ,即 a ex(3x2) x2
19、 max. 令 F(x)e x(3x2) x2 ,则 F(x)e x(3x28x) (x2)2 , 令 F(x)0,得 x0,列表如下: x (,0) 0 (0,2) F(x) 0 F(x) 极大 F(x)maxF(0)1,故此时 a1.(7 分) 当 x2 时,恒成立,故此时 aR.(8 分) 当 x(2,)时,ae x(3x2) x2 ,即 a ex(3x2) x2 min,令 F(x)0,得 x 8 3,列表如下: x 2,8 3 8 3 8 3, F(x) 0 F(x) 极小 F(x)minF 8 3 9e8 3, 故此时 a9e 8 3,综上,1a9e 8 3.(10 分) (3)
20、由 f(x)g(x),得 ex(3x2)a(x2), 由(2)知 a(,1)(9e8 3,), 令 F(x)e x(3x2) x2 ,列表如下: x (,0) 0 (0,2) 2,8 3 8 3 8 3, F(x) 0 0 F(x) 极大 极小 (12 分) 当 x(,2)时,存在唯一的整数 x0使得 f(x0)g(x0), 第 10 页 / 共 26 页 等价于 ae x(3x2) x2 存在的唯一整数 x0成立, 因为 F(0)1 最大, F(1) 5 3e, F(1)e, 所以当 a 5 3e时, 至少有两个整数成立, 所以 a 5 3e,1 .(14 分) 当 x(2,)时,存在唯一的
21、整数 x0使得 f(x0)e x(3x2) x2 存在唯一的整数 x0成立, 因为 F 8 3 9e8 3最小,且 F(3)7e 3,F(4)5e4,所以当 a5e4 时,至少有两个整数成立,当 a7e3时, 没有整数成立,所以 a(7e3,5e4 综上,a 5 3e,1 (7e 3,5e4(16 分) 变式 2、(2019 广东汕头二模)已知函数 f(x)aln xx1(其中 aR) (1)讨论函数 f(x)的极值; (2)对任意 x0,f(x)1 2(a 21)成立,求实数 a 的取值范围 解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a x1. 当 a0 时,在(0,)上,f(x)0 时
22、,令 f(x)0,得 xa, 在(0,a)上,f(x)0,f(x)是增函数;在(a,)上,f(x)0 时,f(x)有极大值 f(a)aln aa1,无极小值 (2)由(1)知当 a0,f(x)是减函数, 令 be a 2,b1,则 ln b0,不成立 当 a0 时,当 xa 时,f(x)取得极大值也是最大值, 所以 f(x)maxf(a)aln aa1, 要使得对任意 x0,f(x)1 2(a 21)成立, 即 aln aa11 2(a 21), 第 11 页 / 共 26 页 则 aln a3 2a 1 2a 20 成立, 令 u(a)aln a3 2a 1 2a 2(a0), 所以 u(a
23、)ln a11aln aa, 令 k(a)u(a)ln aa, k(a)1 a1,令 k(a) 1a a 0,得 a1, 在(0,1)上,k(a)0,k(a)u(a)是增函数,在(1,)上,k(a)0,k(a)u(a)是减函数, 所以当 a1 时,k(a)u(a)取得极大值也是最大值, u(a)maxu(1)10, 在(0,)上,u(a)0),则 F(x)x1 x (x0), 当 0x1 时,F(x)1 时,F(x)0,F(x)单调递增 F(x)F(1)10,a x202x0 x0ln x0. 记 G(x)x 22x xln x,x 1 e,e , 则 G(x)2x2xln xx2x1 xln
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