第22讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 22 讲:同角三角函数的基本关系及诱导公式讲:同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、课程标准 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2xcos2x1,sin x cos xtan x. 2借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 2 、的正弦、余弦、正切 . 二、基础知识回顾 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2cos21; (2)商数关系:tan sin cos . 平方关系对任意角都成立,而商数关系中 k 2(kZ Z) 2诱导公式 一 二 三 四 五 六 2k (kZ Z) 2 2 sin sin sin sin_ cos_ cos_
2、cos cos cos cos_ sin_ sin_ tan tan tan tan_ 3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,转化的一般步骤如下: 第 2 页 / 共 12 页 即:去负脱周化锐的过程上述过程体现了转化与化归的思想方法 4、三角形中的三角函数关系式 sin(AB)sin(C)sinC; cos(AB)cos(C)cosC; tan(AB)tan(C)tanC; sin A 2 B 2 sin 2 C 2 cosC 2; cos A 2 B 2 cos 2 C 2 sinC 2. 三、自主热身、归纳总结 1、是第三象限角,且 3 sin- 2 ,则tan(
3、) A- 3 B3 C 3 - 3 D 3 3 【答案】B 【解析】因为是第三象限角,且 3 sin- 2 , 所以 1 cos 2 ,所以 sin tan3 cos ,故选 B。 2、已知 sin2 2sin3cos5 ,则tan( ) 第 3 页 / 共 12 页 A6 B6 C 2 3 D 2 3 【答案】B 【解析】化简 sinsin2 2sin3cos2sin3cos235 tan tan 所以t6an,故选 B。 3、(多选)已知sin 3cos 3cos sin 5,下列计算结果正确的是( ) Atan 1 2 Btan 2 Ccos21 2sin 2 3 5 Dsin 2cos
4、 26 5 【答案】BC 【解析】 sin 3cos 3cos sin tan 3 3tan 5, 解得 tan 2, cos 21 2sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos sin2cos2 1tan 1tan2 12 122 3 5,sin 2cos 22sin2cos22tan 21 tan21 7 5. 4、化简: cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)_. 【答案】sin2 【解析】原式 cos 2 sin 2 2 (sin ) cos sin sin 2 (sin ) cos sin cos (sin ) cos sin 2. 5、(一题两空)已知
5、 sin cos 1 5,(0,),则 sin cos()_,tan _. 第 4 页 / 共 12 页 【答案】12 25 4 3 【解析】 因为 sin cos 1 5, 所以(sin cos ) 212sin cos 1 25, 所以 sin cos 12 25.所以 sin cos( )sin cos 12 25; (sin cos )212sin cos 49 25,因为 (0,),所以 sin 0,cos 0,所以 sin cos 7 5.联立 sin cos 1 5, sin cos 7 5, 解得 sin 4 5,cos 3 5.所以 tan 4 3. 四、例题选讲 考点一、
6、三角函数的诱导公式 例 1、角的终边在直线2yx上,则 sincos sincos ( ) A 1 3 B1 C3 D1 【答案】C 【解析】因为角的终边在直线2yx上,tan2, 则 sincossin sincossincos cso sincostan1 3 sincostan1 ,故选 C。 变式 1、 已知 sin(3)1 3,则 cos() coscos()1 cos()2 sin 3 2 cos()sin 3 2 _ _ 第 5 页 / 共 12 页 【答案】18 【解析】 sin(3)sin1 3,sin 1 3, 原式 cos cos()cos1 cos()2 sin 3 2
7、 cos() cos 1 1cos cos cos2cos 1 1cos 1 1cos 2 1cos2 2 sin2 2 1 3 218. 变式 2、已知 f()2sin()cos()cos() 1sin2cos 3 2 sin2 2 (sin 0 且 12sin 0),则 f 23 6 _. 【答案】 3 【解析】f()(2sin )(cos )cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos (12sin ) sin (12sin ) 1 tan , f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. 变式 3、(1)设 f(
8、) 2sincoscos 1sin2cos 3 2 sin2 2 (12sin 0),则 f 23 6 _. (2)已知 cos 6 a,则 cos 5 6 sin 2 3 的值是_ 第 6 页 / 共 12 页 【答案】 (1) 3 (2)0 【解析】(1)因为 f()2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1 tan ,所以 f 23 6 1 tan 23 6 1 tan 4 6 1 tan 6 3. (2)因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 a,sin 2 3 sin 2 6 co
9、s 6 a, 所以 cos 5 6 sin 2 3 0. 方法总结:1、熟知将角合理转化的流程 也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了” 2明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦,统一名 (2)用诱导公式,统一角 (3)用因式分解将式子变形,化为最简 考点二 同角函数关系式的运用 例 2 (1)若 是三角形的内角,且 tan1 3,则 sincos的值为_ _ (2)已知 sincos1 8,且 5 4 3 2 ,则 cossin的值为_ _ 【答案】 (1) 10 5 .(2) 3 2 . 【解析】 (1)由 tan1 3,得 sin 1 3cos,将其代入 sin 2cos21,得
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