考点27 椭圆的综合问题 （学生版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 12 页 考点考点 27 椭圆的综合问题椭圆的综合问题 1、掌握直线与椭圆的关系，能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题 2、掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略 3、掌握圆锥曲线中定点、定值等问题 解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线 与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问 题时,要充分利用方程的思想、 数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外, 这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因

2、为难于实施，就是因为实施起来运 算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要从思想方法层面讲，解析几何主要有两种 方法：一是设线法；二是设点法此题的两种解法分属于设点法和设线法一般地，设线法是比较顺应题 意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强， 但运用得好，解题过程往往会显得很简捷解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算 量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利 1、 【2017 年高考全国理数】已知椭圆 C： 22 22 0)1( xy ab ab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以

3、线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 12 页 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 2、 【2018 年高考浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 2 4 x +y2=m(m1)上两点 A，B 满足AP=2PB，则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大 3、【2019 年高考天津卷理数】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 5 5 （1）求椭圆的方程； （2）设点

4、P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负 半轴上若| |ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 4、 【2020 年北京卷】.已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点 ( 2, 1)A ，且2ab （）求椭圆 C的方程： （） 过点( 4,0)B 的直线 l交椭圆 C于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x于点,P Q 求 | | PB BQ 的值 5、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线

5、AF1与椭圆 E相交于另一点 B 第 3 页 / 共 12 页 （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 6、 【2020 年全国 1 卷】0.已知 A、B分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1）的左、右顶点，G为 E 的上顶点， 8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA与 E 的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点.

6、7、 【2020 年全国 2 卷】.已知椭圆 C1： 22 22 1 xy ab (ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心 与 C2的顶点重合.过 F 且与 x轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C 2于 C，D两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程. 第 4 页 / 共 12 页 8、【2020 年天津卷】 .已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A ， 右焦点为F， 且|O AO F， 其中O为原点 （）求椭圆方程； （

7、）已知点C满足3OC OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点） ，直线AB与以C为圆心的圆相切 于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 9、 【2020 年浙江卷】.如图，已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy，抛物线 2 2: 2(0)Cypx p，点 A 是椭圆 1 C与抛 物线 2 C的交点，过点 A的直线 l交椭圆 1 C于点 B，交抛物线 2 C于 M（B，M不同于 A） （）若 1 16 p，求抛物线 2 C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值 第 5 页 / 共 12 页 10、 【2020 年山东卷】.已知椭圆 C： 22

8、22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程： （2）点 M，N在 C上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值 题型一、椭圆与圆的结合问题 1、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 已知 P 是椭圆 C： 2 2 1 6 x y上的动点， Q 是圆 D： 2 2 1 1 5 xy 上的动点，则（ ） AC 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 2、 （2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题）设 P，Q 分别是圆 2 2 62x

9、y和椭 圆 2 2 1 10 x y上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( ) A5 2 B462 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 12 页 C6 2 D7 2 3、 （2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，若斜率 为 1 的直线与椭圆M相切同时亦与圆 222 :()C xybb（b为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率 为e，则 2 e _ 4、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2. （1）求椭圆L的标准方程； （2）

10、过点0,2Q的直线l与椭圆L交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方 程及AB的大小. 题型二、椭圆中的直线问题 1、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，1 ,0 ,1,0AB，设ABC的内切圆分 别与边,AC BC AB相切于点,P Q R，已知1CP ，记动点C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过2,0G的直线与 y轴正半轴交于点S，与曲线 E 交于点 ,H HAx 轴，过S的另一直线与曲线E交 于MN、两点，若6 SMGSHN SS，求直线MN的方程. . 第 7 页 / 共 12 页 2、(2019 苏州期初调查）已知椭圆 C

11、： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为 1 2，点 P 1，3 2 为椭圆上一点 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，若 k12k2，求直线 l 斜率的值 3、(2019 通州、海门、启东期末）如图，A 是椭圆x 2 4 y21 的左顶点，点 P，Q 在椭圆上且均在 x 轴上方， (1) 若直线 AP 与 OP 垂直，求点 P 的坐标； (2) 若直线 AP，AQ 的斜率之积为3 4，求直线 PQ 的斜率的取值范围 4

12、、(2019 南京、盐城一模）已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8，直线 l：yk(xm)(mR)与椭圆交于 P，Q 两点 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2. 若 m0，求 k1k2的值； 若 k1k21 4，求实数 m 的值 第 8 页 / 共 12 页 题型三、椭圆中的最值问题 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点， 直线y kx 与椭圆交于A，B两点，8AFBF. （1

13、）求椭圆的标准方程； （2）设3,0Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围. 2、(2019 无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，且过点 3，1 2 ，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 PCD 面积的最大值 3、(2019 宿迁期末）如图所示，椭圆 M：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，右准线方程为 x4，过点 P(0， 4)作关于 y 轴对称的两条直线 l1，l2，且 l1与

14、椭圆交于不同两点 A，B，l2与椭圆交于不同两点 D，C. (1) 求椭圆 M 的方程； (2) 证明：直线 AC 与直线 BD 交于点 Q(0，1)； 第 9 页 / 共 12 页 (3) 求线段 AC 长的取值范围 题型四、椭圆中的定点与定值问题 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的离心率 e 满足 2 23 220ee ，右顶点为 A，上顶点为 B，点 C(0，2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点 A 时，l 的

15、斜率为 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)证明： BOMBCN SS 为定值 第 10 页 / 共 12 页 2、 （2019 山东高三月考）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F， 12 | 2FF =，过 点 1 F的直线与椭圆C交于,A B两点，延长 2 BF交椭圆C于点M， 2 ABF的周长为 8. （1）求C的离心率及方程； （2）试问：是否存在定点 0 (,0)P x，使得 PM PB为定值？若存在，求0 x；若不存在，请说明理由. 3、(2019 苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y

16、2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ， 且右焦点到右准线 l 的距离为 1.过 x 轴上一点 M(m，0)(m 为常数，且 m(0，2)的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，与 l 交于点 P，D 是弦 AB 的中点，直线 OD 与 l 交于点 Q. (1) 求椭圆 C 的标准方程 (2) 试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 第 11 页 / 共 12 页 4、(2018 苏州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为 3( 21) (1) 求

17、椭圆 C 的标准方程； (2) 已知过点 M(0，1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试判断以线段 AB 为直径的圆是否恒过 定点，并说明理由 5、(2019 镇江期末）已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长为 4，两准线间距离为 4 2.设 A 为椭圆 C 的左 顶点，直线 l 过点 D(1，0)，且与椭圆 C 相交于 E，F 两点 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若AEF 的面积为 10，求直线 l 的方程； (3) 已知直线 AE，AF 分别交直线 x3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 Q，设直线 l 和 QD 的斜率分 别为 k(k0)，k，求证：kk为定值 6、(2019 苏锡常镇调研（一） ）已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，焦点到相应准线的距离为 3 3 . (1) 求椭圆 E 的标准方程； (2) 已知 P(t，0)为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1和 l2，直线 l1和 l2分别交椭圆 E 于点 A，B 和点 C，D，且 l1和 l2的斜率分别为定值 k1和 k2，求证：PAPB PCPD为定值 第 12 页 / 共 12 页