第29讲 平面向量的概念与线性运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 29 讲:平面向量的概念与线性运算讲:平面向量的概念与线性运算 一、课程标准 1.了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示 2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义 3.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 向量的有关概念 (1)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,其方向是不确定的 (2)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我们规定零向量与任一向量平行 (3)单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量 (4)相
2、等向量:长度相等且方向相同的向量 (5)相反向量:与向量 a 长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量 2. 向量的线性运算 (1)向量加法满足交换律 abba,结合律(ab)ca(bc) 向量加法可以使用三角形法则,平行四边形法则 (2)向量的数乘:实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a,它的长度和方向规定如下: |a|a|; 当 0 时,a 与 a 方向相同; 当 | |b ab; C. ab| | a | |b ; D. | |a 0a0 【答案】A 【解析】 项向量相等除了模相等还要求方向相同;B 项向量不能比大小;C 项正确;D 项 a0.故选 C. 方法总结:向量有关概念的
3、关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0,规定零向量与任意向量共线 考点 2 向量的线性运算 例 1、(1)(2019 安徽合肥二模)在ABC 中, BD 1 3 BC ,若 ABa, ACb,则 AD( ) A.2 3a 1 3b B1 3a 2 3b C.1 3a 2 3b D.2 3a 1 3b (2)(一题多解)(2020 广东一模)已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16 OA 12 OB3 OC0, 则(
4、 ) A. OA 12 AB3 AC B OA 12 AB3 AC C. OA 12 AB3 AC D. OA 12 AB3 AC 【答案】(1)A (2)A 【解析】 (1) AB a, ACb, BD1 3 BC , 第 6 页 / 共 15 页 AD AB1 3( AC AB), AD 2 3 AB 1 3 AC 2 3a 1 3b.故选 A. (2)法一: 对于 A. OA 12 AB3 AC12( OB OA)3( OC OA)12 OB3 OC15 OA, 整理, 可得 16 OA 12 OB3 OC0,这与题干中条件相符合,故选 A. 法二:已知 A,B,C 三点不共线,且点 O
5、 满足 16 OA 12 OB3 OC0,所以 16 OA12 OB0, 所以 OA 12 AB3 AC,故选 A. 变式 1、 (山西平遥中学 2019 届期末)在ABC 中, AB c,ACb,若点 D 满足 BD2 DC,则 AD等 于( ) A.2 3b 1 3c B.5 3c 2 3b C.2 3b 1 3c D1 3b 2 3c 【答案】A 【解析】 BD 2 DC, AD AB BD2 DC2( AC AD), 3 AD 2 AC AB, AD 2 3 AC 1 3 AB 2 3b 1 3c. 变式 2、 (2019 衡水中学五调)如图所示, 在正方形 ABCD 中, E 为 B
6、C 的中点, F 为 AE 的中点, 则DF ( ) A. 1 2AB 3 4AD B .1 2AB 2 3AD C1 3AB 1 2AD D .1 2AB 3 4AD 【答案】D 【解析】DF AF AD ,AE ABBE. 第 7 页 / 共 15 页 E 为 BC 的中点,F 为 AE 的中点, AF 1 2AE ,BE1 2BC , DF AF AD 1 2AE AD 1 2(AB BE)AD 1 2AB 1 4BC AD , 又BC AD ,DF 1 2AB 3 4AD .故选 D. 变式 3、(1)如图(1)所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,A
7、B a,AC b,则 AD (用 a,b 表示) 图(1) 图(2) (2)如图(2),D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则AD BE CF_. 【答案】 (1)b1 2a.(2)0 【解析】 (1)连接 CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,得 CDAB 且CD 1 2AB 1 2a,AD AC CD b1 2a. (2)由题意知: AD FE ,BEDF ,CF ED ,而FE ED DF 0,AD BE CF0. 变式 4、 (2019 无锡区期末)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算错误的是( ) AAB ADAC BACCDDOOA CABACCDAD D
8、0ACBADA 【答案】BC 第 8 页 / 共 15 页 【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义,ABADAC,A正确; ACCDDOAO,B错误; ABACCDABADAC,C错误;0ACBADABCDA,D正确 故选:BC 变式 5、(2019 宿迁期末) 如图所示, 四边形ABCD为梯形, 其中/ /ABCD,2ABCD,M,N分别为AB, CD的中点,则下列结论正确的是( ) A 1 2 ACADAB B 11 22 MCACBC C 1 4 MNADAB D 1 2 BCADAB 【答案】ABD 【解析】因为四边形ABCD为梯形,其中/ /ABCD,2ABCD,M
9、,N分别为AB,CD的中点, 1 2 ACADDCADAB;A对 CM为ACB的中线; 11 22 CMCACB 11 22 MCACBC;B对 11 22 BCACABADABABADAB;的、D对 111111111 ()() 222222244 MNMCCNACBCDCADABADABABADAB;C错; 方法总结:向量的线性运算,即用几个已知向量表示某个向量,基本技巧为:一般共起点的向量求和用平 行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则 考点 3 共线定理的应用 例 3、如图,在ABO 中,OC 1 4OA ,OD 1 2OB ,AD 与 BC 相交于点 M,设O
10、A a,OB b.试用 a 和 b 表示OM . 第 9 页 / 共 15 页 【解析】 设OM manb,则AM OM OA manba(m1)anb.AD OD OA 1 2OB OA a 1 2b.又A、M、D 三点共线, AM 与AD 共线存在实数 t,使得AM tAD ,即(m1)anbt(a1 2b) (m1)anbta1 2tb. m1t, nt 2, 消去 t 得,m12n,即 m2n1.又CM OM OC manb1 4a(m 1 4)anb,CB OB OC b1 4a 1 4ab.又C、M、B 三点共线,CM 与CB 共线 存在实数 t1,使得CM t1CB ,(m1 4
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