第53讲 双曲线(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 53 讲讲 双曲线双曲线 一、课程标准 1、了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质 3、通过双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想. 二、基础知识回顾 1、 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2)的点的轨迹叫做双曲线这两 个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM| |MF1|MF22a,|F1F22c,其中 a,c 为常数,且 a0,c0. (1)当 ac 时,点 P 的轨迹是双曲线;
2、(2)当 ac 时,点 P 的轨迹是两条射线; (3)当 ac 时,点 P 不存在 2 、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0,b0) y2 a2 x2 b21(a0,b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa,yR ya 或 ya,xR 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 e c a ,e(1,) a,b,c 的关系 c2a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A22a;线段 B1B2叫做双曲线的虚轴,它 第 2 页 /
3、共 13 页 的长|B1B22b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 三、常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ,也叫通径 2、与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2t(t0) 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 4、若 P 是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|minac,|PF2|minca. 四、自主热身、归纳总结 1、 双曲线x 2 3 y 2 2 1 的焦距为( ) A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 1 【答案】 C 【解析】 由题意得
4、c2325,所以 c 5,所以双曲线的焦距为 2 5. 2、以椭圆x 2 4 y 2 3 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为( ) A. x2y 2 3 1 B. x2 3 y21 C. x2y 2 21 D. x2 4 y 2 3 1 【答案】 A 【解析】 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0,b0)由题意得双曲线的顶点为( 1,0),焦点为( 2,0),所以 a1,c2,所以 b2c2a23,所以双曲线的标准方程为 x2y 2 31. 3、已知双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x,且与椭圆x 2 12 y2 3 1 有
5、公共焦点, 则 C 的方程为( ) A. x2 8 y 2 101 B. x2 4 y 2 5 1 C. x2 5 y 2 4 1 D. x2 4 y 2 3 1 【答案】B 【解析】双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y b ax,在椭圆中:a 212,b23,c29,c 3,故双曲线 C 的焦点坐标为( 3,0),双曲线中的方程组:b a 5 2 ,c3,c2a2b2,解得 a24,b2 第 3 页 / 共 13 页 5,则双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 5 1.故选 B. 4、设 F1,F2是双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左
6、、右焦点,O 是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的 垂线,垂足为 P.若|PF1| 6|OP|,则 C 的离心率为( ) A. 5 B2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为 yb ax, 则 F2到 yb ax 的距离 d |bc| a2b2b. 在 RtF2PO 中,|F2O|c, 所以|PO|a,所以|PF1| 6a, 又|F1O|c,所以在F1PO 与 RtF2PO 中, 根据余弦定理得 cosPOF1a 2c2 6a 2 2ac cosPOF2a c, 即 3a2c2( 6a)20,得 3a2c2,所以 ec a 3. 5、(多选)已知双曲线 C 过
7、点(3, 2)且渐近线为 y 3 3 x,则下列结论正确的是( ) AC 的方程为x 2 3y 21 BC 的离心率为 3 C曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D直线 x 2y10 与 C 有两个公共点 【答案】AC 【解析】设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21,根据条件可知 b a 3 3 ,所以方程可化为 x2 3b2 y2 b21,将点(3, 2) 代入得 b21, 所以 a23, 所以双曲线 C 的方程为x 2 3y 21, 故 A 对; 离心率 ec a a2b2 a2 31 3 2 3 3 ,故 B 错;双曲线 C 的焦点为(2,0),(2,0),将 x2 代入
8、得 ye010,所以 C 对;联立 x2 3y 21, x 2y10 整理得 y22 2y20,则 880,故只有一个公共点,故 D 错故选 A、C. 第 4 页 / 共 13 页 6、已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线 的一条渐近线,则双曲线的方程为_ 【答案】x 2 8 y2 81 【解析】由离心率为 2,可知 ab,c 2a,所以 F( 2a,0), 由题意知 kPF 40 0 2a 4 2a1, 所以 2a4,解得 a2 2, 所以双曲线的方程为x 2 8 y2 81. 7、(2020 广东
9、揭阳一模)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交 点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为_ 【答案】 51 2 【解析】将 x c 代入双曲线的方程得 y2b 4 a2y b2 a ,则 2c2b 2 a ,即有 acb2c2a2,由 ec a,可得 e2e10, 解得 e 51 2 或 e1 5 2 (舍) 五、例题选讲 考点一、双曲线的定义 例 1 (1)设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直 线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若F1AB 是以 B 为直角顶点的等
10、腰直角三角形,则 e2_ (2)已知点 P 为双曲线x 2 16 y2 9 1 右支上一点,点 F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M 为PF1F2的内 心(角平分线交于一点),若 SPMF1SPMF28,则MF1F2的面积为_ 【答案】 (1)52 2 (2)10 【解析】 (1)如图所示,AF1AF22a,BF1BF22a,BF1AF2BF2,AF22a,AF14a.BF1 第 5 页 / 共 13 页 2 2a,BF22 2a2a.F1F22BF21BF22,(2c)2(2 2a)2(2 2a2a)2,e252 2. (2)设内切圆的半径为 R, a4, b3, c5, SPMF1SPM
11、F28, 1 2PF1 R 1 2PF2 R8, 1 2(PF1 PF2)R8,即 aR8,R2,SMF1F21 2 2c R10. 变式 1、(华东师范大学附中 2019 届模拟)(1)设 F1,F2是双曲线 x2y 2 241 的两个焦点,P 是双曲线上的 一点,且 3|PF14|PF2,则PF1F2的面积等于( ) A4 2 B8 3 C24 D48 (2)设双曲线x 2 4 y2 21 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A,B 两点,则|BF2| |AF2|的最小值为_ 【答案】(1)C (2)10 【解析】 (1)双曲线的实轴长为 2, 焦距为|F
12、1F2|10.根据题意和双曲线的定义知2|PF1|PF2|4 3|PF2|PF2| 1 3|PF2|,所以|PF2|6,|PF1|8,所以|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2,所以 PF 1PF2.所以 SPF1F21 2|PF1| |PF2| 1 2 6 824. (2)由双曲线的标准方程x 2 4 y2 21 得 a2,由双曲线的定义可得|AF2|AF1|4,|BF2|BF1|4,所以 |AF2|AF1|BF2|BF1|8.因为|AF1|BF1|AB|, 当直线 l 过点 F1, 且垂直于 x 轴时, |AB|最小, 所以(|AF2| |BF2|)min|AB|min82b 2
13、 a 810. 变式 2、已知 F 是双曲线 C:x2y 2 81 的右焦点,P 是 C 左支上一点,A(0,6 6),当APF 周长最小时, 该三角形的面积为_ 【答案】12 6 【解析】 设左焦点为 F1,PFPF12a2,PF2PF1,APF 的周长为 AFAPPFAFAP2 PF1, APF 周长最小即为 APPF1最小, 当 A, P, F1在一条直线时最小, 过 AF1的直线方程为 x 3 y 6 6 1,与 x2y 2 81 联立,解得 P 点坐标为(2,2 6),此时 SSAF1FSF1PF12 6. 方法总结:(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进
14、而根据要求可求出双曲 线方程 第 6 页 / 共 13 页 (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建 立为|PF1| |PF2|的关系 (3)在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是 双曲线的一支 考点二、双曲线的标准方程 例 2 (1)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于 双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为_ (2)与双曲线x 2 9 y 2 161 有共同的渐近线,且经过点(3,2 3)的双曲
15、线的标准方程为_ 【答案】(1) x2 8 y2 8 1 (2)x 2 9 4 y 2 4 1 【解析】 (1)由题意得 ab, 40 0(c)1,c4,ab2 2,所求双曲线的方程为 x2 8 y2 8 1. (2)(方法 1)由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21,由题意,得 b a 4 3, (3)2 a2 (2 3) 2 b2 1, 解得 a29 4,b 24. 双曲线的方程为4x 2 9 y 2 4 1. (方法 2)设所求双曲线方程x 2 9 y 2 16(0),将点(3,2 3)代入得 1 4,双曲线方程为 4x2 9 y 2 41.
16、变式 1、 根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)虚轴长为 12,离心率为5 4; (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2,7) 【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0,b0)由题意知 2b12,e c a 5 4,所以 b 6,c10,a8.所以双曲线的标准方程为x 2 64 y2 361 或 y2 64 x2 361. (2)因为双曲线经过点 M(0,12),所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a12.又 2c26, 第 7 页 / 共 13 页
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