第35讲 等比数列(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 35 讲:等比数列讲:等比数列 一、课程标准 1.通过实例,理解等比数列的概念 2.探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题 4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母_q_表示 2. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列an的第 n 项 an,有公式 ana1qn1,这就是等比数
2、列an的通项公式,其中 a1 为首项,q 为公比第二通项公式为:anamqnm 3. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列an的前 n 项和公式:Sn a1(1qn) 1q (q1)或 Sn a1anq 1q (q1) 注意:(1)当 q1 时,该数列是各项不为零的常数列,Snna1; (2)有关等比数列的求和问题,当 q 不能确定时,应分 q1,q1 来讨论 4. 等比数列的性质 (1)若 a,G,b 成等比数列,则称 G 为 a 和 b 的等比中项,则 G2ab. (2)等比数列an中, 若 mnkl(m, n, k, lN*), 则有 am anak al, 特别地, 当 mn2p 时,
3、 am an a2p. (3)设 Sm是等比数列an的前 n 项和,则 Sm,S2mSm,S3mS2m满足关系式(S2mSm)2Sm (S3mS2m) (4)等比数列的单调性,若首项 a10,公比 q1 或首项 a10,公比 0q1,则数列为递增数列;若首 项 a10,公比 0q0,dS40 B. a1d0,dS40,dS40 D. a1d0 【答案】B 【解析】 由 a3,a4,a8成等比数列可得:(a13d)2(a12d) (a17d),即 3a15d0,a15 3d,a1d 0.又 dS4 (a1a4) 4 2 d2(2a13d)d 2 3d 20.故选 B. 2、若等比数列 an 满足
4、 anan116n,则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 由 anan116n,得 an1an216n1,两式相除得 an1an2 anan1 16n1 16n16,q 216,a nan116 n, 可知公比 q 为正数,q4.故选 B. 3、 2017 新课标高考我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( ) A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏
5、【答案】B 【解析】 设塔顶共有灯 a1盏,根据题意各层等数构成以 a1为首项,2 为公比的等比数列,S7 a1( )127 12 ( )271 a1381,解得 a13.故选 B. 4、已知数列an满足 log2an11log2an(nN*),且 a1a2a3a101,则 log2(a101a102a110) _. 【答案】100 【解析】因为 log2an11log2an,可得 log2an1log2(2an),所以 an12an,所以数列an是以 a1为首项, 2 为公比的等比数列,又 a1a2a101,所以 a101a102a110(a1a2a10) 21002100,所 以 log2
6、(a101a102a110)log22100100. 5、已知数列an是等比数列,Sn为其前 n 项和,若 a1a2a34,a4a5a68,则 S12_. 【答案】60 第 3 页 / 共 13 页 【解析】由等比数列的性质可知,数列 S3,S6S3,S9S6,S12S9是等比数列,即数列 4,8,S9S6,S12 S9是等比数列,因此 S1248163260. 四、例题选讲 考点一 等比数列的基本运算 例 1、 (1) (2019 苏锡常镇调研 (二) ) 已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S, 若 62 2aa, 则 12 8 S S (2)(2019 苏北四市、苏中三市三调)已知
7、 n a 是等比数列,前n项和为 n S若 32 4aa, 4 16a ,则 3 S 的值为 (3) 、(2019 南京、盐城一模)已知等比数列an为单调递增数列,设其前 n 项和为 Sn,若 a22,S37, 则 a5的值为_ 【答案】 (1). 3 7 (2)14(3)16 【解析】 (1)设等比数列 n a的公比为q,因为 62 2aa,所以 2 4 2 2aqa,故2 4 q由于 1q,故 . 3 7 21 21 )(1 )(1 1 1 1 )1 ( 1 )1 ( 2 3 24 34 8 12 8 1 12 1 8 12 q q q q q qa q qa S S (2) :(基本量法
8、) 设数列 n a 的首项是 1 a,公比为q,则由 32 4aa, 4 16a ,得 2 11 3 1 4 16 a qa q a q 解得 1 2 2 a q , 2 3123111 248 14Saaaaaqaq . (3)解法 1(基本量为 a1,q) 设 ana1 qn1,则 a2a1 q2,即 a1 2 q,所以 S3a1 (q 2q1)7,即2 q (q 2 q1)2q2 2 q7,q 1 q 5 2,解得 q2 或 q 1 2(数列单调递减,舍),则 a5a1 q 416. 解法 2(基本量为 a2,q) 设公比为 q,则 S3 2 q22q7,解得 q2 或 q 1 2(数列
9、单调递减,舍),则 a5a2 q316. 解后反思 在等差数列与等比数列中常常使用基本量法,但是要注意基本量的相对性. 我们所说的基本量, 往往是 a1,d(或 a1,q),其实也可以把 a2,d(或 a2,q)等作为基本量 变式 1、已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1a3 5 2,a2a4 5 4,则 Sn an_ 【答案】 :2n1 第 4 页 / 共 13 页 【解析】设等比数列an的公比为 q, a1a3 5 2, a2a4 5 4, a1a1q2 5 2, a1qa1q3 5 4, 由除以可得 1q2 qq32, 解得 q 1 2,代入得 a12, an2 1 2 n1
10、4 2n, Sn 2 1 1 2 n 1 1 2 4 1 1 2n, Sn an 4 1 1 2n 4 2n 2n1. 变式 2、2018 苏州模拟已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S6 S3 19 8,a4a2 15 8,则 a3的值为_ 【答案】 9 4 【解析】 (1)观察得公比 q 不为 1,将条件代入前 n 项和为 Sn及通项公式,得 a1(1q6) a1(1q3) 19 8,1q 3 19 8,q 3 2,a1q(q 21)15 8,a11,故 a3a1q 29 4. 方法总结:(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量 a1,n,q,
11、 an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解; (2)等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,当 q1 时,an的前 n 项和 Snna1;当 q1 时,an的前 n 项和 Sn a11qn 1q a1anq 1q 。 考点二 等比数列的性质 例 2、(1)已知等比数列an的各项为正数,且 a5a6a4a718,则 log3a1log3a2log3a10( ) A12 B10 C8 D2log35 (2)设等比数列an中,前 n 项和为 Sn,已知 S38,S67,则 a7a8a9等于( ) 第 5 页 / 共 13 页 A. 1 8 B 1 8 C. 57
12、8 D. 55 8 (3)已知等比数列an共有 2n 项, 其和为240, 且奇数项的和比偶数项的和大 80, 则公比 q_. 【答案】(1)B (2)A (3)2 【解析】(1)由 a5a6a4a718,得 a5a69, 所以 log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10) log3(a5a6)55log3910. (2)因为 a7a8a9S9S6,且 S3,S6S3,S9S6也成等比数列,即 8,1,S9S6成等比数列, 所以 8(S9S6)1,即 S9S6 1 8, 所以 a7a8a9 1 8. (3)由题意,得 S奇S偶240, S奇S偶80, 解得 S奇80, S偶
13、160, 所以 q S偶 S奇 160 802. 变式 1、(1)(2019 洛阳市第一次联考)在等比数列an中,a3,a15是方程 x26x20 的两根,则 a2a16 a9 的值 为( ) A 2 2 2 B. 2 C. 2 D 2或 2 (2)等比数列an的各项均为正数,且 a1a54,则 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列an的公比为 q,因为 a3,a15是方程 x26x20 的两根,所以 a3 a15a2 92, a3a156,所以 a30,a150,a4a8 51. (2)由 S10 S5 3
14、1 32,a11 知公比 q1,则可得 S10S5 S5 1 32.由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10S5, S15S10成等比数列,且公比为 q5,故 q5 1 32,q 1 2. 方法总结:(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若 mnp q(m,n,p,qN*),则 am anap aq”,可以减少运算量,提高解题速度 (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形此外,解题时注意设而 不求思想的运用 考点三 等比数列的判定与证明 例 3、 (2019 苏州三市、 苏北四市二调) 已知数列an的各项均不为零 设数
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