第52讲 椭圆的几何性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 18 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质,能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa, byb bxb, aya 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0) 顶点 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0, a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A
2、2的长为 2a,短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a, e(0,1) a,b,c 的关系 c2a2b2 2、焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分 别记作 r1|PF1|,r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0),r1aex0,r2aex0; (2)y 2 a2 x2 b21(ab0),r1aey0,r2aey0; (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2
3、,PF1F2的面积 第 2 页 / 共 18 页 为 S,则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时, 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|,当|y0|b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|; (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线
4、方程与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式,当: 0直线与椭圆相交; 0直线与椭圆相切; 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线 l 斜率,则 AB (1k2)|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 【答案】A 【解析】 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1)点(1,1)在椭圆内部,
5、直线与椭圆相交故 选 A. 第 2 题图 第 3 页 / 共 18 页 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 【解析】 kB2FkAB11,b c b a1,b 2ac,即 a2c2ac,ec a 51 2 . 3、中心为原点,一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆,截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2,则该椭圆的方程 是_ 【答案】 :x 2 25 y2 751 【解析】 :由题设知 c5 2,设椭圆方程为
6、x2 a250 y2 a21,联立方程 x2 a250 y2 a21, y3x2, 消去 y,整理得 (10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0, 由根与系数的关系得 x1x212a 250 10a24501,解得 a 275,所以椭圆方程为x 2 25 y2 751. 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若椭圆的离心率为 2 2 ,焦距为 2,则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 【答案】B 【解析】由条件知 c1,ec a 2 2 ,所以 a 2,b1,椭圆方程为x 2
7、2y 21,联立直线方程与椭圆方程 可得交点坐标为(0,1), 4 3, 1 3 ,所以|AB|4 2 3 . 5、 (一题两空)已知点 F1, F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点, 点 P 在此椭圆上, 则椭圆离心率为_, PF1F2的周长为_ 【答案】4 5 18 【解析】由椭圆方程知 a5,b3,c4,所以其离心率 ec a 4 5.PF1F2的周长为 2a2c10818. 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 第 4 页 / 共 18 页 例 1 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A,左焦点为 F,
8、第(1)题图 上顶点为 B,若BAOBFO90,则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为_ 【答案】 (1) 51 2 (2)1 3 【解析】 (1)由BAOBFO90,BAOABO90,得BFOABO.又AOBAOB, ABOBFO,OB OF AO BO,即 b c a b, 得 acb2a2c2,变形得 e2e10,解得 e
9、51 2 或 51 2 (舍),椭圆的离心率为 51 2 . (2)设 M(c, m), 则 E(0,am ac), OE 的中点为 D, 则 D(0, am 2(ac)), 又 B, D, M 三点共线, m 2(ac) m ac,解得 a3c,e 1 3. 变式 1、(1)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120 ,则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 【答案】 D 变式 2、(四川省乐山一中 2019 届质检
10、)设 F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点,P 是椭圆 C 上的 点,圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A,B 两点,若 A,B 三等分线段 PF,则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 第 5 页 / 共 18 页 C. 10 4 D. 17 5 【答案】D 【解析】如图,取线段 PF 的中点 H,连接 OH,OA.设椭圆另一个焦点为 E,连接 PE. A,B 三等分线段 PF,H 也是线段 AB 的中点,即 OHAB. 设|OH|d,则|PE|2d,|PF|2a2d,|AH|ad 3 . 在 RtOHA 中,|OA|2|OH|2|AH|2
11、,解得 a5d. 在 RtOHF 中,|FH|4 5a,|OH| a 5,|OF|c. 由|OF|2|OH|2|FH|2, 化简得 17a225c2,c a 17 5 . 即椭圆 C 的离心率为 17 5 .故选 D. 变式 3、 焦点在 x 轴上的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 该三角形内切圆的半径为b 3,则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 又由三角形面积公式得1 22cb 1 2(2a2c) b 3, 得 a2c,
12、即 ec a 1 2,故选 C. 变式 4、(2017 苏北四市一模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 【答案】 51 2 第 6 页 / 共 18 页 【解析】因为 F(c,0),B2(0,b),B1(0,b),A(a,0),所以B2F (c,b),B1A (a,b)因为 FB2AB1, 所以 acb20,即 c2aca20,故 e2e10,解得 e1 5 2 (负值舍去) 方法总结:求离心率的值关键是找到等式关系,解出 a 与
13、c 的关系,进而求出离心率。常见的等式关系主要 有:1、题目中给出等式关系;2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系;3、挖掘题目中的等 式关系。 考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020 福州模拟)过椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线,交 C 于 A,B 两点,直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点,则 C 的离心率的取值范围是_ 【答案】 0, 5 5 【解析】 (1)如图, 作 PBx 轴于点 B.由题意可设|F1F2|PF2|2c.由F1F2P120 , 可得|PB| 3c, |BF2| c,故|AB|
14、acca2c,tanPAB|PB| |AB| 3c a2c 3 6 ,解得 a4c,所以 ec a 1 4. (2)由题设知,直线 l: x c y b1,即 bxcybc0,以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将 xc 代入椭圆 C 的方程,得 y b2 a ,即圆的半径 rb 2 a .又圆与直线 l 有公共点,所以 2bc b2c2 b2 a ,化简得 2cb,平方整理得 a25c2,所以 ec a 5 5 .又 0e1,所以 0e 5 5 . 变式 1、设 F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使F1PF2120,则椭圆离心率 e 的取值范围 是_ 【答案】 3
15、 2 ,1) 【解析】 (方法 1)易知 P 点在短轴端点时F1PF2取最大值,只要在此情况下椭圆变得扁就行了,点 P 第 7 页 / 共 18 页 在短轴端点时,若F1PF2120,则 ec asin60 3 2 .e 3 2 ,1) (方法 2)若F1PF2120, 则有 PF21PF222PF1 PF2cos120F1F22, 且 PF1PF22a, 4a2PF1 PF2 4c2,PF1PF24b2,又 PF1PF2 PF1PF2 2 2a2, a24b2.3a24c2即 e23 4,e 3 2 ,1) (方法 3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将 P 点横坐标表示出来,再解不等式ax0
16、a 即可 变式 2、 (2020 上饶模拟)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0), 动点 P(x, y)在直线 l: yx2 上移动, 椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为_ 【答案】 : 10 5 【解析】由题意知 c1,离心率 ec a, 因为 P 在直线 l:yx2 上移动, 所以 2a|PA|PB|. 点 A 关于直线 yx2 的对称点 C, 设 C(m,n),则 n m11, 1 2n 1 2m12 解得 m2, n1 即有 C(2,1), 则 2a|PA|PB|PC|PB|BC| 10, 当 C,P,B 共线时,a 有最小值 10 2 ,
17、对应的离心率 e 有最大值 10 5 . 变式 3、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. (1)若 e 3 2 ,求椭圆的方程; (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 2 2 e 3 2 ,求 k 的取值范围 【解析】(1)由题意得 c3,c a 3 2 ,所以 a2 3,又因为 a2b2c2,所以 b23.所以椭圆的方程为x 2 12 y2 3 第 8 页 / 共 18 页 1. (2)由 x2 a2 y2 b21, ykx 得(b2a2k2)
18、x2a2b20. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x1x20,x1x2 a2b2 b2a2k2,依题意易知,OMON,四边形 OMF2N 为平行四边形,所以 AF2BF2. 因为 F2A (x 13,y1), F2B (x 23,y2), 所以 F2A F 2B (x 13)(x23)y1y2(1k 2)x 1x290. 即a 2 a2k2 a2k2a2 90, 将其整理为 k2a 418a281 a418a2 1 81 a418a2. 因为 2 2 e 3 2 ,所以 2 3a3 2,即 12a218. 所以 k21 8,即 k , 2 4 2 4 , . 变式 4、 (20
19、18 苏中三市、 苏北四市三调) 如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F,P为右准线上一点点Q在椭圆上,且FQFP (1)若椭圆的离心率为 1 2 ,短轴长为2 3 求椭圆的方程; (2)若在x轴上方存在PQ,两点,使OFPQ, , ,四点共圆,求椭圆离心率的取值范围 第 9 页 / 共 18 页 【思路分析】 (1)列出关于, ,a b c 的方程组,解出 , a b 值,从而求得椭圆的方程; (2)设出 00 ()Q xy,求出 P 坐标,,P Q F 三点确定以PQ为直径的圆,要使四点共圆,则第四点 O 在圆 上,有两种思路:思
20、路 1,求出圆方程,将点O坐标代入圆方程,思路 2,OF的中垂线经过圆心,求出 2 0 a xc c =- ,根据 点 P,Q 均在 x 轴上方,得到 2 a acc c ,转化为e的不等式,求出范围. 规规范解答范解答 (1)设椭圆的焦距为 2c, 由题意,得 222 1 2 22 3 c a b abc , , , 所以 2 3 a b , 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 由得,焦点(1 0)F,准线为4x , (2)解法解法 1 设 2 () a Pt c , 00 ()Q xy, 因为 FPFQ, 则FPQ 的外接圆即为以 PQ 为直径的圆 2 00 ()()()()0 a
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