第36讲 数列的递推关系与通项(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 36 讲:数列的递推关系与通项讲:数列的递推关系与通项 一、课程标准 1、掌握常见的根据的递推关系式求数列的通项公式 2、掌握求常见数列的通项公式的方法 二、基础知识回顾 正确选用方法求数列的通项公式 (1)对于递推关系式可转化为 an1anf(n)的数列,通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式 (2)对于递推关系式可转化为an 1 an f(n)的数列,并且容易求数列f(n)前 n 项的积时,采用累乘法求数列 an的通项公式 (3)对于递推关系式形如 an1panq(p0,1,q0)的数列,采用构造法求数列的通项 2避免 2 种失误 (1)利用累乘法,
2、易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到a2 a1,漏掉 a1 而导致错误;二是根 据连乘求出 an之后,不注意检验 a1是否成立 (2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式 三、自主热身、归纳总结 1、数列an的前几项为1 2,3, 11 2 ,8,21 2 ,则此数列的通项可能是( ) Aan5n4 2 Ban3n2 2 Can6n5 2 Dan10n9 2 【答案】A 【解析】数列为1 2, 6 2, 11 2 ,16 2 ,21 2 ,其分母为 2,分子是首项为 1,公差为 5 的等差数列,故通项公式 为 an5n4 2 . 2、在数列an中,
3、a11,an11 n an1 (n2),则 a5等于( ) A.3 2 B.5 3 第 2 页 / 共 10 页 C.8 5 D.2 3 【答案】D 【解析】a211 2 a1 2,a311 3 a2 1 2,a41 14 a3 3,a511 5 a4 2 3. 3、已知数列an中,a11 中,an1ann(nN*)中,则 a4_,an_. 【答案】7 n2n2 2 【解析】由题意可得 a11,an1ann, 则:ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1123(n1)1nn1 2 n 2n2 2 , 则 a44 242 2 7. 4、设数列an中,a12,an1ann1,则 an_.
4、 【答案】 n2n2 2 【解析】 由条件知 an1ann1. 则 an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2n 2n2 2 . 5、 在数列an中, a13, 且点 Pn(an, an1)(nN*)在直线 4xy10 上, 则数列an的通项公式为_ 【答案】an10 3 4n 11 3 【解析】因为点 Pn(an,an1)(nN*)在直线 4xy10 上,所以 4anan110, 即 an14an1,得 an11 34 an1 3 , 所以 an1 3 是首项为 a11 3 10 3 ,公比为 4 的等比数列,所以 an1 3 10 3 4n 1, 故 an10
5、 3 4n 11 3. 四、例题选讲 考点一 有递推关系研究数列的通项 例 1、在数列 n a 中,已知 1 1a ,且对于任意的 * ,m nN ,都有 m nmn aaamn ,则数列 n a 的通 项公式为( ) 第 3 页 / 共 10 页 A n an B 1 n an C (1) 2 n n n a D (1) 2 n n n a 【答案】D 【解析】令 m=1,得 1121321 1,1,2,3, nnnnnn aanaanaaaaaan , 所以 (1) 1234,1234 2 nn n n anan ,故选 D。 变式1、 (2019南京学情调研) 在数列an中, 已知a11
6、, an1an 1 n(n1)(nN *), 则a 10的值为_ 【答案】19 10 【解析】解法 1(裂项法) 由 an1an 1 n(n1)得 an 1an1 n 1 n1,故 a2a11 1 2,a3a2 1 2 1 3,a4 a31 3 1 4,a10a9 1 9 1 10,所以 a10 19 10. 解法 2(常数列) 由 an1an 1 n(n1),得 an 1 1 n1an 1 n,故 a10 1 10a112,即 a10 19 10. 变式 2、 (1)已知数列an满足:a11,an1 an 2nan1(nN *),求a n的通项公式; (2)在数列an中,已知 a13,(3n
7、2)an1(3n2)an(nN*),an0,求 an. 【解析】 (1)对 an1 an 2nan1两边“取倒数”,得 1 an1 2nan1 an ,即 1 an12 n1 an, 1 an1 1 an2 n. n2 时, 1 an 1 an12 n1, 1 an1 1 an22 n2,1 a3 1 a22 2,1 a2 1 a12,将以上各式累加得, 得 1 an 1 a12 n12n22222(12 n1) 12 2n2, 1 an2 n1, a n 1 2n1, 当 n1 也满足, an 1 2n1. (2)因 an0,由(3n2)an1(3n2)an,得an 1 an 3n2 3n2
8、, n2 时, an an1 3n4 3n1, an1 an2 3n7 3n4, a3 a2 5 8, a2 a1 2 5, 逐项累乘,得an a1 2 3n1,an 6 3n1,当 n1 也满足,an 6 3n1. 变式 3、(一题两空)在数列an中,a13,an1an 1 nn1,则 a2_,通项公式 an_. 【答案】7 2 4 1 n 第 4 页 / 共 10 页 【解析】由已知,a2a1 1 1 23 1 2 7 2. 因为 an1an 1 nn1 1 n 1 n1, 所以 a2a111 2, a3a21 2 1 3, anan1 1 n1 1 n, 所以以上(n1)个式子累加可得,
9、ana111 n, 因为 a13,所以 an41 n. 变式 4、(多选)已知数列an满足 an11 1 an(nN *),且 a 12,则( ) Aa31 B.a2 0191 2 CS63 D2S2 0192 019 【答案】ACD 【解析】数列an满足 a12,an11 1 an(nN *),可得 a 21 2,a31,a42,a5 1 2,所以 an3 an,数列的周期为 3,a2 019a672 33a31,S63,S2 0192 019 2 . 变式 5、已知数列an满足 a11,a24,an22an3an1(nN*),求数列an的通项公式 an. 【解析】 (1)由 an22an3
10、an10,得 an2an12(an1an), 数列an1an是以 a2a13 为首项,2 为公比的等比数列, an1an3 2n 1, n2 时,anan13 2n 2,a 3a23 2,a2a13, 将以上各式累加得 ana13 2n 23 233(2n11), an3 2n 12(当 n1 时,也满足) 方法总结:给出了两种不同形式的递推关系,经常采取其它方法:取倒数后,相邻两项的差是一个等比数 列,迭加即可;变形为an 1 an 3n2 3n2,再用累乘处理,累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法,考查我 们的观察、变形和转化的能力,需要牢固掌握 考点二 由 Sn与 an的递推关系求通项
11、公式 第 5 页 / 共 10 页 例 2、(2018 盐城三模)设数列 n a的前n项和为 n S,若 * 2() nn San nN,则数列 n a的通项公式 为 n a 【答案】1 2n 【解析】 :因为 2 nn San ,当1n 时, 111 21aSa,即 1 1a ; 当2n时 , 111 221221 nnnnnnn aSSananaa , 即 1 21 nn aa , 所 以 1 121 nn aa ,即 1 1 2 1 n n a a ,所以数列1 n a 为首项 1 12a ,公比2q 的等比数列,所以 1 122n n a ,即12n n a . 变式 1、(栟茶中学
12、2019 届质检)已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 log2(Sn1)n1,则数列an的通项公 式为_. 【答案】)an 3,n1 2n,n2 【解析】由 log2(Sn1)n1,得 Sn12n 1, 当 n1 时,a1S13; 当 n2 时,anSnSn12n, 所以数列an的通项公式为 an 3,n1, 2n,n2. 变式 2、已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1a,(an1)(an11)6(Snn),nN*.求数列 an的通 项公式 【解析】 当 n1 时,(a11)(a21)6(S11),故 a25; 当 n2 时,(an11)(an1)6(Sn1n1), (an1
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