第40讲 直线与平面平面与平面平行(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 20 页 第第 40 讲:直线与平面、平面与平面平行讲:直线与平面、平面与平面平行 一、课程标准 1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理; 2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 没有公共点,则称直线 l 与平面 平行 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行,则该 直线平行于此平面 a,b, aba 性质 定理 一条直线和一
2、个平面平 行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该 直线平行 a,a, b ab 2. 平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面 (2)判定定理与性质定理 第 2 页 / 共 20 页 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行, 则这两个平面平 行 a,b, abP, a,b 性质 定理 两个平面平行, 则其中 一个平面内的直线平 行于另一个平面 ,aa 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 ,a, bab 3. 与垂直相关的平行的判定 (1)a,bab (2)a,a 三、自主热身、
3、归纳总结 1、 若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 由空间直线与平面的位置关系可知,平行于同一平面的两条直线可以平行、也可以相交、也可 以异面故选 D. 2、设 , 是两个不同的平面,m 是直线且 m,“m ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 第 3 页 / 共 20 页 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 当 m 时,过 m 的平面 与 可能平行也可能相交,m;当 时, 内任一直 线与 平行,m,m.综上知,“m ”是“ ”的必要不充
4、分条件故选 B. 3、已知两个不重合的平面 ,给定以下条件: 内任意不共线的三点到 的距离都相等; l,m 是 内的两条直线,且 l,m; l,m 是两条异面直线,且 l,l,m,m; 其中可以判定 的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 命题,任意不共线三点可以确定一个平面,即为 ,该三点到平面 的距离相等,即可得到 ,故正确;命题,由面面平行的判定可知,若 l,m 平行,则不一定能够推理得到 ,故错误; 命题,由 l,m 是两条异面直线,通过平移可以在同一个平面内,则该平面与 , 都平行,由平行于同 一平面的两个平面平行这一性质可知,故正确满足条件的是. 故选 C. 4、
5、 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,下列结论正确的是_(填序号) AD1BC1; 平面 AB1D1平面 BDC1; AD1DC1; AD1平面 BDC1. 【答案】 【解析】 如图,因为 ABC1D1,ABC1D1,所以四边形 AD1C1B 为平行四边形,故 AD1BC1,从而 正确;易证 BDB1D1,AB1DC1,又 AB1B1D1B1,BDDC1D,故平面 AB1D1平面 BDC1,从而 正确;由图易知 AD1与 DC1异面,故错误;因为 AD1BC1,AD1平面 BDC1,BC1平面 BDC1,所 以 AD1平面 BDC1,故正确 第 4 页 / 共 20 页 5、(多选)下列命题
6、正确的是( ) A若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内 B如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交 C若直线 l 与平面 平行,则 l 与平面 内的直线平行或异面 D若平面 平面 ,直线 a,直线 b,则 ab 【答案】AC 【解析】 若直线与平面有两个公共点,由基本事实 2 可得直线在平面内,故 A 对;如果两条异面直线中的 一条与一个平面平行,则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内,故 B 错;若直线 l 与平面 平 行,则 l 与平面 内的直线无公共点,即平行或异面,故 C 对;若平面 平面 ,直线 a,直线 b, 则 ab 或 a,b 异面,故 D
7、 错 6、(多选)如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE.若 M 为线段 A1C 的 中点,则在ADE 翻转过程中,下列命题正确的是( ) AMB 是定值 B点 M 在圆上运动 C一定存在某个位置,使 DEA1C D一定存在某个位置,使 MB平面 A1DE 【答案】ABD 【解析】 取 DC 的中点 N,连接 MN,NB,则 MNA1D,NBDE,MNNBN,A1DDED,平 面 MNB平面 A1DE,MB平面 MNB,MB平面 A1DE,D 正确;A1DEMNB,MN1 2A1 D定 值,NBDE定值,根据余弦定理得,MB2MN2NB22MN
8、 NB cos MNB,MB 是定值,A 正确; B 是定点,M 在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,B 正确;当矩形 ABCD 满足 ACDE 时存在,其他情 况不存在,C 不正确A、B、D 正确 7、 (一题两空)设 , , 是三个不同的平面, m, n 是两条不同的直线, 在命题“m, n, 且_, 第 5 页 / 共 20 页 则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题 ,n;m,n;n,m. 可以填入的条件有_(填序号) 【答案】或 【解析】 由面面平行的性质定理可知,正确;当 m,n 时,n 和 m 可能平行或异面,错误;当 n ,m 时,n 和 m 在同一平
9、面内,且没有公共点,所以 mn,正确 四、例题选讲 考点一 直线与平面平行的判定 例 1 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AFDE,DE2AF.求证:AC平面 BEF. 【证明】 设 ACBDO,取 BE 中点 G,连结 FG,OG,OGDE 且 OG1 2DE. AFDE,DE2AF, AFOG 且 AFOG, 四边形 AFGO 是平行四边形,FGAO. FG平面 BEF,AO平面 BEF, AO平面 BEF,即 AC平面 BEF. 变式 1、如图,在四棱锥 E- ABCD 中,ABCD,ABC90 ,CD2AB2CE4,点 F 为棱 DE 的中点 证明:AF平面 BCE. 第 6 页
10、 / 共 20 页 【证明】 法一:如图,取 CE 的中点 M,连接 FM,BM. 因为点 F 为棱 DE 的中点, 所以 FMCD 且 FM1 2CD2, 因为 ABCD,且 AB2, 所以 FMAB 且 FMAB, 所以四边形 ABMF 为平行四边形, 所以 AFBM, 因为 AF平面 BCE,BM平面 BCE, 所以 AF平面 BCE. 法二:如图,在平面 ABCD 内,分别延长 CB,DA,交于点 N,连接 EN. 因为 ABCD,CD2AB, 所以 A 为 DN 的中点 又 F 为 DE 的中点, 所以 AFEN, 因为 EN平面 BCE,AF平面 BCE, 所以 AF平面 BCE.
11、 法三:如图,取棱 CD 的中点 G,连接 AG,GF, 第 7 页 / 共 20 页 因为点 F 为棱 DE 的中点,所以 FGCE, 因为 FG平面 BCE,CE平面 BCE, 所以 FG平面 BCE. 因为 ABCD,ABCG2, 所以四边形 ABCG 是平行四边形,所以 AGBC, 因为 AG平面 BCE,BC平面 BCE, 所以 AG平面 BCE. 又 FGAGG,FG平面 AFG,AG平面 AFG, 所以平面 AFG平面 BCE. 因为 AF平面 AFG,所以 AF平面 BCE. 变式 2、(陕西西安中学 2019 届高三质检)如图所示,斜三棱柱 ABC- A1B1C1中,点 D,
12、D1分别为 AC, A1C1的中点求证: (1)AD1平面 BDC1; (2)BD平面 AB1D1. 【证明】(1)D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点,四边形 ACC1A1为平行四边形,C1D1DA, 四边形 ADC1D1为平行四边形,AD1C1D. 又 AD1平面 BDC1,C1D平面 BDC1, AD1平面 BDC1. (2)连接 DD1,BB1平面 ACC1A1,BB1平面 BB1D1D,平面 ACC1A1平面 BB1D1DDD1, BB1DD1, 第 8 页 / 共 20 页 又D1,D 分别为 A1C1,AC 的中点,BB1DD1, 故四边形 BDD1B1为平行四边形, BDB
13、1D1, 又 BD平面 AB1D1,B1D1平面 AB1D1, BD平面 AB1D1. 变式 3、如图,在四棱锥 PABCD 中,ADBC,ABBC1 2AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中 点,AC 与 BE 相交于点 O,G 是线段 OF 上一点求证: (1) AP平面 BEF; (2) GH平面 PAD. 【解析】 (1) 连结 EC. 因为 ADBC,BC1 2AD,E 为 AD 的中点, 所以 BCAE,BCAE, 所以四边形 ABCE 是平行四边形, 所以 O 为 AC 的中点 又因为 F 是 PC 的中点,所以 FOAP. 因为 FO平面 BEF,AP平面 BEF
14、, 所以 AP平面 BEF. (2) 连结 FH,OH. 因为 F,H 分别是 PC,CD 的中点, 所以 FHPD, 所以 FH平面 PAD. 又因为 O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, 第 9 页 / 共 20 页 所以 OHAD, 所以 OH平面 PAD. 又 FHOHH,FH,OH平面 OHF, 所以平面 OHF平面 PAD. 又因为 GH平面 OHF, 所以 GH平面 PAD. 变式 4、(2020 年届高三徐州模拟)如图,四棱锥 P- ABCD 中,ADBC,ABBC1 2AD,E,F,H 分别是线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 O
15、F 上一点求证: (1)AP平面 BEF; (2)GH平面 PAD. 【证明】(1)连接 EC, ADBC,BC1 2AD,E 是 AD 的中点, BCAE, 四边形 ABCE 是平行四边形, O 为 AC 的中点 又F 是 PC 的中点,FOAP. FO平面 BEF,AP平面 BEF, AP平面 BEF. (2)连接 FH,OH, F,H 分别是 PC,CD 的中点, 第 10 页 / 共 20 页 FHPD. PD平面 PAD,FH平面 PAD, FH平面 PAD. 又O 是 AC 的中点,H 是 CD 的中点,OHAD. 又AD平面 PAD,OH平面 PAD, OH平面 PAD. 又FH
16、OHH,平面 OHF平面 PAD. 又GH平面 OHF,GH平面 PAD. 方法总结:线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几 何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行, 从而证明直线与平面平行 (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 考点二 面面平行的判定与性质 例 2、 已知四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中,ADBC,AD2BC,E,F 分别为 CC1,DD1的中点 求证:平面 BEF平面 AD1C1. 【
17、证明】 取 AD 的中点 G,连接 BG,FG.因为 E,F 分别为 CC1,DD1的中点, 所以 C1D1綊 CD 綊 EF, 因为 C1D1平面 AD1C1,EF平面 AD1C1, 所以 EF平面 AD1C1. 因为 ADBC,AD2BC, 所以 GD 綊 BC,即四边形 BCDG 是平行四边形, 所以 BG 綊 CD,所以 BG 綊 EF, 即四边形 EFGB 是平行四边形, 所以 BEFG.因为 F,G 分别是 DD1,AD 的中点, 第 11 页 / 共 20 页 所以 FGAD1,所以 BEAD1. 因为 AD1平面 AD1C1,BE平面 AD1C1, 所以 BE平面 AD1C1.
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