考点20 数列的综合运用 （学生版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 10 页 考点考点 20 数列的综合运用数列的综合运用 1、掌握数列求和以及数列通项的一些常用的方法和技巧掌握数列求和以及数列通项的一些常用的方法和技巧 2、掌握数列与不等式、函数的综合性问题的解决策略掌握数列与不等式、函数的综合性问题的解决策略 3、掌握数列有关的证明以及参数掌握数列有关的证明以及参数 4、掌握与数列有关的定义型问题掌握与数列有关的定义型问题 5、纵观全国或者各地区的高考试题，数列的地位尤为突出，在许多地区出现在压轴题的位置，所涉及的知纵观全国或者各地区的高考试题，数列的地位尤为突出，在许多地区出现在压轴题的位置，所涉及的知 识点和题型主要为：识点和题型

2、主要为：1、数列与不等式、函数的综合性问题，、数列与不等式、函数的综合性问题，2、数列有关的证明以及含参问题，、数列有关的证明以及含参问题，3、与数列、与数列 有关的定义型问题有关的定义型问题 数列在高考中主要体现在中档题和压轴题中，中档题主要考察数列的基本量等问题，压轴题体现在数列在高考中主要体现在中档题和压轴题中，中档题主要考察数列的基本量等问题，压轴题体现在 1 1、数列、数列 与不与不等式、函数的综合性问题，等式、函数的综合性问题，2 2、数列有关的证明以及含参问题，、数列有关的证明以及含参问题，3 3、与数列有关的定义型问题等问题中，、与数列有关的定义型问题等问题中， 因此在平时因此

3、在平时复习中复习中掌握常见题型的解题思路。掌握常见题型的解题思路。 1、 【2018 年高考江苏卷】已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将AB的所有 元素从小到大依次排列构成一个数列 n a记 n S为数列 n a的前 n 项和，则使得 1 12 nn Sa 成立的 n 的最小值为_ 2、 【2020 年全国 2 卷】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 12n a aa 满足 0,1(1,2,) i ai ， 且存在正整数m，使得 (1,2,) i mi aa i 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 (1,2,) i mi aa i 的最

4、考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 10 页 小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的 0-1 序列 12n a aa， 1 1 ( )(1,2,1) m ii k i C ka akm m 是 描述其性质的重要指标，下列周期为 5的 0-1 序列中，满足 1 ( )(1,2,3,4) 5 C kk的序列是（ ） A. 11010 B. 11011 C. 10001 D. 11001 3、 【2020 年北京卷】.已知 n a是无穷数列给出两个性质： 对于 n a中任意两项,() ij a a ij ，在 n

5、 a中都存在一项 m a，使 2 i m j a a a ； 对于 n a中任意项(3) n a n，在 n a中都存在两项,() kl a a kl使得 2 k n l a a a ()若 (1,2,) n an n，判断数列 n a是否满足性质，说明理由； ()若 1 2(1,2,) n n an ，判断数列 n a是否同时满足性质和性质，说明理由； ()若 n a是递增数列，且同时满足性质和性质，证明： n a为等比数列. 4、 【2020 年江苏卷】.已知数列 * () n anN的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设 与 k是常数，若对一切正整 数 n，均有 111 11 kkk

6、nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a是“1”数列，求 的值； （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，且 an0，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a为“3”数列，且 an0?若存在，求 的取值范围；若不 存在，说明理由， 5、 【2020 年天津卷】已知 n a为等差数列， n b为等比数列， 11543543 1,5,4abaaabbb 第 3 页 / 共 10 页 （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n a的前n项和为 n S，求证： 2* 21nnn S SSn N； （）对任意的正整数n，设

7、2 1 1 32 , ,. nn nn n n n ab n a a c a n b 为奇数 为偶数 求数列 n c的前2n项和 6、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 7、 【2019 年高考北京卷理数】已知数列an，从中选取第 i1项、第 i2项、第 im项（i1i2im）， 若 12m iii aaa ，则称新数列 12m iii aaa， ， 为an的长度为 m 的递增子列规定：数列an

8、的任 意一项都是an的长度为 1 的递增子列 （1）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列； 第 4 页 / 共 10 页 （2）已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 0 m a ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值 为 0 n a 若 pq，求证： 0 m a 0 n a ； （3）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为 s 的递增子列末项的最 小值为 2s1，且长度为 s 末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1个（s=1，2，），求数列an的通项公式 8、 【2019 年高考天津卷理数】设 n a是等差数列， n b

9、是等比数列已知 112233 4,622,24abbaba， （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22 ,2 , 1, , kk n k k c n c b n 其中 * kN （i）求数列 22 1 nn ac的通项公式； （ii）求 2 * 1 n ii i acn N 9、 【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1）已知等比数列an()n N满足： 245132 ,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”； （2）已知数列bn()n N满足:1 1 122 1, nnn b Sbb ，其中 Sn为

10、数列bn的前 n 项和 第 5 页 / 共 10 页 求数列bn的通项公式； 设 m 为正整数，若存在“M数列”cn()n N，对任意正整数 k，当 km 时，都有 1kkk cbc 剟成 立，求 m 的最大值 10、【2019 年高考浙江卷】设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每个 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列 （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a cn b N 证明： 12+ 2,. n cccn n N 11、 【2018 年高考全国 II 卷理数】记 n S为等差数列

11、n a的前n项和，已知 1 7a ， 3 15S （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S，并求 n S的最小值 题型一、数列中的证明或不等式问题 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 10 页 1、 （2020 浙江温州中月高考模拟）已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 1nnn aSS （*nN，且2n） （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：当2n时， 123 11113 232 n aaana 2、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列 n a满足 1 1a ， 2 3a ，正项数列 n b 满足1 n n

12、n b an a ，且 n b是公比为 3 的等比数列. （1）求 5346 ,a a a a及 n a的通项公式； （2）设 n S为 n a的前n项和，若2019 n S 恒成立，求正整数n的最小值 0 n. 3、 （2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设 n S是等差数列 n a的前n项和，其中 1 1a ，且 * 1 n n n S an a N . （）求的值，并求出数列 n a的通项公式； （）设 3 n n n a b ，求证： 12 1 3 n bbb. 第 7 页 / 共 10 页 4、 （2020 届浙江省台州市温岭中月模拟）数列 n a中， 1 1a ， 2 1 4

13、 a ，且 * 1 1 ,2 n nn an nNn ana . 1令 * 1 11 ,2 (1) nn f nnNn nana ，将 f n用n表示，并求 n a通项公式； 2令 222 12nn Taaa，求证： 7 6 n T . 5、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知各项均为正数的数列 n a的前 n 项和满足1 n S ， 且 * 6(1)(2), nnn SaanN （1）求 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足(21)1 n b n a，并记 n T为 n b的前 n 项和，求证： * 2 31log (3), nn TanN 题型二、数列中的参数

14、问题 1、 （2020 届浙江省温州市高三 4 月二模）已知数列 n a满足： 121 25 1,6 n n n a a aan *nN)若正 整数5k k 使得 222 1212kk aaaa aa成立，则k （ ） A16 B17 C18 D19 2、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知数列 n a满足 1 1a ， 2 1 21 nnnn aaaa ，则使得 第 8 页 / 共 10 页 2020 am最小的整数m是（ ） A65 B64 C63 D62 3、 （2020 浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知数列 n a满足： 1 aa， 1 58 1 n n n a

15、anN a ， 若对任意的正整数n，都有3 n a ，则实数a的取值范围（ ） A0,3 B3, C3,4 D4, 4、 （2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 12 12 2 3 a a aa ， 且 3 4S， 4 3S， 5 2S成等差数列，则满足不等式 4039 2020 n n S a 的n的最小值为_. 5、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列 n a的前 n 项和为 254 ,12,16 n S aaS (1)求 n a的通项公式； (2)数列 n b满足 1 41 nn n bT S ， 为数列 n b的前

16、n 项和，是否存在正整数 m，1kmk，使得 2 3 km TT?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由 6、 （2020 届山东实验中学高三上期中）设正项数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 2 4=+2 nnn SaanN (1)求证：数列 n a是等差数列，并求其通项公式 (2)设数列 n b的前 n 项和为 n T，且 1 4 n nn b aa ，若12 n n Tn 对任意nN都成立，求实数的 取值范围. 第 9 页 / 共 10 页 7、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，且对任意的nN*，都有 21 32 n

17、nn aaa . （）证明数列 +1nn aa是等比数列，并求数列 n a的通项公式； （）设 1 2n n nn b a a ，记数列 n b的前n项和为 n S，若对任意的nN*都有 1 n n Sm a ，求实数m的取 值范围. 题型三、数列中的新定义型问题 1、 （江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三 9 月月考）若无穷数列 n a满足：只要 * ( ,) pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a具有性质P. （1）若 n a具有性质P，且 1245 1,2,3,2aaaa， 678 21aaa，求 3 a； （2）若无穷数列 n b是等差数列，无穷数

18、列 n c是公比为正数的等比数列， 15 1bc， 51 81bc， nnn abc判断 n a是否具有性质P，并说明理由； （3）设 n b是无穷数列，已知 * 1 sin() nnn aba nN .求证：“对任意 1,n aa都具有性质P”的充要条 件为“ n b是常数列”. 第 10 页 / 共 10 页 2、 （2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）如果无穷数列an满足条件： 2 1 2 nn n aa a ； 存在实数 M，使得 anM，其中 nN*，那么我们称数列an为 数列. （1）设数列bn的通项为 bn20n2n，且是 数列，求 M 的取值范围； （2）设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前 n 项和，c3 1 4 ，S3 7 4 ，证明：数列Sn是 数列； （3）设数列dn是各项均为正整数的 数列，求证：dndn1.