2018-2020年中考数学压轴题真题系列:面积问题三(含答案)
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1、 1 2018-2020 年中考数学压轴题真题系列年中考数学压轴题真题系列-面积问题三面积问题三 1 (2019张家界)已知抛物线 yax2+bx+c(a0)过点 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,OC3 (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)过点 A 作 AMBC,垂足为 M,求证:四边形 ADBM 为正方形; (3)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点,当PBC 面积最大时,求点 P 的坐标; (4)若点 Q 为线段 OC 上的一动点,问:AQ 2 1 QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在, 请说明理由 2 (2019益阳)在
2、平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B、C 两点,与 y 轴交于点 D,已知 A (1,4) ,B(3,0) (1)求抛物线对应的二次函数表达式; (2)探究:如图 1,连接 OA,作 DEOA 交 BA 的延长线于点 E,连接 OE 交 AD 于点 F,M 是 BE 的中点,则 OM 是否将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分?请说明理由; (3)应用:如图 2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且 m+n1,连接 PA、PC,在线段 PC 上确定一点 N,使 AN 平分四边形 ADCP 的面积,求点 N 的坐标 提示:若点 A、B 的坐标分别为(x1
3、,y1) 、 (x2,y2) ,则线段 AB 的中点坐标为( 2 21 xx , 2 21 yy ) 3 (2019常德)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 A(1,4) ,与坐标轴交于 B、C、D 三点,且 B 点的坐标 2 为(1,0) (1)求二次函数的解析式; (2)在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M、N,且点 N 在点 M 的左侧,过 M、N 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G、H 两点,当四边形 MNHG 为矩形时,求该矩形周长的最大值; (3) 当矩形 MNHG 的周长最大时, 能否在二次函数图象上找到一点 P, 使PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 16 9
4、? 若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由 4 (2019衡阳)如图,二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B(3,0) ,与 y 轴交于点 N, 以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 CP,过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E (1)求该抛物线的函数关系表达式; (2)当点 P 在线段 OB(点 P 不与 O、B 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值?并求出这个最大值; (3)在第四象限的抛物线上任取一点 M,连接 MN、MB请问:MBN 的面积是否存在最大值?若存在,求 出此时点 M 的
5、坐标;若不存在,请说明理由 5 (2019黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知( 2,2)A ,( 2,0)B ,(0,2)C,(2,0)D四点,动点M以 3 每秒2个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合) ,设运动时间为t(秒) (1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式; (2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若PAMPBM ,求点P的坐标; (3) 当M在CD上运动时, 如图 过点M作MFx轴, 垂足为F,MEAB, 垂足为E 设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值; (4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交
6、于点H,与y轴交于点K是否存在点Q,使得HOK为等腰三 角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由 6 (2019桂林)如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A(2,0)和 B(1,0) ,与 y 轴交于点 C (1)求抛物线的表达式; (2)作射线 AC,将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90交抛物线于另一点 D,在射线 AD 上是否存在一点 H,使 CHB 的周长最小若存在,求出点 H 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,点 Q 为抛物线的顶点,点 P 为射线 AD 上的一个动点,且点 P 的横坐标为 t,过点 P 作 x 轴的垂
7、线 l,垂足为 E,点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动,直线 l 随之运动,当2t1 时,直线 l 将四边形 ABCQ 分割成左右两部分,设在直线 l 左侧部分的面积为 S,求 S 关于 t 的函数表达式 7 (2018玉林)如图,直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,抛物线 yx2+bx+c 与直线 yc 分别 4 交 y 轴的正半轴于点 C 和第一象限的点 P,连接 PB,得PCBBOA(O 为坐标原点) 若抛物线与 x 轴正半 轴交点为点 F,设 M 是点 C,F 间抛物线上的一点(包括端点) ,其横坐标为 m (1)直接写出点 P 的坐标和抛物线的解析式;
8、(2)当 m 为何值时,MAB 面积 S 取得最小值和最大值?请说明理由; (3)求满足MPOPOA 的点 M 的坐标 8 (2020宿迁)二次函数 2 3yaxbx的图象与x轴交于(2,0)A,(6,0)B两点,与y轴交于点C,顶点为E (1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标; (2)如图,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标; (3)如图,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当CEQ的面 积为 12 时,求点P的坐标 9 (2020淮安)如图,二次函数 2 4yxbx的图象与直线l交于( 1,
9、2)A 、(3, )Bn两点点P是x轴上的一 5 个动点,过点P作x轴的垂线交直线 1 于点M,交该二次函数的图象于点N,设点P的横坐标为m (1)b 1 ,n ; (2)若点N在点M的上方,且3MN ,求m的值; (3)将直线AB向上平移 4 个单位长度,分别与x轴、y轴交于点C、D(如图) 记NBC的面积为 1 S,NAC的面积为 2 S,是否存在m,使得点N在直线AC的上方,且满足 12 6SS?若存 在,求出m及相应的 1 S, 2 S的值;若不存在,请说明理由 当1m 时 , 将 线 段MA绕 点M顺 时 针 旋 转90得 到 线 段MF, 连 接FB、FC、OA 若 45FBAAO
10、DBFC,直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标 6 答案: 1 (2019张家界)已知抛物线 yax2+bx+c(a0)过点 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,OC3 (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)过点 A 作 AMBC,垂足为 M,求证:四边形 ADBM 为正方形; (3)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点,当PBC 面积最大时,求点 P 的坐标; (4)若点 Q 为线段 OC 上的一动点,问:AQ 2 1 QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在, 请说明理由 解: (1)函数的表达式为:ya(x1) (x3)a
11、(x24x+3) , 即:3a3,解得:a1, 故抛物线的表达式为:yx24x+3, 则顶点 D(2,1) ; (2)OBOC3,OBCOCB45, AMMBABsin45= 2 =ADBD, 则四边形 ADBM 为菱形,而AMB90, 四边形 ADBM 为正方形; (3)将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式:ymx+n 并解得: 直线 BC 的表达式为:yx+3, 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H, 设点 P(x,x24x+3) ,则点 H(x,x+3) , 则 SPBC= 1 2PHOB= 3 2(x+3x 2+4x3)=3 2(x 2+3x) , 3 20,故 SPBC
12、有最大值,此时 x= 3 2, 故点 P(3 2, 3 4) ; (4)存在,理由: 如上图,过点 C 作与 y 轴夹角为 30的直线 CH,作 QHCH,垂足为 H, 则 HQ= 1 2CQ, AQ+ 1 2QC 最小值AQ+HQAH, 直线 HC 所在表达式中的 k 值为3,直线 HC 的表达式为:y= 3x+3 则直线 AH 所在表达式中的 k 值为 3 3 , 则直线 AH 的表达式为:y= 3 3 x+s,将点 A 的坐标代入上式并解得: 7 则直线 AH 的表达式为:y= 3 3 x+ 3 3 , 联立并解得:x= 133 4 , 故点 H(133 4 ,3+3 4 ) ,而点 A
13、(1,0) , 则 AH= 3+3 2 , 即:AQ+ 1 2QC 的最小值为 3+3 2 2 (2019益阳)在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B、C 两点,与 y 轴交于点 D,已知 A (1,4) ,B(3,0) (1)求抛物线对应的二次函数表达式; (2)探究:如图 1,连接 OA,作 DEOA 交 BA 的延长线于点 E,连接 OE 交 AD 于点 F,M 是 BE 的中点,则 OM 是否将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分?请说明理由; (3)应用:如图 2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且 m+n1,连接 PA、PC,在线段 PC
14、 上确定一点 N,使 AN 平分四边形 ADCP 的面积,求点 N 的坐标 提示:若点 A、B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,则线段 AB 的中点坐标为( 2 21 xx , 2 21 yy ) 解: (1)函数表达式为:ya(x1)2+4, 将点 B 坐标的坐标代入上式得:0a(31)2+4, 解得:a1, 故抛物线的表达式为:yx2+2x+3; (2)OM 将四边形 OBAD 分成面积相等的两部分,理由: 如图 1,DEAO,SODASOEA, SODA+SAOMSOEA+SAOM,即:S四边形OMADSOEM, SOMESOBM, S四边形OMADSOBM; (3)设
15、点 P(m,n) ,nm2+2m+3,而 m+n1, 解得:m1 或 4,故点 P(4,5) ; 如图 2,故点 D 作 QDAC 交 PC 的延长线于点 Q, 8 由(2)知:点 N 是 PQ 的中点, 将点 C(1,0) 、P(4,5)的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线 PC 的表达式为:yx1, 同理直线 AC 的表达式为:y2x+2, 直线 DQCA,且直线 DQ 经过点 D(0,3) , 同理可得直线 DQ 的表达式为:y2x+3, 联立并解得:x= 4 3,即点 Q( 4 3, 1 3) , 点 N 是 PQ 的中点, 由中点公式得:点 N(4 3, 7 3) 3 (2019常
16、德)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 A(1,4) ,与坐标轴交于 B、C、D 三点,且 B 点的坐标 为(1,0) (1)求二次函数的解析式; (2)在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M、N,且点 N 在点 M 的左侧,过 M、N 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 G、H 两点,当四边形 MNHG 为矩形时,求该矩形周长的最大值; (3) 当矩形 MNHG 的周长最大时, 能否在二次函数图象上找到一点 P, 使PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 16 9 ? 若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由 解: (1)二次函数表达式为:ya(x1)2+4, 将点 B 的坐标代
17、入上式得:04a+4,解得:a1, 故函数表达式为:yx2+2x+3; (2)设点 M 的坐标为(x,x2+2x+3) ,则点 N(2x,x2+2x+3) , 则 MNx2+x2x2,GMx2+2x+3, 矩形 MNHG 的周长 C2MN+2GM2(2x2)+2(x2+2x+3)2x2+8x+2, 20,故当 x= 2 =2,C 有最大值,最大值为 10, 此时 x2,点 N(0,3)与点 D 重合; (3)PNC 的面积是矩形 MNHG 面积的 9 16, 则 SPNC= 9 16 MNGM= 9 16 23= 27 8 , 连接 DC,在 CD 的上下方等距离处作 CD 的平行线 m、n,
18、 过点 P 作 y 轴的平行线交 CD、直线 n 于点 H、G,即 PHGH, 9 过点 P 作 PKCD 于点 K, 将 C(3,0) 、D(0,3)坐标代入一次函数表达式并解得: 直线 CD 的表达式为:yx+3, OCOD, OCDODC45PHK,CD32, 设点 P(x,x2+2x+3) ,则点 H(x,x+3) , SPNC= 27 8 = 1 2 PKCD= 1 2 PHsin4532, 解得:PH= 9 4 =HG, 则 PHx2+2x+3+x3= 9 4, 解得:x= 3 2, 故点 P(3 2, 15 4 ) , 直线 n 的表达式为:yx+3 9 4 = x+ 3 4,
19、联立并解得:x= 332 2 , 即点 P、P的横坐标分别为3+32 2 或332 2 ; 故点 P 横坐标为:3 2或 3+32 2 或332 2 4 (2019衡阳)如图,二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B(3,0) ,与 y 轴交于点 N, 以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 CP,过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E (1)求该抛物线的函数关系表达式; (2)当点 P 在线段 OB(点 P 不与 O、B 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值?并求出这个最大值; (3)在第四象限的抛物
20、线上任取一点 M,连接 MN、MB请问:MBN 的面积是否存在最大值?若存在,求 出此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 解: (1) )抛物线 yx2+bx+c 经过 A(1,0) ,B(3,0) , 把 A、B 两点坐标代入上式,1 + = 0 9 + 3 + = 0, 解得: = 2 = 3, 故抛物线函数关系表达式为 yx22x3; (2)A(1,0) ,点 B(3,0) , ABOA+OB1+34, 10 正方形 ABCD 中,ABC90,PCBE, OPE+CPB90, CPB+PCB90, OPEPCB, 又EOPPBC90, POECBP, = , 设 OPx,则 PB3x
21、, 4 3 = , OE= 1 4( 2 + 3) = 1 4( 3 2) 2 + 9 16 , 0 x3, = 3 2时,线段 OE 长有最大值,最大值为 9 16 即 OP= 3 2时,点 P 在线段 OB 上运动至 P( 3 2,0)时,线段 OE 有最大值最大值是 9 16 (3)存在 如图,过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H, 抛物线的解析式为 yx22x3, x0,y3, N 点坐标为(0,3) , 设直线 BN 的解析式为 ykx+b, 3 + = 0 = 3 , = 1 = 3, 直线 BN 的解析式为 yx3, 设 M(a,a22a3) ,则 H(a,a3) , MH
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