第54讲 抛物线(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义
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1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 54 讲讲 抛抛 物物 线线 一、课程标准 1、了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、基础知识回顾 1、 、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的 焦点,直线 l 叫做抛物线的准线 2 、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0
2、) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2,0 F p 2,0 F 0,p 2 F 0,p 2 离心率 e1 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0,y0) | PF x0p 2 | PF x0p 2 | PF y0p 2 | PF y0p 2 3 、 与焦点弦有关的常用结论 第 2 页 / 共 15 页 设 A(x1,y1),B(x2,y2) (1)y1y2p2,x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (3) 1 |AF|
3、1 |BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 三、自主热身、归纳总结 1、抛物线 y24x 的准线方程为( ) A. x1 B. x1 C. y1 D. y1 【答案】 B 【解析】 由题意得抛物线的焦点在 x 轴上,且 2p4,即 p2,所以抛物线的准线方程为直线 xp 2 1. 2、 设抛物线 y28x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】 B 【解析】 如图所示, 抛物线的准线 l 的方程为 x2, F 是抛物线的焦点, 过
4、点 P 作 PAy 轴, 垂足为 A, 延长 PA 交直线 l 于点 B,则 AB2.因为点 P 到 y 轴的距离为 4,所以点 P 到准线 l 的距离 PB426, 所以点 P 到焦点的距离 PFPB6.故选 B. 3、过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果 x1x26,则|PQ|( ) A9 B8 C7 D6 【答案】B 【解析】抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1.根据题意可得,|PQ|PF|QF|x11x2 第 3 页 / 共 15 页 1x1x228. 4、拋物线 y2ax2(a0)的焦点是( ) A. a
5、 2,0 B. a 2,0 或 a 2,0 C. 0, 1 8a D. 0, 1 8a 或 0, 1 8a 【答案】C 【解析】抛物线的方程化成标准形式为 x2 1 2ay(a0),其焦点在 y 轴上,所以焦点坐标为 0, 1 8a .故选 C. 5、已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C 的方程为_ 【答案】y2 4 2x 【解析】 :由已知可知双曲线的焦点为( 2,0),( 2,0)设抛物线方程为 y2 2px(p0),则p 2 2,所 以 p2 2,所以抛物线方程为 y2 4 2x. 6、设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q
6、的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值 范围是_ 【答案】1,1 【解析】 :Q(2,0),当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意,故设直线 l 的方程为 yk(x2),代入抛物线 方程,消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20,当 k0 时,l 与抛物线有公共点;当 k0 时,64(1k2)0 得1k0 或 00)的左、右焦点,点 P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交点,若|PF1|PF212,则抛物线的准线方程为_ 【答案】x2 【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2 a2 y2 3a21, 抛物线的准线为 x2a, 联立 x2 a2 y2 3a21,
7、y28ax x 3a,即点 P 的横坐标为 3a.而由 |PF1|PF2|12, |PF1|PF2|2a |PF2|6a,又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦 点相同,所以|PF2|3a2a6a,解得 a1,所以抛物线的准线方程为 x2. 变式 2、(黑龙江省鹤岗一中 2019 届模拟)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点 P(4,2)的抛物线的 标准方程是( ) Ay2x B.x28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 【答案】D 【解析】设抛物线为 y2mx,代入点 P(4,2),解得 m1,则抛物线方程为 y2x;设抛物线 为 x2ny,代入点 P(4,2),解得 n8,则抛物线
8、方程为 x28y.故抛物线方程为 y2x 或 x2 8y. 变式 3、(山西省临汾一中 2019 届模拟)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点,且与该抛物线交于 A,B 两点,若线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线的方程是( ) Ay212x B.y28x Cy26x Dy24x 【答案】B 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又 AB 的中点到 y 轴的 距离为 2,x1x2 2 2,x1x24,p4,所求抛物线的方程为 y28x.故选 B. 方法总结:1求抛物线标准方程的方法 (1)定义法:
9、若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p),那么只需求出 p 即可 (2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2 ax(a0),a 的正负由题设来定;焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2ay(a0),这样就减少了不必 第 7 页 / 共 15 页 要的讨论 2抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程 (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算 考点三 综合考查直线与抛物线的问题 例 3、如图,已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1),A(x
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