第30讲 平面向量的基本定理与坐标运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 30 讲:平面向量的基本定理与坐标运算讲:平面向量的基本定理与坐标运算 一、课程标准 1.了解平面向量的基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二、.基础知识回顾 1.平面向量的基本定理 如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 1, 2, 使 a1e12e2. 其中,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做
2、把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB (x 2x1,y2y1),|AB | (x 2x1) 2(y 2y1) 2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 abx1y2x2y10. 常用结论与微点提醒 1.平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然. 2.若
3、a 与 b 不共线,ab0,则 0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位 置,它们的坐标都是相同的. 第 2 页 / 共 12 页 三、自主热身、归纳总结 1、 设 e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( ) A. e1e2和 e1e2 B. 3e14e2和 6e18e2 C. e12e2和 2e1e2 D. e1和 e1e2 【答案】B 【解析】 选项 B 中,6e18e22(3e14e2),6e18e2与 3e14e2共线,不能作为基底,选项 A,C, D 中两向量均不共线,可以作为基底故选
4、B. 2、已知平面向量 a(2,1),b(1,1),c(5,1),若(akb)c,则实数 k 的值为( ) A. 11 4 B. 1 2 C. 2 D. 11 4 【答案】B 【解析】 a(2,1),b(1,1),akb(2k,1k),又 c(5,1), 由(akb)c,得(2k) 15 (k1),解得 k1 2.故选 B. 3、已知 A(1,3)和 B(8,1),如果点 C(2a1,a2)在直线 AB 上,则 a_. 【答案】13. 【解析】 AB (7,2),BC (2a9,a3),且AB BC ,有 7 (a3)2 (2a9),解得 a13. 4、设 a,b 是两个不共线的非零向量,若
5、8akb 与 ka2b 共线,则实数 k( ) A. 4 B. 4 C. 4 D. 0 【答案】C 【解析】 由题意知 8akb 与 ka2b 为非零向量且共线,故存在实数 ,使得(8akb)(ka2b),则 8 k,k2,得 2,k 4. 故选 C. 5、 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,P 为 CO 的中点,AB AD AP ,则 _. 【答案】4 3 【解析】 ABCD 为平行四边形, AB AD AC 2AO , 又AP 3 2AO , 得AB AD 4 3AP 已知AB AD AP ,故 4 3. 6、已知 a(1,0),b(2,1) 第 3 页 /
6、共 12 页 (1)当 k 为何值时,kab 与 a2b 共线? (2)若 AB 2a3b, BCamb 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值 【解析】(1)kabk(1,0)(2,1)(k2,1), a2b(1,0)2(2,1)(5,2) 因为 kab 与 a2b 共线,所以 2(k2)(1) 50, 即 2k450,得 k1 2. (2) AB 2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3), BC amb(1,0)m(2,1)(2m1,m) 因为 A,B,C 三点共线,所以 AB BC. 所以 8m3(2m1)0,即 2m30,所以 m3 2. 四、例题选讲 考点一 平面向量基本定理的应用
7、 例 1、(2019 河北衡水中学调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB,AD 分别交于点 E,F,且交其 对角线 AC 于点 M,若AB 2AE,AD 3AF ,AM AB AC(,R),则5 2( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.3 【答案】A 【解析】 (1)AM AB ACAB(ABAD ) ()AB AD 2()AE 3AF. 因为 E,M,F 三点共线,所以 2()(3)1, 即 251,5 2 1 2. 变式 1、 (1)如图(1), 在平行四边形 ABCD 中, AC, BD 相交于点 O, E 为线段 AO 的中点. 若BE BA BD (,R),则
8、 _. 第 4 页 / 共 12 页 图(1) 图(2) (2) 如图(2),在ABC 中,BO 为边 AC 上的中线,BG 2GO ,设CD AG ,若AD 1 5AB AC(R), 则 的值为_. 【答案】 (1)3 4(2) 6 5 【解析】 (1)由题意可得BE 1 2BA 1 2BO 1 2BA 1 4BD ,由平面向量基本定理可得 1 2, 1 4, 3 4. (2)BG 2GO , BO 为 AC 边上的中点, G 为ABC 的重心, AG 2 3 1 2(AB AC)1 3AB 1 3AC . CD AG ,设CD mAG ,从而AD AC CD AC m 3AB m 3AC
9、(1m 3)AC m 3AB . AD 1 5AB AC,m 3 1 5,1 m 3 6 5. 变式 2、 (一题多解) (2020 泉州四校联考)如图,OC 2OP ,AB 2AC,OM mOB ,ON nOA ,若 m3 8, 那么 n( ) A. 3 4 B.2 3 C.4 5 D.5 8 【答案】 A 【解析】 法一 由OC 2OP ,AB 2AC,知 C 是 AB 的中点,P 是 OC 的中点,所以OC 1 2(OA OB ), 则OP 1 4(OA OB ), 又OM 3 8OB , ON nOA , 从而MN ON OM nOA 3 8OB , MP OP OM 1 4(OA O
10、B ) 3 8OB 1 4OA 1 8OB , 又点 M, P, N 共线, 所以存在实数 , 使MN MP 成立, 即 nOA 3 8OB 1 4OA 1 8OB , 又因为OA ,OB 不共线, 第 5 页 / 共 12 页 所以有 n 1 4, 3 8 1 8, 解得 n3 4,故选 A. 法二 设MP MN ,OM 3 8OB ,ON nOA , OP OM MP 3 8OB (ON OM ) 3 8OB nOA 3 8OB 3 8(1)OB nOA , 又知OC 2OP ,OP 1 2OC 1 4OA 1 4OB , 3 8(1) 1 4, n1 4, 解得 1 3,n 3 4,故选
11、 A. 变式 3、 如图, 在ABC 中, 点 O 是 BC 的中点, 过点 O 的直线分别交直线 AB, AC 于不同的两点 M, N, 若AB mAM ,AC nAN (m,n0),则 1 m 4 n的最小值为_. 【答案】9 2. 【解析】 MO AO AM AB AC 2 1 mAB (1 2 1 m)AB 1 2AC . 同理NO (1 2 1 n)AC 1 2AB ,又M,O, N 三点共线,故存在实数 ,使得(1 2 1 m)AB 1 2AC 1 2 1 n AC 1 2AB ,即(1 2 1 m 2)AB (1 2 2 n)AC 0,因AB ,AC 不共线,据基本定理得1 2
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