第46讲 直线的方程(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 46 讲讲 直线的方程直线的方程 一、课程标准 1、在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素; 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一 次函数的关系. 二、基础知识回顾 1. 当直线 l 与 x 轴相交时,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线 l 的倾斜角,并规定:直线 l 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0 ,因此倾斜角 的范围是 0 180 2. 当倾斜角 90
2、时,tan 表示直线 l 的斜率,常用 k 表示,即 ktan.当 90 时,斜率不存在当直线 过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)且 x1x2时,ky2y1 x2x1 3. 直线方程的几种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 三、自主热身、归纳总结 1、 如果 A C0 且 B C0, 在 y 轴上的截距 C
3、B0, 故直线经过第一、 二、四象限,不经过第三象限故选 C. 2、 若过点 M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ) 第 2 页 / 共 10 页 A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4 【答案】 A 【解析】 由题意得 4m m(2)1,解得 m1. 3、 直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0, 4 B. 3 4 , C. 0, 4 2, D. 4, 2 3 4 , 【答案】 B 【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为 k 1 a21, 又1 1 a210, 所以倾斜角的取值范围是 3 4 , . 4、过直线 l:yx
4、上的点 P(2,2)作直线 m,若直线 l,m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2,则直线 m 的方程 为_ 【答案】 :x2y20 或 x2 【解析】 :若直线 m 的斜率不存在,则直线 m 的方程为 x2,直线 m,直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积 为 2, 符合题意; 若直线 m 的斜率 k0, 则直线 m 与 x 轴没有交点, 不符合题意; 若直线 m 的斜率 k0, 设其方程为 y2k(x2),令 y0,得 x22 k,依题意有 1 2 22 k 22,即 11 k 1,解得 k1 2, 所以直线 m 的方程为 y21 2(x2),即 x2y20.综上可知,直线 m 的方程为
5、x2y20 或 x2. 5、过点 A(1,3),斜率是直线 y4x 的斜率的1 3的直线方程为_ 【答案】4x3y130 【解析】设所求直线的斜率为 k,依题意 k4 1 3 4 3.又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为 y3 4 3(x1),即 4x3y130. 6、过点 P(6,2),且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为_ 【答案】2x3y60 或 x2y20 【解析】设直线方程的截距式为 x a1 y a1,则 6 a1 2 a 1,解得 a2 或 a1,则直线的方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11,即 2x3y60 或 x2y20. 四、
6、例题选讲 考点一 直线的斜率与倾斜角 第 3 页 / 共 10 页 例 1、(徐州一中模拟)(1)直线 2xcos y30 6, 3 的倾斜角的取值范围是( ) A. 6, 3 B. 4, 3 C. 4, 2 D. 4, 2 3 (2)直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜率的取值范围是 _ 【答案】 (1)B (2)(, 31,) 【解析】(1)直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ,因为 6, 3 ,所以1 2cos 3 2 ,因此 k2cos 1, 3 设直线的倾斜角为 ,则有 tan 1, 3 又 0,),所以 4
7、, 3 ,即倾斜角的取值范围是 4, 3 . (2)如图,因为 kAP10 211, kBP 30 01 3, 所以 k(, 31,) 变式: (1)若图中的直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则( ) Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k3k2 (2)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为_ (3)已知点(1,2)和 3 3 ,0 在直线 l:axy10(a0)的同侧,则直线 l 倾斜角的取值范围是_ 【答案】(1)D (2) 4 (3) 2 3 ,3 4 【解析】(1)直线 l1的倾斜角 1是钝角,故 k10.直线 l2
8、与 l3的倾斜角 2与 3均为锐角,且 23,所 以 0k3k2,因此 k1k3k2.故选 D. (2)因为 kAC53 641,kAB a3 54a3.由于 A,B,C 三点共线,所以 a31,即 a4. (3)(3)点(1,2)和 3 3 ,0 在直线 l:axy10 同侧的充要条件是(a21) 3 3 a1 0,解得 第 4 页 / 共 10 页 3a1,即直线 l 的斜率的范围是( 3,1),故其倾斜角的取值范围是 2 3 ,3 4 . 方法总结:1. 倾斜角 与斜率 k 的关系 当 0, 2 且由 0 增大到 2 2 时,k 的值由 0 增大到; 当 2, 时,k 也是关于 的单调函
9、数,当 在此区间内由 2 2 增大到 ()时,k 的值由 增大到趋近于 0(k0) 2. 斜率的两种求法 (1) 定义法:若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值,一般根据 ktan 2 求斜率 (2) 公式法:若已知直线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式 ky2y1 x2x1(x1x2)求斜率 考点二 直线方程的求法 例 2、根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为 10 10 ; (2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 【解析】(1)由题设知,该直线的斜率存在,故
10、可采用点斜式 设倾斜角为 ,则 sin 10 10 (0),从而 cos 3 10 10 , 则 ktan 1 3.故所求直线方程为 y 1 3(x4), 即 x3y40 或 x3y40. (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为x a y 12a1. 又直线过点(3,4),从而3 a 4 12a1, 解得 a4 或 a9. 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x50; 当斜率存在时,设斜率为 k,则所求直线方程为 y10k(x5), 即 kxy(105k)0. 第 5 页 / 共 10 页 由点到直线的距离公式得|105k| k21 5,解
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