第32讲 平面向量的应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 32 讲:平面向量的应用讲:平面向量的应用 一、课程标准 1、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 2、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1. 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定 义 (2)证明线段平行, 三角形相似, 判断两直线(或线段)是否平行, 常运用向量平行(共线)的条件, ab x1 x2 y1 y2
2、x1y2x2y10(x20,y20) (3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,aba b0 x1x2y1y20 (4)求夹角问题:利用夹角公式 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22. (5)用向量方法解决几何问题的步骤: 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题; 通过向量运算,研究几何元素之间的关系; 把运算结果“翻译”成几何关系 2. 向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系 设直线 l 的倾斜角为 ,斜率为 k,向量 a(a1,a2)平行于 l,则 ktan a2
3、 a1;如果已知直线的斜率为 k a2 a1,则向量(a1,a2)与向量(1,k)一定都与 l 平行 (2)与 a(a1,a2)平行且过 P(x0,y0)的直线方程为 yy0 a2 a1(xx0),过点 P(x0,y0)且与向量 a(a1,a2) 垂直的直线方程为 yy0 a1 a2(xx0) 第 2 页 / 共 13 页 三、自主热身、归纳总结 1、 已知O是平面上的一定点, A, B, C是平面上不共线的三个动点, 若动点P满足 OP OA( AB AC), (0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 【答案】C 【解析】由原等式,得 OP OA(
4、AB AC),即 AP( AB AC),根据平行四边形法则,知 AB AC 2 AD(D 为 BC 的中点),所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心故选 C. 2、在ABC 中,(BC BA ) AC |AC |2,则ABC 的形状一定是_三角形( ) A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角 【答案】C. 【解析】 由(BC BA ) AC |AC|2,得AC (BC BA AC )0,即AC (BC BA CA )0,2AC BA 0, AC BA ,A90 .又根据已知条件不能得到|AB |AC |,故ABC 一定是直角三角形 3. 在ABCD 中,|AB |8,|AD |6,N
5、 为 DC 的中点,BM 2MC ,则AM NM 等于( ) A. 48 B. 36 C. 24 D. 12 【答案】24 【解析】 AM NM (AB BM ) (NC CM ) AB 2 3AD 1 2AB 1 3AD 1 2AB 22 9AD 21 2 8 22 9 6 224. 4. 设 a,b,c 都是单位向量,且 a b0,则(ca) (cb)的最小值为 _ 【答案】1 2 【解析】 不妨设 a(1,0),b(0,1),c(cos,sin),则易得(ca) (cb)1 2sin( 4)故得其 最小值为 1 2. 5、平面上有三个点 A(2,y),B(0, y 2),C(x,y),若
6、AB BC ,则动点 C 的轨迹方程为 _ 【答案】y28x(x0) 【解析】 由题意得AB (2, y 2),BC (x, y 2),又AB BC ,AB BC 0,即(2, y 2) (x, y 2)0,化简 第 3 页 / 共 13 页 得 y28x(x0) 6、在ABC 所在平面上有一点 P,满足PA PBPCAB ,则PAB 与ABC 的面积的比值是_. 【答案】 1 3 【解析】 由题意可得PC AB PA PBAPPA2AP, P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 易知 S PAB 1 3SABC,即 SPABSABC13. 7、在ABC 中,AB3,AC2,BAC120
7、 ,BM BC .若AM BC 17 3,则实数 的 值为_ 【答案】 、 1 3 【解析】 、解法 1(基底法) 因为AM AB BM AB BC AB (AC AB )AC (1)AB ,所以 AM BC AC (1)AB (AC AB )|AC |2(1)|AB |2(12)AB AC 49(1)(1 2)23cos120 1912 17 3,解得 1 3. 解法 2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意有,A(0,0),B(3,0),C(1, 3),设点 M 的坐标为(x,y),则(x3,y)(13, 3), 即 x34, y 3, 故AM BC (34, 3)(4,
8、3)1912 17 3,解得 1 3. 四、例题选讲 考点一、向量的平行与垂直 例 1、(1)已知向量 m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则 ( ) A4 B3 C2 D1 (2)已知向量 AB 与 AC的夹角为 120 ,且| AB|3,| AC|2.若 AP AB AC,且 AP BC,则实数 第 4 页 / 共 13 页 的值为_ 【答案】(1)B (2) 7 12 【解析】(1)(mn)(mn),(mn) (mn)m2n2(1)21(2)240,解得 3.故选 B. (2)由 AP BC,知 APBC0,即 APBC( AB AC) ( AC AB)(1) ABAC AB
9、2 AC 2(1) 3 2 1 2 940,解得 7 12. 变式 1、(1)平面四边形 ABCD 中,AB CD 0,(AB AD ) AC 0,则四边形 ABCD 的形状是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 (2)已知 O 是平面上的一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个动点, 若动点 P 满足OP OA (AB AC ), (0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C. 【解析】 (1)AB CD 0AB CD DC 平面四边形 ABCD 是平行四边形, (AB AD ) AC DB AC 0
10、DB AC ,平行四边形 ABCD 是菱形故选 B. (2) 由原等式, 得OP OA (AB AC ), 即AP (AB AC ), 根据平行四边形法则, 知AB AC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍,点 P 的轨迹必过ABC 的重心 【答案】C. 变式 2、(2018 苏北四市期末) 如图,在ABC 中,已知 AB3,AC2,BAC120 ,D 为边 BC 的中 点若 CEAD,垂足为 E,连结 BE,则EB EC的值为_ 【答案】 27 7 【解析】思路分析 建立平面直角坐标系 xOy,写出 A,B,C,D 各点的坐标,利用坐标法求解 解法1(坐
11、标法) 以点A为坐标原点, AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示), 则A(0, 第 5 页 / 共 13 页 0), B(3, 0), C(1, 3), D 1, 3 2 , 所以直线 AD: y 3 2x, 直线 CE: y 2 3 3 x 3 3.联立 y 3 2x, y 2 3 3 x 3 3 得 E 2 7, 3 7 ,所以EB 19 7, 3 7 ,EC 9 7, 6 3 7 ,从而EB EC189 49 27 7. 解法 2(向量的数量积) EB ECED2DC2CE2. 由(2AD )2(AB AC )2,得 4AD29467,即 AD 7 2.因为 SADC
12、 1 2SABC 3 3 4 ,且 SADC 1 2 AD CE 7 4CE,所以 CE 227 7.故EB EC27 7. 解法 3(基底法) 因为 E 在中线 AD 上,所以可设AE (AB AC ),则EB (1)AB AC ,同理EC (1)AC AB , 所以EB EC3(1)2213(1)37(1) 由AD EC 0, 得(AB AC ) (1 )AC AB 0,可解得 1 7.从而EB EC36 7 27 7. 方法总结:利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 1、若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标 运算公式,计算出这两个向量的数量
13、积为 0 即可 2已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数 考点二、 平面向量与三角综合 例 2、 (2016 无锡期末) 已知平面向量 , 满足|1,且 与 的夹角为 120 ,则 的模的取值范围 为_ 【答案】 、. (0, 2 3 3 【解析】 、思路分析 本题题设虽然简单,但不易入手实际上,本题隐含条件:|,|,|必能构成三 角形,故引入 与 的夹角 ,根据正弦定理,用 表示|,利用函数思想求解 设 与 的夹角为 , 则 0 120 , 由正弦定理可得 | sin120 | sin60, 所以| 2 3 3 sin(120 )
14、 因 为 0 120 ,所以 0 120 120 ,所以 0sin(120 )1,所以 0| 2 3 3 . 第 6 页 / 共 13 页 变式 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调)在平面直角坐标系中,设向量 a(cos,sin),b(sin( 6), cos( 6),其中 0 2. (1) 若 ab,求 的值; (2) 若 tan2 1 7,求 a b 的值 【解析】(1)因为 ab,所以 coscos 6sinsin 60,(2 分) 所以 cos 2 60.(4 分) 因为 0 2,所以 62 6 7 6.于是 2 6 2,解得 6.(6 分) (2)因为 0 2,所以 02,又 t
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