2018-2020年中考数学压轴题真题系列:面积问题二(含答案)
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1、 1 2018-2020 年中考数学压轴题真题系列年中考数学压轴题真题系列-面积问题二面积问题二 1 (2020眉山)如图 1,抛物线 2 yxbxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0), 点C坐标为(0,3) (1)求抛物线的表达式; (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当PBC的面积最大时,求点P的坐标; (3)如图 2,点M为该抛物线的顶点,直线MDx轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的 距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由 2 (2020绵阳)如图,抛物线过点(0,1)A和C,顶点为D,直线AC与抛物
2、线的对称轴BD的交点为( 3B,0), 平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为 4 3 3 ,四边形BDEF为平行四边 形 (1)求点F的坐标及抛物线的解析式; (2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当PAB面积最大时,求点P的坐标及PAB面积的最大值; (3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四 边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标 3 (2020攀枝花)如图,开口向下的抛物线与x轴交于点( 1,0)A 、(2,0)B,与y轴交于点(0,4)C,点P是第一象 2 限内抛物线上的一点 (1)求
3、该抛物线所对应的函数解析式; (2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值 4 (2020泰安)若一次函数33yx 的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(3,0),二次函数 2 yaxbxc的图象过A,B,C三点,如图(1) (1)求二次函数的表达式; (2)如图(1) ,过点C作/ /CDx轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧) ,若BC恰好平分DBE求直 线BE的表达式; (3)如图(2) ,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧) ,连接AP交BC于点F,连接BP, BFPBAF SmS 当 1 2 m 时,求点P的坐标; 求m的最大值 5 (2019东营)已知抛物线 2
4、 4yaxbx经过点(2,0)A、( 4,0)B ,与y轴交于点C 3 (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图 1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标; (3) 如图 2, 线段AC的垂直平分线交x轴于点E, 垂足为D,M为抛物线的顶点, 在直线DE上是否存在一点G, 使CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由 6 (2019聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 2 yaxbxc与x轴交于点( 2,0)A ,点(4,0)B,与y轴交 于点(0,8)C,连接BC又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B
5、(不含O点和B 点) ,且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E (1)求抛物线的表达式; (2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标; (3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt PFD面积的最大值 7 (2020郴州)如图 1,抛物线 yax2+bx+3(a0)与 x 轴交于 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C已知 4 直线 ykx+n 过 B,C 两点 (1)求抛物线和直线 BC 的表达式; (2)点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1,若点 P 在第一象限内,连接 PA,交直线 BC 于点 D设PDC 的面积为 S1,AD
6、C 的面积为 S2,求 2 1 S S 的最大值; 如图 2,抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E,过点 E 作 EFBC,垂足为 F点 Q 是对称轴 l 上的一个动点, 是否存在以点 E,F,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 P,Q 的坐标;若不存在,请说明理 由 8 (2020湘西州)已知直线 ykx2 与抛物线 yx2bx+c(b,c 为常数,b0)的一个交点为 A(1,0) ,点 M(m,0)是 x 轴正半轴上的动点 (1)当直线 ykx2 与抛物线 yx2bx+c(b,c 为常数,b0)的另一个交点为该抛物线的顶点 E 时,求 k, b,c 的值及抛物线顶点 E
7、 的坐标; (2) 在 (1) 的条件下, 设该抛物线与 y 轴的交点为 C, 若点 Q 在抛物线上, 且点 Q 的横坐标为 b, 当 SEQM 2 1 SACE时,求 m 的值; (3)点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 b 2 1 ,当2AM+2DM 的最小值为 4 227 时,求 b 的值 9 (2019永州)如图,已知抛物线经过两点 A(3,0) ,B(0,3) ,且其对称轴为直线 x1 5 (1)求此抛物线的解析式; (2)若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点(不包括点 A,点 B) ,求PAB 的面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标 答案: 6 1 (2020眉
8、山)如图 1,抛物线 2 yxbxc与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0), 点C坐标为(0,3) (1)求抛物线的表达式; (2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当PBC的面积最大时,求点P的坐标; (3)如图 2,点M为该抛物线的顶点,直线MDx轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的 距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由 解: (1)点(3,0)B,点(0,3)C在抛物线 2 yxbxc图象上, 930 3 bc c , 解得: 2 3 b c , 抛物线解析式为: 2 23yxx; (2)点(3,0)B,点(
9、0,3)C, 直线BC解析式为:3yx , 如图,过点P作PHx轴于H,交BC于点G, 设点 2 ( ,23)P mmm,则点( ,3)G mm, 22 (23)(3)3PGmmmmm , 22 113327 3 (3 )() 22228 PBC SPGOBmmm , 当 3 2 m 时, PBC S有最大值, 点 3 ( 2 P,15) 4 ; (3)存在N满足条件, 理由如下:抛物线 2 23yxx与x轴交于A、B两点, 点( 1,0)A , 22 23(1)4yxxx , 顶点M为(1,4), 点M为(1,4),点(0,3)C, 7 直线MC的解析式为:3yx, 如图,设直线MC与x轴交
10、于点E,过点N作NQMC于Q, 点( 3,0)E , 4DEMD, 45NMQ, NQMC, 45NMQMNQ, MQNQ, 2 2 MQNQMN, 设点(1, )Nn, 点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离, NQAN, 22 NQAN, 22 2 () 2 MNAN, 22 2 (|4|)4 2 nn, 2 880nn, 42 6n , 存在点N满足要求,点N坐标为(1, 42 6) 或(1, 42 6) 2 (2020绵阳)如图,抛物线过点(0,1)A和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为( 3B,0), 平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的
11、横坐标为 4 3 3 ,四边形BDEF为平行四边 形 (1)求点F的坐标及抛物线的解析式; (2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当PAB面积最大时,求点P的坐标及PAB面积的最大值; (3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四 边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标 8 解: (1)设抛物线的解析式为 2 (0)yaxbxc a, (0,1)A,( 3B,0), 设直线AB的解析式为ykxm, 30 1 km m , 解得 3 3 1 k m , 直线AB的解析式为 3 1 3 yx , 点F的横坐标为 4 3 3 , F点纵
12、坐标为 34 31 1 333 , F点的坐标为 4 (3 3 , 1) 3 , 又点A在抛物线上, 1c , 对称轴为:3 2 b x a , 2 3ba , 解析式化为: 2 2 31yaxax, 四边形DBFE为平行四边形 BDEF, 161 3181() 33 aaa , 解得1a , 抛物线的解析式为 2 2 31yxx ; (2)设 2 ( ,2 31)P nnn,作PPx 轴交AC于点 P , 9 则 3 ( ,1) 3 P nn, 2 7 3 3 PPnn , 22 1373749 (3)3 2222624 ABP SOB PPnnn , 当 7 3 6 n 时,ABP的面积最
13、大为 49 3 24 ,此时 7 (3 6 P, 47) 12 (3) 2 3 1 3 2 31 yx yxx , 0 x或 7 3 3 x , 7 (3 3 C, 4) 3 , 设( 3Q,)m, 当AQ为对角线时, 47 (3,) 33 Rm, R在抛物线 2 (3)4yx 上, 2 74 (33)4 33 m , 解得 44 3 m , 44 ( 3,) 3 Q, 437 (3,) 33 R ; 当AR为对角线时, 107 (3,) 33 Rm, R在抛物线 2 (3)4yx 上, 2 710 (33)4 33 m , 解得10m , ( 3Q,10), 1037 (3,) 33 R 综
14、上所述, 44 ( 3,) 3 Q, 437 (3,) 33 R ;或( 3Q,10), 1037 (3,) 33 R 3 (2020攀枝花)如图,开口向下的抛物线与x轴交于点( 1,0)A 、(2,0)B,与y轴交于点(0,4)C,点P是第一象 限内抛物线上的一点 (1)求该抛物线所对应的函数解析式; (2)设四边形CABP的面积为S,求S的最大值 10 解: (1)( 1,0)A ,(2,0)B,(0,4)C, 设抛物线表达式为:(1)(2)ya xx, 将C代入得:42a , 解得:2a , 该抛物线的解析式为: 2 2(1)(2)224yxxxx; (2)连接OP,设点P坐标为 2 (
15、 , 224)mmm,0m , ( 1,0)A ,(2,0)B,(0,4)C, 可得:1OA ,4OC ,2OB , OACOCPOPBCABP SSSSS 四边形 2 111 1 442( 224) 222 mmm 2 246mm 2 2(1)8m, 当1m 时,S最大,最大值为 8 4 (2020泰安)若一次函数33yx 的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,点B的坐标为(3,0),二次函数 2 yaxbxc的图象过A,B,C三点,如图(1) (1)求二次函数的表达式; (2)如图(1) ,过点C作/ /CDx轴交抛物线于点D,点E在抛物线上(y轴左侧) ,若BC恰好平分DBE求直 线BE
16、的表达式; (3)如图(2) ,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧) ,连接AP交BC于点F,连接BP, BFPBAF SmS 当 1 2 m 时,求点P的坐标; 求m的最大值 解: (1)一次函数33yx 的图象与x轴,y轴分别交于A,C两点,则点A、C的坐标分别为( 1,0)、(0, 3), 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得 0 093 3 abc abc c ,解得 1 2 3 a b c , 故抛物线的表达式为: 2 23yxx; (2)设直线BE交y轴于点M, 11 从抛物线表达式知,抛物线的对称轴为1x , / /CDx轴交抛物线于点D,故点(2, 3)D, 由点B、C的坐标知
17、,直线BC与AB的夹角为45,即45MCBDCB , BC恰好平分DBE,故MBCDBC , 而BCBC, 故()BCDBCM AAS , 2CMCD,故321OM ,故点(0, 1)M, 设直线BE的表达式为:ykxb,则 1 30 b kb ,解得 1 3 1 k b , 故直线BE的表达式为: 1 1 3 yx; (3)过点P作/ /PNx轴交BC于点N, 则PFNAFB,则 AFAB PFPN , 而 BFPBAF SmS ,则 14AF PFmPN ,解得: 1 4 mPN, 当 1 2 m 时,则2PN , 设点 2 ( ,23)P t tt, 由点B、C的坐标知,直线BC的表达式
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