第47讲 两条直线的位置关系(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 47 讲讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 一、课程标准 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直; 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 斜率存在的两条直线平行与垂直 若 l1:yk1xb1,l2:yk2xb2, 则 l1l2k1k2,b1b2; l1l2k1 k21; l1与 l2重合k1k2,b1b2 2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件 若直线 l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20(其中 A1,B1不
2、同时为 0,A2,B2不同时为 0),则 l1l2A1B2A2B1且 A1C2A2C1;l1l2A1A2B1B20 3. 两直线的交点 直线 l1:A1xB1yC10 与 l2:A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC20 的解一一对应 (1)相交方程组有一组解; (2)平行方程组无解; (3)重合方程组有无数组解 4. 已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离为 d (x1x2)2(y1y2)2 5. 设点 P(x0,y0),直线 l:AxByC0(A,B 不同时为 0),则点 P 到直线 l 的距离为 d |Ax0By0C A
3、2B2 6. 两条平行直线 l1: AxByC10 与 l2: AxByC20(A, B 不同时为 0)之间的距离 d |C1C2 A2B2 三、自主热身、归纳总结 1、 若直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则实数 m 的值为( ) 第 2 页 / 共 12 页 A. 2 B. 3 C. 2 或3 D. 2 或3 【答案】 C 【解析】 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行,则有2 m m1 3 4 2,故 m2 或 m3. 故选 C. 2、 若直线 ax2y10 与直线 2x3y10 垂直,则 a 的值为( ) A. 3 B. 4 3 C. 2 D. 3
4、【答案】 D 【解析】 直线 ax2y10 的斜率 k1a 2, 直线 2x3y10 的斜率 k2 2 3.因为两直线垂直, 所以 a 2 2 3 1,即 a3. 3、直线 2x2y10,xy20 之间的距离是( ) A. 3 2 4 B. 2 C. 2 2 D. 1 【答案】A 【解析】 先将 2x2y10 化为 xy1 20,则两平行线间的距离为 d 21 2 2 3 2 4 .故选 A. 4、若三条直线 2xy30,2xy10 和 x3kyk10 相交于一点,则实数 k_ 【答案】 1 10 【解析】 由 2xy30,2xy10 两直线交于点(1 2,2),再将此点代入直线方程 x3ky
5、k1 0 中,求得 k 1 10. 5、若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直,则 a_ 【答案】0 或 1 【解析】 由两直线垂直的充要条件,得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0,解得 a0 或 a1. 四、例题选讲 考点一 两条直线的位置关系 例 1、已知直线 l1:ax2y30 和直线 l2:x(a1)ya210. (1) 当 l1l2时,求实数 a 的值; (2) 当 l1l2时,求实数 a 的值 第 3 页 / 共 12 页 【解析】 (1)(方法 1)当 a1 时,l1:x2y60,l2:x0,l1不平行于 l2; 当 a0 时,l1:y3,l
6、2:xy10,l1不平行于 l2; 当 a1 且 a0 时,两直线可化为 l1:ya 2x3, l2:y 1 1ax(a1), l1l2 a 2 1 1a, 3(a1) 解得 a1,综上可知,当 a1 时,l1l2. (方法 2)l1l2 a(a1)1 20, a(a21)160 a2a20, a(a21)6 解得 a1, 故当 a1 时,l1l2. (2)(方法 1)当 a1 时,l1:x2y60,l2:x0,l1与 l2不垂直,故 a1 不成立; 当 a0 时,l1:y3,l2:xy10,l1不垂直于 l2,故 a0 不成立; 当 a1 且 a0 时,l1:ya 2x3,l2:y 1 1a
7、x(a1)由 a 2 1 1a1,得 a 2 3. (方法 2)l1l2,a2(a1)0,解得 a2 3. 变式 1、(1)(江苏省丹阳高级中学 2019 届模拟)已知过点 A(2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x y10 为 l2,直线 xny10 为 l3.若 l1l2,l2l3,则实数 mn 的值为( ) A10 B2 C0 D8 (2)(浙江绍兴一中 2019 届模拟)设不同直线 l1:2xmy10,l2:(m1)xy10,则“m2” 是“l1l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】(1)A (2)C 【解析】 (
8、1)因为 l1l2,所以4m m22(m2),解得 m8(经检验,l1 与 l2不重合)因为 l2l3, 所以 2 11 n0,即 n2. 所以 mn10. (2)当 m2 时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立;当 l1l2时,显然 m0,从而 有2 mm1,解得 m2 或 m1,但当 m1 时,两直线重合,不合要求,故必要性成立故选 C. 第 4 页 / 共 12 页 变式 2、已知两条直线 l1:axby40 和 l2:(a1)xyb0,求满足下列条件的 a,b 的值 (1)l1l2,且 l1过点(3,1); (2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等 【解析】 (1)
9、由已知可得 l2的斜率存在,且 k21a. 若 k20,则 1a0,a1.l1l2,直线 l1的斜率 k1不存在,即 b0.又l1过点(3,1),3a 40,即 a4 3(矛盾),此种情况不存在,k20, 即 k1,k2都存在且不为 0.k21a,k1a b,l1l2,k1k21,即 a b(1a)1.(*)又l1 过点(3, 1),3ab40.(*)由(*)(*)联立,解得 a2,b2. (2)l2的斜率存在,l1l2,直线 l1的斜率存在,k1k2,即a b1a, 又坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1l2, l1,l2在 y 轴上的截距互为相反数,即4 bb,联立,解得 a2, b2
10、或 a2 3, b2 a2,b2 或 a2 3,b2. 方法总结:(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在 的特殊情况同时还要注意 x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论 考点二 两条直线的交点问题 例2 已知直线ykx2k1与直线y1 2x2的交点位于第一象限, 则实数k的取值范围是_ 【答案】 1 6, 1 2 【解析】 如图,已知直线 y1 2x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0),B(0,2)直线 ykx2k1 可 变形为 y1k(x2), 表示这是一条过定
11、点 P(2, 1), 斜率为 k 的动直线 因为两直线的交点在第一象限, 所以两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点),所以动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB.因为 kPA1 6, kPB1 2,所以 1 6k 1 2. 第 5 页 / 共 12 页 变式 1、(1)三条直线 l1:xy0,l2:xy20,l3:5xky150 构成一个三角形,则 k 的取值范围是 ( ) AkR BkR 且 k1,k0 CkR 且 k5,k10 DkR 且 k5,k1 (2)求经过直线 l1:3x2y10 和 l2:5x2y10 的交点,且垂直于直线 l3:3x5y60 的直线 l 的方程为_ 【答
12、案】(1)C (2)5x3y10 【解析】(1)由 l1l3得 k5;由 l2l3,得 k5;由 xy0 与 xy20,得 x1,y1,若 l1,l2的 交点(1,1)在 l3上,则 k10.若 l1,l2,l3能构成一个三角形,则 k5,且 k10,故选 C. (2)解方程组 3x2y10, 5x2y10 得 l1,l2的交点坐标为(1,2) 由于 ll3,故 l 是直线系 5x3yC0 中的一条,而 l 过 l1,l2的交点(1,2),故 5 (1)3 2C 0,由此求出 C1.故直线 l 的方程为 5x3y10. 变式 2、下面三条直线 l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my
13、40 不能构成三角形,求实数 m 的 取值集合 【解析】 当三条直线交于一点时:由 4xy40, mxy0 ,解得 l1和 l2的交点 A 的坐标 4 4m, 4m 4m ,由 A 在 l3上可得 2 4 4m3m 4m 4m 4,解得 m2 3或 m1. 至少两条直线平行或重合时:l1、l2、l3至少两条直线斜率相等,当 m4 时,l1l2;当 m1 6时,l1 l3;若 l2l3,则需有m 2 1 3m,m 22 3不可能综合(1)、(2)可知,m1, 1 6, 2 3,4 时,这三条直 线不能组成三角形,m 的取值集合是 1,1 6, 2 3,4 . 方法总结:(1)求两直线的交点坐标,
14、就是解由两直线方程联立组成的方程组,得到的方程组的解,即交点 的坐标 (2)求过两直线交点的直线方程, 先解方程组求出两直线的交点坐标, 再结合其他条件写出直线方程 也 可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,常用的直线系方程如下: 与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR,且 mC);与直线 AxByC 0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR);过直线 l1:A1xB1yC1 0 与 l2:A2xB2yC20 的交 第 6 页 / 共 12 页 点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R),但不包括 l2. 考点三、 两直线的距离问题 例 3、
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