第48讲 圆的方程(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 48 讲讲 圆的方程圆的方程 一、课程标准 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 二、基础知识回顾 1、 圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (xa)2(yb)2r2 (r0) 圆心 C:(a,b) 半径:r 一般 方程 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 圆心: D 2, E 2 半径:r D2E24F 2 2、 点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系 (2)三种情况 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,点 M(x0,y0
2、) (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆上; (x0 a)2(y0 b)2r2点在圆外; (x0a)2(y0 b)224,故点在圆外 3、圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1,则 a( ) A4 3 B3 4 C. 3 D2 【答案】A 【解析】 由题意可知,圆心为(1,4),所以圆心到直线的距离 d|a41| a212 1,解得 a4 3.故选 A. 4、点 P(4,2)与圆 x2y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 【答案】A 【解析】 设
3、中点为 A(x,y),圆上任意一点为 B(x,y),由题意得 x42x, y22y, 则 x2x4, y2y2, 故(2x4)2 (2y2)24,化简得(x2)2(y1)21,故选 A. 5、(多选)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段,弧长比为 12,则圆 C 的方程为( ) Ax2 y 3 3 24 3 Bx2 y 3 3 24 3 C(x 3)2y24 3 D(x 3)2y24 3 【答案】AB 【解析】 由已知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为2 3 ,设圆心(0,a), 半径为 r,则 rsin 31, rcos 3|a|,解得 r 2
4、3,即 r 24 3,|a| 3 3 ,即 a 3 3 ,故圆 C 的方程为 x2 y 3 3 24 3. 6、已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为_ 第 3 页 / 共 12 页 【答案】 21 3 【解析】 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0), 1DF0, 3 3EF0, 72D 3EF0, D2, E4 3 3 , F1, ABC 外接圆的圆心为 1,2 3 3 ,故ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 1 2 3 3 2 21 3 . 四、例题选讲 考点一 圆的方程 例 1、(2019 苏州期末)在平面直角坐标
5、系 xOy 中,过点 A(1,3),B(4,6),且圆心在直线 x2y10 上 的圆的标准方程为_ 【答案】 (x5)2(y2)217 【解析】由圆心既的线段 AB 的垂直平分线上,又在直线 x2y10 上,先求出圆心的坐标 线段 AB 的中点为 M 5 2, 9 2 ,斜率 kAB1,所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y9 2 x5 2 ,即 x y7. 由 xy7, x2y1,得圆心 C(5,2),半径 rCA 17,圆 C 的方程为(x5) 2(y2)217. 变式 1、(湖北武汉二中 2019 届模拟)根据下列条件,求圆的方程 (1)经过点 A(5,2),B(3,2),且圆心在直线
6、2xy30 上; (2)经过 P(2,4),Q(3,1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. 【解析】(1)由题意知 kAB2,AB 中点为(4,0),设圆心 C(a,b) 因为圆过 A(5,2),B(3,2)两点, 所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上, 则 b a4 1 2, 2ab30, 解得 a2, b1, 所以 C(2,1), 所以 r|CA|52 2 21 2 10, 所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210. 第 4 页 / 共 12 页 (2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0. 将 P,Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20, 3DEF10. 又令 y0,得 x
7、2DxF0. 设 x1,x2是方程的两根, 由|x1x2|6,得 D24F36, 由解得 D2,E4,F8 或 D6,E8,F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. 变式 2、 (1) 已知圆 C 经过 P(2,4),Q(3,1)两点,且在 x 轴上截得的弦长为 6,则圆 C 的方程为 _ (2) 已知圆心在直线 y4x 上,且圆与直线 l:xy10 相切于点 P(3,2),则该圆的方程是 _ (3) 若一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x3y0 上,且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7,则该圆的方 程为_ 【答案】 (1) x2y22x4y80 或 x2y2
8、6x8y0 (2)(x1)2(y4)28; (3) (x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29 【解析】 (1) 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0),将 P,Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20, 3DEF10. 又令 y0,得 x2DxF0.设 x1,x2是方程的两根,由|x1x2|6,即(x1x2)2 4x1x236,得 D24F36,由解得 D2,E4,F8 或 D6,E8,F0.故所 求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0. (2) 过切点且与 xy10 垂直的直线方程为 xy50, 与 y4x 联立可求得圆心为(1, 4), 所以半径
9、r (31)2(24)22 2,故所求圆的方程为(x1)2(y4)28. (3) 因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上, 所以设所求圆的圆心为(3a, a) 因为所求圆与 y 轴相切, 所以半径 r3|a|.因为所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7,圆心(3a,a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2,所 第 5 页 / 共 12 页 以 d2( 7)2r2,即 2a279a2,所以 a 1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)2 9. 方法总结: 求圆的方程的方法: (1)直接法: 根据圆的几何性质, 直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程 (2) 待定系数法:
10、 若已知条件与圆心(a, b)和半径 r 有关, 则设出圆的标准方程, 依据已知条件列出关于 a, b, r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据 已知条件列出关于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值. 考点二 与圆有关的最值问题 例 2 若实数 x,y 满足 x2y22x4y10,求下列各式的最大值和最小值 (1) y x4; (2)3x4y; (3)x2y2. 【解析】 (1)(方法 1)令 y x4k,则 kxy4k0. x,y 满足 x2y22x4y10,圆心(1,2)到直线 kxy4k0 的距离不大于圆的半径
11、2, 即| |25k k212,解得 20 21k0, y x4的最大值为 0,最小值为 20 21. (方法 2)令 y x4k, 则 yk(x4)代入圆的方程, 整理得(1k 2)x2(24k8k2)x16k216k10, 上述方程有实数根,(24k8k2)24(1k2) (16k216k1)0,化简整理得 21k220k0,解 得20 21k0, y x4的最大值为 0,最小值为 20 21. (2)(方法 1)设 3x4yk, 则 3x4yk0, 圆心(1, 2)到该直线的距离不大于圆的半径, 即| |38k 25 2,解得21k1,3x4y 的最大值为1,最小值为21. (方法 2)
12、设 k3x4y,即 y3 4x k 4,代入圆的方程,整理得 25x 2(166k)xk216k160,上 述方程有实数根, (166k)24 25(k216k16)0, 化简整理得 k222k210, 解得21k1, 3x4y 的最大值为1,最小值为21. (3)(方法 1)先求出原点与圆心之间的距离 d()10 2( )20 2 5, 根据几何意义, 知 x2y2的最 大值为()52 2 94 5,最小值为()52 2 94 5. 第 6 页 / 共 12 页 (方法 2)由(1)的方法知,圆的方程中的 x,y 变为 x12cos, y22sin (R), x2y2()12cos 2 ()
13、22sin 2 98sin4cos94 5sin()x2y2的最大值为 94 5, 最小值为 94 5. 变式 1、已知点(x,y)在圆(x2)2(y3)21 上,求 xy 的最大值和最小值 【解析】 设 txy,则 yxt,t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距, 所以 xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切 时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2(3)t| 2 1,解得 t 21 或 t 21,所以 xy 的最大值为 21,最小值为 21. 变式 2、已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10,则 (1
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