第28讲 正弦定理余弦定理得应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 28 讲:正弦定理、余弦定理得应用讲:正弦定理、余弦定理得应用 一、课程标准 1.解三角形的实际应用 2.正、余弦定理在平面几何中的应用 3.解三角形与三角函数的综合问题 二、基础知识回顾 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角:相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种
2、角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角) (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比 第 2 页 / 共 20 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调)在ABC 中,已知 C120,sinB2sinA,且ABC 的面积为 2 3, 则 AB 的长为_ 【答案】 、 2 7 【解析】 、设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.因为 sinB 2 sinA,由正弦定理得 b2a,
3、因为ABC 的 面积为 2 3,所以 S1 2absin120 3 2 a22 3,解得 a2,所以 b4,则 ABc a2b22abcosC 416224cos1202 7. 2、 (2019 南京学情调研) 已知ABC 的面积为 3 15, 且 ACAB2, cosA1 4, 则 BC 的长为_ 【答案】 、. 8 【解析】 、 在ABC 中, cosA1 4, 所以 sinA 1cos 2A 15 4 , 由 SABC1 2bcsinA 1 2bc 15 4 3 15得 bc24,由余弦定理得 a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA22481264,即 a8. 3、(2
4、019 苏锡常镇调研(一) )在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 5a8b,A2B, 则 sin A 4 _ 【答案】 、 17 2 50 【解析】 、 因为 5a8b, 所以由正弦定理可得 5sinA8sinB, 即 sinA8 5sinB, 因为 A2B, 所以 sinAsin2B 2sinBcosB,则8 5sinB2sinBcosB,因为 sinB0,所以 cosB 4 5,则 sinB 1cos 2B3 5,故 sinA 24 25, 因为 A2B,所以 cosAcos2B2cos2B1 7 25,所以 sin A 4 sinAcos 4 cosAsin
5、4 17 2 50 . 解后反思 本题综合考查了正弦定理,同角三角函数关系,三角恒等变换等多个知识点的应用 4、(2018 苏北四市期末)在ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bsinAsinBacos2B 2c,则a c的值为_ 【答案】 、2 第 3 页 / 共 20 页 【解析】 、 由正弦定理得, sinBsinAsinBsinAcos2B2sinC, 即 sinA(sin2Bcos2B)2sinC, 即 sinA2sinC, 再由正弦定理得,a c sinA sinC2. 5、(一题两空)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 si
6、n Asin B5 4sin C,且ABC 的 周长为 9,ABC 的面积为 3sin C,则 c_,cos C_. 【答案】 、4 1 4 【解析】 、ABC 中,角 A,B,C,所对边分别是 a,b,c,已知 sin Asin B5 4sin C,则 ab 5c 4 , 且ABC 的周长为 9,则:c5c 4 9, 解得 c4. 若ABC 的面积等于 3sin C,则1 2absin C3sin C, 整理得 ab6,由于 ab5c 4 5, 故 ab5, ab6, 解得 a2, b3 或 a3, b2, 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 1 4. 6、(多选)下列命题中,正确的是(
7、 ) A在ABC 中,若 AB,则 sin Asin B B在锐角三角形 ABC 中,不等式 sin Acos B 恒成立 C在ABC 中,若 acos Abcos B,则ABC 必是等腰直角三角形 D在ABC 中,若 B60 ,b2ac,则ABC 必是等边三角形 【答案】 、ABD 第 4 页 / 共 20 页 【解析】 、对于 A,在ABC 中,由正弦定理可得 a sin A b sin B,所以 sin Asin BabAB,故 A 正确; 对于 B, 在锐角三角形 ABC 中, A, B 0, 2 , 且 AB 2, 则 2A 2B0, 所以 sin Asin 2B cos B,故 B
8、 正确;对于 C,在ABC 中,由 acos Abcos B,利用正弦定理可得 sin 2Asin 2B,得到 2A 2B 或 2A2B,故 AB 或 A 2B,即ABC 是等腰三角形或直角三角形,故 C 错误;对于 D,在 ABC 中,若 B60 ,b2ac,由余弦定理可得,b2a2c22accos B,所以 aca2c2ac,即(ac)2 0,解得 ac.又 B60 ,所以ABC 必是等边三角形,故 D 正确故选 A、B、D. 四、例题选讲 考点 1 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例1、如图,为了测量两座山峰上 P,Q 两点之间的距离,选择山坡上一 段长度为 300 3 m 且和
9、P, Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点, 现测 得PAB90 ,PAQPBAPBQ60 ,则 P,Q 两点间的距离为_ m. 【答案】 900 【解析】 由已知,得QABPABPAQ30 . 又PBAPBQ60 ,所以AQB30 ,所以 ABBQ. 又 PB 为公共边,所以PABPQB,所以 PQPA. 在 RtPAB 中,APAB tan 60 900,故 PQ900, 所以 P,Q 两点间的距离为 900 m. 变式 1、(2017(2017 南京、盐城二模)南京、盐城二模)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得BC
10、D30 ,BDC120 ,CD10 m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ,则塔高 AB _m. 第 5 页 / 共 20 页 【答案答案】 30 【解析】在BCD 中,由正弦定理得 BCsin120 sin30 1010 3(m)在 RtABC 中,ABBCtan6030(m) 变式 2、 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45方向距 A 为( 31)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北 偏西 75方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上
11、走 私船?并求出所需要的时间(注: 62.449) 【解析】 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则有 CD10 3t(海 里),BD10t(海里) 在ABC 中,AB( 31)海里,AC2 海里,BAC4575120,根据余弦定理,可得 BC( 31)22222( 31)cos1206(海里)根据正弦定理,可得 sinABC ACsin120 BC 2 3 2 6 2 2 . ABC45,易知 CB 方向与正北方向垂直,从而CBD9030120. 在BCD 中,根据正弦定理,可得 sinBCDBDsinCBD CD 10t sin120 10 3t 1
12、2,BCD30, BDC30, BDBC 6(海里), 则有 10t 6, t 6 100.245 小时14.7 分钟 故缉私船沿北偏东 60 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船 变式 3、如图,在某港口 A 处获悉,其正东方向距离 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,此时救援船 在港口的南偏西 30距港口 10 海里的 C 处,救援船接到救援命令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船 第 6 页 / 共 20 页 (1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离; (2)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援?(已知 cos49 21 7 ) 【解析】 (1)
13、由题意可知在三角形 ABC 中,AB20,AC10,CAB120,CB2AB2AC2 2AB AC cosCAB20210222010cos120700.BC10 7, 接到救援命令时救援船距离渔 船的距离为 10 7海里 (2)三角形 ABC 中,AB20,BC10 7,CAB120,由正弦定理得 AB sinACB BC sinCAB,即 20 sinACB 10 7 sin120,sinACB 21 7 .cos49sin41 21 7 ,ACB41,故救援船应沿北偏 东 71的方向救援 方法总结:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若 有
14、未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 题型二 正余弦定理在三角形中的运用 例 1、(2015 南京、盐城、徐州二模)如图,在ABC 中,D 是 BC 上的一点已知B60 ,AD2,AC 10,DC 2,则 AB_. 【答案答案】2 6 3 第 7 页 / 共 20 页 【解析解析】 、在ACD 中,因为 AD2,AC 10,DC 2,所以 cosADC2410 22 2 2 2 ,从而ADC 135 ,所以ADB45 .在ADB 中, AB sin45 2 sin60 ,所以 AB 2 2 2 3 2 2 6 3 变式
15、 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在ABC 中,AB3,AC2,BC4,点 D 在边 BC 上,BAD45 ,则 tanCAD 的值为_ 【答案答案】8 15 7 【解析解析】 、 从构造角的角度观察分析, 可以从差的角度(CADA45 ), 也可以从和的角度(ACAD 45 ),所以只需从余弦定理入手求出A 的正切值,问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC 中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得 cosA3 22242 232 1 4,所以 tanA 15,于是 tanCADtan(A45 ) tanAtan45 1tanAtan45 8 15 7 . 解法 2 由解法
16、 1 得 tanA 15.由 tan(45 CAD) 15得 tan45 tanCAD 1tan45 tanCAD 15,即 1tanCAD 1tanCAD 15,解得 tanCAD 8 15 7 . 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检) 如图, 在ABC中, 已知点D在边AB上,3ADDB, 4 cos 5 A, 5 cos 13 ACB,13BC (1)求cosB的值; (2)求CD的长 第 8 页 / 共 20 页 解析: (1)在ABC中, 4 cos 5 A,(0,)A, 所以 22 43 sin1 cos1 ( ) 55 AA 同理可得, 12 sin 13 ACB
17、 所以coscos()cos()BAACBAACB sinsincoscosAACBAACB 3 124516 51351365 (2)在ABC中,由正弦定理得, 1312 sin20 3 sin13 5 BC ABACB A 又3ADDB,所以 1 5 4 BDAB 在BCD中,由余弦定理得, 22 2cosCDBDBCBD BCB 22 16 5132 5 13 65 9 2 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形 ABCD 中,已知 ADBC,AD1,BD2 10, CAD 4,tanADC2. (1) 求 CD 的长; (2) 求BCD 的面积 第 9 页 / 共
18、20 页 解析: (1)因为 tanADC2,且ADC(0,),所以 sinADC2 5 5 ,cosADC 5 5 . 所以 sinACDsin ADC 4 sin ADC 4 sinADC cos 4cosADC sin 4 10 10 ,(6 分) 在ADC 中,由正弦定理得 CDAD sinDAC sinACD 5 (2) 因为 ADBC, 所以 cosBCDcosADC 5 5 ,sinBCDsinADC2 5 5 在BDC 中,由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD, 得 BC22BC350,解得 BC7, (12 分) 所以 SBCD1 2BC CD sinB
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