第25讲 三角函数的图像与性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 25 讲:三角函数的图像与性质讲:三角函数的图像与性质 一、课程标准 1.能画出 ysin x,ycos x,ytan x 的图象,了解三角函数的周期性 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在 2, 2 上的性质 二、基础知识回顾 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理: 在正弦函数 ysin x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,0), 2,1 ,(,0), 3 2 ,1 ,(2,0) 在余弦函数 ycos x,x0,2的图象上,五个关键点是:(0,1), 2,0 ,(,1), 3 2 ,0 ,(2,1). (
2、2)五点法作图的三步骤:列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R,且xk 2 ,kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 第 2 页 / 共 20 页 单 调 性 在 22k, 22k (kZ Z)上是递增函数, 在 22k, 3 2 2k (k Z Z)上是递减函数 在2k, 2k(kZ Z)上是 递增函数,在 2k,2k(k Z Z)上是递减函 数 在 2k, 2k (kZ Z)上是 递增函数 周 期 性 周 期 是 2k(k Z Z 且
3、k0),最小正周期是 2 周期是2k(kZ Z 且 k0),最小 正周期是 2 周期是 k(kZ Z 且 k0), 最小正 周期是 对 称 性 对称轴是 x 2k(k Z Z),对称中心是(k,0)(k Z Z) 对称轴是 x k(kZ Z),对称 中心是 k 2,0 (k Z Z) 对称中心是 k 2 ,0 (kZ Z) 三、自主热身、归纳总结 1、函数 2tan 2 3 yx 的定义域为( ) A | 12 x x B| 12 x x C |, 12 x xkkZ D|, 212 k x xkZ 【答案】D 第 3 页 / 共 20 页 【解析】因为2, 32 xkkZ ,所以, 212
4、k xkZ 故函数的定义域为 |, 212 k x xkZ ,选 D。 2、在函数ycos|2x|,y|cosx|,ycos 2x 6 ,ytan 2x 4 中,最小正周期为的所有函数 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ycos|2x|cos2x,最小正周期为; 由图像知 y|cosx|的最小正周期为; ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ; ytan 2x 4 的最小正周期 T 2 .故选 A. 3、函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0, 2 上的最小值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2 2 D. 0 【答案】B 【解析】 由已知 x 0, 2 ,
5、得 2x 4 4 ,3 4 ,sin 2x 4 2 2 ,1 , 故函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0, 2 上的最小值为 2 2 .故选 B. 4、下列关于函数 y4sin x,x,的单调性的叙述,正确的是( ) 第 4 页 / 共 20 页 A在,0上是增函数,在0,上是减函数 B在 2, 2 上是增函数,在 , 2 和 2, 上是减函数 C在0,上是增函数,在,0上是减函数 D在 2, 和 , 2 上是增函数,在 2, 2 上是减函数 【答案】B 【解析】函数 y4sin x 在 , 2 和 2, 上单调递减,在 2, 2 上单调递增故选 B. 5、 (安徽省淮南市 2019 届
6、高三模拟) 若函数 f(x)sin x(0)在区间 0, 3 上单调递增,在区间 3, 2 上 单调递减,则 等于( ) A.2 3 B. 3 2 C2 D3 【答案】B 【解析】因为 f(x)sin x(0)过原点, 所以当 0 x 2,即 0 x 2时,ysin x 是增函数; 当 2x 3 2 ,即 2x 3 2时, ysin x 是减函数由 f(x)sin x(0)在 0, 3 上单调递增, 在 3, 2 上单调递减知, 2 3,所以 3 2。 6、下列关于函数tan() 3 yx 的说法正确的是( ) A在区间 5 (,) 66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0) 4 成
7、中心对称 D图象关于直线 6 x 成轴对称 【答案】AB 第 5 页 / 共 20 页 【解析】令 232 kxk ,解得 5 66 kxk ,kZ,显然 5 (,) 66 满足上述关系式, 故A正确;易知该函数的最小正周期为,故B正确; 令 32 k x ,解得 23 k x ,kZ,任取k值不能得到 4 x ,故C错误; 正切函数曲线没有对称轴,因此函数tan() 3 yx 的图象也没有对称轴,故D错误 7、函数 ycos 2x 4 的单调递减区间为_ 【答案】 k 8 ,k5 8 (kZ)_ 【解析】 令 2k2x 4 2k(kZ),解得 k 8 xk5 8 (kZ),函数的单调递减区间
8、 为 k 8 ,k5 8 (kZ) 8、函数 y32cos x 4 的最大值为_,此时 x_. 【答案】5 3 4 2k(kZ Z) 【解析】函数 y32cos x 4 的最大值为 325,此时 x 42k,kZ Z,即 x 3 4 2k(kZ Z) 四、例题选讲 考点一、三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 第 6 页 / 共 20 页 【答案】 (1) x 2k 4 x2k5 4 ,kZ (2) 3 2k,5 6 2k (kZ) 【解析】 (1)要使函数有意义,必须使 sinxcosx0.利用图像,
9、在同一坐标系中画出上 ysinx 和 ycosx 的图像, 如图所示在 0,2内,满足 sinxcosx 的 x 为 4 ,5 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2, 原函数的定义域为 x 2k 4 x2k5 4 ,kZ. (2)由题意得 12cosx0, 2sinx10, 根据图像解得 3 2kx5 6 2k, 即定义域为 3 2k,5 6 2k (kZ) 变式 1、 (1)函数 y 1 tan x1的定义域为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x1 2的定义域为_. 【答案】 ((1) x|x 4k,且x 2k,kZ (2) x|2k0, cos x1 20, 即 sin x0
10、, cos x1 2, 解得 2kx2k(kZ), 32kx 32k(kZ), 所以 2kx 32k(kZ), 所以函数的定义域为 x|2k0,函数f(x)sin x 4 在 2 , 上单调递减,则的取值范围是_. 【答案】 1 2, 5 4 第 12 页 / 共 20 页 【解析】由 2x0 得 2 4x 40,kZ Z, 得k0,所以 1 2, 5 4 . 方法总结: 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式, 再把 x 看作整体代入 ysinx 的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题, 首先, 明确已知的单调区间应为函
11、数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间 的关系可求解考查运算求解能力,整体代换及转化与化归的思想 考点四、三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 (1)函数 f(x)|tan x|的最小正周期是_. (2)函数 f(x)cos23 2xsin 23 2x 的最小正周期是_. 【答案】(1) (2)2 3 【解析】(1)y|tan x|的图象是ytan x的图象保留x轴上方部分,并将下方的部分翻折到x轴上方得 到的,所以其最小正周期为. (2)函数f(x)cos 23 2xsin 23 2xcos 3x,最小正周期 T2 3 . 变式 1、(1)若函数 f(x)
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