第26讲 Ysinwxb的图像与性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 22 页 第第 26 讲:讲:Y=sin(wx+b)的图像与性质的图像与性质 一、课程标准 1.了解 yAsin(x)的实际意义;能借助计算器或计算机画出 yAsin(x)的图象,观察参数 A、 对函数图象变化的影响 2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、基础知识回顾 1. yAsin(x)的有关概念 yAsin(x )(A0, 0),xR 振幅 周期 频率 相位 初相 A T2 f1 T 2 _x_ _ 2. 用五点法画 yAsin(x)(A0,0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x 0 2 3
2、 2 2 x _0_ 2 _ 3 2 _2_ yAsin(x ) 0 A 0 A 0 3. 函数 ysinx 的图像经变换得到 yAsin(x)(A0,0)的图像的步骤如下: 第 2 页 / 共 22 页 4、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中,判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式,而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式常见的结论有: (1)若 yAsin(x)为偶函数,则有 k 2(kZ);若为奇函数,则有 k(kZ) (2)若 yAcos(x)为偶函数,则有 k(kZ);若为奇函数,则有 k 2(kZ) (3)若 yA
3、tan(x)为奇函数,则有 k(kZ) 三、自主热身、归纳总结 1. 函数 f(x)Asin(x)(A0,0,| 2 )的部分图像如图所示,则 f 11 24 的值为( ) 第 1 题图 A. 6 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 【答案】D 【解析】 由图像可得 A 2,最小正周期 T4 7 12 3 , 则 2 T 2.又 f 11 24 2sin 7 6 2, 得 3 , 则 f(x) 2sin 2x 3 , f 11 24 2sin 11 12 3 2sin5 4 1.故选 D. 2. 将函数f(x)sin(2x) 2 2 的图像向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图像
4、, 若f(x), 第 3 页 / 共 22 页 g(x)的图像都经过点 P 0, 3 2 ,则 的值可以是( ) A. 5 3 B. 5 6 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 P 0, 3 2 在 f(x)的图像上, f(0)sin 3 2 . 2 , 2 , 3 , f(x)sin 2x 3 . g(x)sin 2(x) 3 .g(0) 3 2 , sin 3 2 3 2 .验证 5 6时,sin 3 2 sin 3 5 3 sin 4 3 3 2 成立故选 B. 3、(2019 安徽江南十校联考)已知函数 f(x)sin(x) 0,| 2 的最小正周期为 4,且xR,有 f(x)f
5、 3 成立,则 f(x)图象的一个对称中心坐标是( ) A. 2 3 ,0 B. 3,0 C. 2 3 ,0 D. 5 3 ,0 【答案】A 【解析】由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4,得 1 2. 因为 f(x)f 3 恒成立,所以 f(x)maxf 3 , 即1 2 3 22k(kZ), 由| 2,得 3,故 f(x)sin 1 2x 3 . 令1 2x 3k(kZ),得 x2k 2 3 (kZ), 故 f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ,0 (kZ), 当 k0 时,f(x)图象的对称中心为 2 3 ,0 。 4、 (江苏宿迁开学调研)有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线si
6、nyx的图象变为sin(2) 4 yx 的图 第 4 页 / 共 22 页 象的是( ) A横坐标变为原来的 1 2 ,再向左平移 4 B横坐标变为原来的 1 2 ,再向左平移 8 C向左平移 4 ,再将横坐标变为原来的 1 2 D向左平移 8 ,再将横坐标变为原来的 1 2 【答案】BC 【解析】Asinyx横坐标变为原来的 1 2 , 再向左平移 4 , 得s i n 2 () s i n ( 2) 42 yxx , 故A不正确; Bsinyx横坐标变为原来的 1 2 ,再向左平移 8 ,得sin2()sin(2) 84 yxx ,故B正确; Csinyx向左平移 4 ,再将横坐标变为原来
7、的 1 2 ,得sin(2) 4 yx ,故C正确; Dsinyx向左平移 8 ,再将横坐标变为原来的 1 2 ,得sin(2) 8 yx ,故D不正确 5、(2018 苏北四市期末) 若函数 f(x)Asin(x)(A0,0)的图像与直线 ym 的三个相邻交点的横 坐标分别是 6 , 3 ,2 3 ,则实数 的值为_ 【答案】 、. 4 【解析】 、由题意得函数 f(x)的最小正周期 T2 3 6 2 ,从而 4. 6、(2018 镇江期末) 函数 y3sin 2x 4 的图像两相邻对称轴的距离为_ 【答案】 、 2 【解析】 、由题知函数最小正周期 T2 2 .图像两相邻对称轴间的距离是最
8、小正周期的一半即 2 . 7、 (2020 江苏镇江期中考试)设函数 sin, ,f xAxA 为参数,且0,0,0A 的 部分图象如图所示,则的值为_ 第 5 页 / 共 22 页 【答案】 3 【解析】由图象可得 f x最小正周期: 47 3126 T ,即 2 ,2, 又 77 sin 126 fAA , 73 2 62 k ,kZ,2 3 k ,kZ, 又0, 3 ,本题正确结果: 3 8、 (2020 江苏扬州高邮上学期开学考试)在平面直角坐标系xOy中,将函数 sin 2 3 yx 的图像向右 平移0 2 个单位长度若平移后得到的图像经过坐标原点,则的值为_ 【答案】 6 【解析】
9、函数 sin 2 3 yx 的图像向右平移 0 2 个单位得 sin 22 3 yx ,因为过 坐标原点,所以 -2()0 36226 k kkZ 9、(一题两空)已知函数 f(x)2sin(x) 0,| 2 一部分图象如图所示,则 _,函数 f(x) 的单调递增区间为_ 第 6 页 / 共 22 页 【答案】2 5 12 k, 12k (kZ Z) 【解析】由图象知T 2 3 6 2 ,则周期T,即2 ,则2,f(x)2sin(2x)由五 点对应法得 2 6 2k,又| 2 ,所以 3 ,则f(x)2sin 2x 3 .令 2k 2 2x 3 2k 2 ,kZ Z, 得5 12 kxk 12
10、, kZ Z, 即函数的单调递增区间为 5 12 k, 12k , kZ Z. 四、例题选讲 考点一、函数 yAsin(x)的图像及其变换 例 1 已知函数 y2sin 2x 3 . (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明 y2sin 2x 3 的图像可由 ysinx 的图像经过怎样的变换而得到 【解析】 (1)y2sin 2x 3 的振幅 A2,周期 T2 2 ,初相 3 . (2)令 X2x 3 ,则 y2sin 2x 3 2sinX. 列表如下: x 6 12 3 7 12 5 6 第 7 页 / 共 22 页 X 0 2 3 2 2 y
11、sinX 0 1 0 1 0 y2sin(2x 3 ) 0 2 0 2 0 描点画出图像,如图所示: (3)(方法 1)把 ysinx 的图像上所有的点向左平移 3 个单位长度,得到 ysin x 3 的图像;再把 y sin x 3 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变),得到 ysin 2x 3 的图像;最后把 y sin 2x 3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y2sin 2x 3 的图像 (方法 2)将 ysinx 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的1 2倍(纵坐标不变),得到 ysin2x 的图像;再 将ysin2x的图像向左平移 6
12、 个单位长度, 得到ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图像; 再将ysin 2x 3 的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变),即得到 y2sin 2x 3 的图像 变式 1、 (1)(2019 漳州八校联考)若函数 f(x)cos 2x 6 , 为了得到函数 g(x)sin 2x 的图象, 则只需将 f(x) 的图象( ) A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 (2)已知函数 f(x)4cos x sin x 6 a 的最大值为 2. 求 a 的值及 f(x)的最小正周期; 画出 f(x)在0,上的图象
13、 第 8 页 / 共 22 页 【解析】(1)函数 f(x)cos 2x 6 sin 22x 6 sin 2x 3 ,为了得到函数 g(x)sin 2x 的图象,则只需 将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度即可故选 A. (2)f(x)4cos xsin x 6 a 4cos x 3 2 sin x1 2cos x a 3sin 2x2cos2xa 3sin 2xcos 2x1a 2sin 2x 6 1a 的最大值为 2, 所以 a1,最小正周期 T2 2 . 由知 f(x)2sin 2x 6 ,列表: x 0 6 5 12 2 3 11 12 2x 6 6 2 3 2 2 13 6 f(
14、x)2sin 2x 6 1 2 0 2 0 1 画图如下: 第 9 页 / 共 22 页 变式 2、(2019 苏州三市、苏北四市二调)将函数 y2sin3x 的图像向左平移 12个单位长度得到 yf(x)的图 像,则 f 3 的值为_ 【答案】 、 2 【解析】 、解法 1 由题意可知:yf(x)2sin 3 x 12 2sin 3x 4 ,所以 f 3 2sin 3 3 4 2sin 4 2. 解法 2 根据图像平移前后的关系,f 3 的值应和 y2sin3x 中 x 3 12时 y 值相等,所以 f 3 2sin3 3 12 2. 变式 3、(2019 常州期末) 已知函数 f(x)si
15、n(x)(0,R)是偶函数,点(1,0)是函数 yf(x)图像 的对称中心,则 的最小值为_ 【答案答案】 、 2 【解析】解法 1 令 x 2 k1,k1Z,得 x 2 k1 .因为函数 f(x)sin(x)(0,R) 是偶函数, 则 x 2 k1 0 得 2 k1.因为点(1, 0)是函数 yf(x)图像的对称中心, 所以 f(1)0, 即 sin()0, 故 k2, k2Z, 则 k2k2 2 k1 2 (k2k1).又因为 0, 所以当 k2k11 时,取最小值为 2 . 解法 2 函数 f(x)是偶函数,所以图像关于 x0 对称又(1,0)是函数 f(x)的对称中心,所以T 4 k
16、2T 2k1 4 2 1,得 2k1 2 ,kZ.又 0,所以 min 2 . 第 10 页 / 共 22 页 变式 4、(2019 苏北三市期末)将函数 f(x)sin2x 的图像向右平移 6 个单位长度得到函数 g(x)的图像,则以 函数 f(x)与 g(x)的图像的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为_ 【答案答案】 、 3 2 【解析解析】 、平移后的函数 g(x)sin 2x 3 .令 f(x)g(x),得 sin2xsin 2x 3 . 解法 1 2x 3 2x2k(kZ), 即 x 3 k 2 (kZ), 相邻的三个交点为 3 , 3 2 , ( 6 , 3 2 ), 5 6 ,
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