第24讲 三角恒等变换2(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 24 讲:三角恒等变换(讲:三角恒等变换(2) 一、课程标准 1、能熟练运用两角和与差以及二倍角进行化简求值 2、能熟练解决变角问题 3、能熟练的运用公式进行求角 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角 函数,如遇到正切、正弦、余弦并存的情况,一般要切化弦 2. 要注意对“1”的代换: 如 1sin2cos2tan 4 ,还有 1cos2cos2 2,1cos2sin 2 2. 3. 对于 sincos与 sincos同时存在的试题,可通过换元完成: 如设 tsincos,则
2、 sincos t21 2 . 4. 要注意角的变换,熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如 2()(),( )(), 3是 2 3 的半角, 2是 4的倍角等 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式: (1)yasinxbcosxa2b2sin(x),其中 cos a a2b2,sin b a2b2.则 a2b2y a2b2. (2)yasin2xbsinxcosxccos2x 可先降次,整理转化为上一种形式 (3)yasinxb csinxd(或 y acosxb ccosxd) 第 2 页 / 共 18 页 可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式 sinxf(
3、y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式: (1)yasin2xbcosxc 可转化为关于 cosx 的二次函数式 (2)yasinx c bsinx(a,b,c0),令 sinxt,则转化为求 yat c bt(1t1)的最值,一般可用基本不 等式或单调性求解 三、自主热身、归纳总结 1、已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y2x 上,则 sin 2 4 的值为( ) A. 7 2 10 B. 7 2 10 C. 2 10 D. 2 10 【答案】D 【解析】 由三角函数的定义得 tan2,cos 5 5 , tan2
4、 2tan 1tan2 4 3,cos22cos 213 5, sin2cos2tan24 5,sin 2 4 2 2 (sin2cos2) 2 2 4 5 3 5 2 10.故选 D. 2、若 sin 2 5 5 ,sin() 10 10 ,且 4, , ,3 2 ,则 的值是( ) A.7 4 B.9 4 C.5 4 或7 4 D.5 4 或9 4 【答案】A 第 3 页 / 共 18 页 【解析】 4, , 2 2,2 , sin 2 5 5 ,2 2, . 4, 2 且 cos 22 5 5 . 又sin() 10 10 , ,3 2 , 2, 5 4 ,cos()3 10 10 ,
5、cos()cos()2 cos()cos 2sin()sin 2 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 , 又 5 4 ,2 ,7 4 . 3、已知 cos 4 cos 4 1 4,则 sin 4cos4的值为_ 【答案】5 8 【解析】 cos 4 cos 4 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 1 2(cos 2 sin2)1 2cos2 1 4.cos2 1 2.故 sin 4cos4 1cos2 2 2 1cos2 2 2 1 16 9 16. 5 8 第 4 页 / 共 18 页 4、已知 sin 5 5 ,sin() 10 10 , 均
6、为锐角,则 _. 【答案】 4 【解析】因为 , 均为锐角,所以 2 2. 又 sin() 10 10 ,所以 cos()3 10 10 . 又 sin 5 5 ,所以 cos 2 5 5 , 所以 sin sin()sin cos()cos sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 所以 4. 5、(一题两空)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆分 别交于A, B两点, x轴正半轴与单位圆交于点M, 已知SOAM 5 5 , 点B的纵坐标是 2 10.则cos()_, 2_. 【答案】 10 10 4 【解析】
7、由题意,OAOM1, 因为 SOAM 5 5 和 为锐角,所以 sin 2 5 5 ,cos 5 5 . 又点 B 的纵坐标是 2 10,所以 sin 2 10,cos 7 2 10 , 第 5 页 / 共 18 页 所以 cos()cos cos sin sin 5 5 7 2 10 2 5 5 2 10 10 10 . 因为 cos 22cos212 5 5 213 5, sin 22sin cos 22 5 5 5 5 4 5,所以 2 2, . 因为 2, ,所以 2 2, 2 . 因为 sin(2)sin 2cos cos 2sin 2 2 , 所以 2 4. 四、例题选讲 考点一、
8、变角的运用 例 1、(2020 江苏苏州五校 12 月月考) 已知 5 cos 45 ,0, 2 , 则s i n 2 4 的值为_ 【答案】 2 10 【解析】0, 2 , 3 , 44 4 ,又 5 cos 45 , 2 sin5 45 , 2 554 sin22sincos2 444555 , 2 3 cos22cos1 445 , 333 sin 2sin 2sin2coscos2sin 4444444 第 6 页 / 共 18 页 = 42322 525210 变式 1、(2017 苏锡常镇调研(一) ) 已知 sin3sin 6,则 tan 12_. 【答案】 、2 34 【解析】
9、解法 1 由题意可得 sin 12 12 3sin 12 12 ,即 sin 12 cos 12cos 12 sin 12 3sin 12 cos 123cos 12 sin 12,所以 tan 12 2tan 122tan 3 4 2 32 1 3 2 34. 解法 2 tan 12tan 3 4 31 1 32 3.因为 sin3sincos 63cossin 6,即 sin 3 3 2 sin3 2cos, 即 tan 3 23 3,所以 tan 12 tantan 12 1tantan 12 3 23 32 3 1 3 23 32 3 168 3 4 2 34. 变式 2、(2019
10、通州、海门、启东期末)设 0, 3 ,已知向量 a( 6sin, 2),b 1,cos 6 2 , 且 ab. (1) 求 tan 6 的值; (2) 求 cos 27 12 的值 【解析】 (1) 因为 a( 6sina, 2),b 1,cos 6 2 ,且 ab. 所以 6sina 2cos 3,所以 sin 6 6 4 .2 分 因为 0, 3 ,所以 6 6 , 2 ,(4 分) 所以 cos 6 10 4 , 第 7 页 / 共 18 页 故 sin 6 1cos2 6 6 4 所以 tan 6 15 5 .(6 分) (2) 由(1)得 cos 2 3 2cos2 6 12 10
11、4 2 11 4.(8 分) 因为 0, 3 ,所以 2 3 3 , , 所以 sin 2 3 15 4 .(10 分) 所以 cos 27 12 cos 2 3 cos 4 sin 2a 3 sin 4 (12 分) 2 30 8 .(14 分) 方法总结:所谓边角就是用已知角表示所求的角,要重点把握住它们之间的关系,然后运用有关公式进行 求解。 考点二、求角 例 2、(2019 苏州期初调查)已知 cos4 3 7 , 0, 2 . (1) 求 sin 4 的值; (2) 若 cos()11 14, 0, 2 ,求 的值 【解析】 (1) 由 cos4 3 7 , 0, 2 , 得 sin
12、 1cos21 4 3 7 2 1 7.(2 分) 所以 sin 4 sin 4 coscos 4 sin(4 分) 2 2 4 3 7 2 2 1 7 4 6 2 14 .(6 分) 第 8 页 / 共 18 页 (2) 因为 , 0, 2 ,所以 (0,) 又 cos()11 14,则 sin() 1cos 2() 1 11 14 2 5 3 14 .(8 分) 所以 sinsin()sin()coscos()sin(10 分) 5 3 14 4 3 7 11 14 1 7 1 2.(12 分) 因为 0, 2 ,所以 6 .(14 分) 变式 1、 (2020 江苏扬州高邮上学期开学考)
13、在平面直角坐标系xOy中,锐角的顶点为坐标原点O,始 边为x轴的非负半轴,终边上有一点(1,2)P (1)求cos2sin2 的值; (2)若 10 sin() 10 ,且 0, 2 ,求角的值 【解析】(1)角的终边上有一点 P 22 5 sin 55 , 15 cos 55 , 2 554 sin22sincos2 555 , 2 2 53 cos22cos121 55 , 431 sin2cos2 555 (2)由 0 2 , ,0 2 , 得, 2 2 , 10 sin() 10 , 2 2 103 10 cos()1 sin ()1 1010 , 则sinsin()sincos()c
14、ossin() 2 53 105102 5105102 ,因 第 9 页 / 共 18 页 0 2 ,则 4 变式 3、(2017 南京学情调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的 终边分别与单位圆交于点 A,B.若点 A 的横坐标是3 10 10 ,点 B 的纵坐标是2 5 5 . (1) 求 cos()的值; (2) 求 的大小 【解析】 因为锐角 的终边与单位圆交于点 A,且点 A 的横坐标是3 10 10 , 所以由任意角的三角函数的定义可知 cos3 10 10 , 从而 sin 1cos2 10 10 .(2 分) 因为钝角 的终边与单位圆
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