考点09 导数的综合应用（学生版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 9 页 考点考点 09 导数的综合应用导数的综合应用 1、运用导数研究函数的零点问题 2、运用导数研究函数的恒成立问题 3、运用导数研究实际应用题 4、运用导数研究定义型问题 近几年各地对导数的考查逐步增加，选择、填空以及大题均有考查，难度也逐步增加，对于压轴题重点考 查 1、通过导数研究函数的零点、恒成立问题等问题。 2、利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对 函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结 合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这 是近

2、几年江苏高考命题的趋势 在高考复习中要注意以下几点： 1、注意函数零点的判断，以及函数恒成立问题的解题策略。 2、导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值 范围；第二步：构建函数，将实际问题转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步： 将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要 积累常见函数模型如分式函数、三次函数、三角函数等知识点模块的结合。 考纲要求考纲要求 近三年高近三年高考情况分析考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 9 页 1、 【2019 年高考天津理数】 已知

3、aR， 设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 2、【2019 年高考浙江】已知, a bR，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x 若函数 ( )yf xaxb 恰有 3 个零点，则 Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 3、 【2020 年江苏卷】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN上、 桥AB与 MN平行， OO为铅垂线(O 在 AB上).经测量， 左侧曲线

4、AO上任一点D到 MN的距离 1 h(米) 与D到 OO 的距离a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ； 右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h(米)与F到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .已知点 B到 OO的距离为 40 米. （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? 第 3 页 / 共 9

5、页 4、 【2020 年江苏卷】.已知关于 x 的函数( ),( )yf xyg x与( )( ,)h xkxb k bR在区间 D上恒有 ( )( )( )f xh xg x （1）若 22 2 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( )( )( )(0) xxgkxhkxk Df xxx ，求 k的取值范围； （3）若 422242 ( ) 2( ) (48 ( ) 4 3 0)2 2f xxxg xxh xtt xttt， , 2, 2Dm n ， 求 证：7nm 5、 【2020 年全国 3 卷】设函数 3 ( )f xxbxc，曲线 (

6、)yf x 在点( 1 2 ，f( 1 2 )处的切线与 y轴垂直 （1）求 b （2）若 ( )f x有一个绝对值不大于 1的零点，证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于 1 6、 【2020 年天津卷】.已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR，( )fx 为 ( )f x的导函数 （）当6k 时， （i）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （ii）求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值； （）当3k时，求证：对任意的 12 ,1,)xx ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 第 4 页 / 共 9

7、 页 7、 【2020 年浙江卷】.已知12a，函数 e x f xxa ，其中 e=2.71828为自然对数的底数 （）证明：函数 yf x在(0 )， 上有唯一零点； （）记 x0为函数 yf x在(0)， 上的零点，证明： （） 0 12(1)axa ； （） 0 0 (e )(e 1)(1) x x faa 8、【2019 年高考全国卷理数】已知函数( )sin ln(1)f xxx ，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 9、【2019 年高考全国卷理数】已知函数 1 1 ln x

8、f xx x . （1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点； 第 5 页 / 共 9 页 （2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 exy 的切线. 10、【2019 年高考天津理数】设函数( )e cos ,( ) x f xxg x为 f x的导函数 （）求 f x的单调区间； （）当, 4 2 x 时，证明( )( )0 2 f xg xx ； （ ）设 n x为 函 数( )( )1u xfx在 区间2,2 42 nn 内 的零 点， 其中nN， 证 明 2 00 2 2sinc s e o n n n

9、x xx 11、【2018 年高考全国卷理数】已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，证明： 12 12 2 f xf x a xx 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 9 页 题型一、零点问题 1 、 （ 北 京 市 昌 平 区 2019 年 高 三 月 考 ） 已 知 函 数 ( )f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 满 足 2 (01), 2 ( ) 1( 1) x x xx f x x x e ，若函数 ( )( )F xf xm 有 6 个零点，则实数m的取值范围是

10、A 2 11 (,) 16 e B 2 11 (,0)(0,) 16e C 2 1 0, e D 2 1 0,) e 2、 （北京市门头沟区 2019 年高三年级月考 ） 函数 2 21f xxexm ， 函数 2 0 e g xxx x ， （其中e为自然对数的底数， 2.718e ）若函数 h xf xg x 有两个零点，则实数m取值范围为 （ ） A 2 21mee B 2 21mee C 2 21mee D 2 21mee 3、 （2020 届浙江省台州市温岭中月模拟）已知函数 2 ,()f xxaxb a bR在区间2,3上有零点，则 2 aab的取值范围是（ ） A,4 B 81

11、, 8 C 81 4, 8 D 81, 8 4、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数 2,0 ( ) (1),0 x x emxm x f x exx （e 为自然对数的 底） ，若( )( )()F xf xfx=+-且( )F x有四个零点，则实数 m 的取值可以为（ ） A1 Be C2e D3e 5、 （2020 届山东实验中学高三上期中） 设定义在R 上的函数 f x满足 2 fxf xx， 且当0 x时， fxx .己知存在 2 2 0 11 11 22 xx f xxfxx ，且 0 x为函数 第 7 页 / 共 9 页 x g xeexa(,aR e为自然对

12、数的底数)的一个零点，则实数a的取值可能是（ ） A 1 2 B 2 e C 2 e D e 6、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）关于函数 2 lnf xx x ，下列判断正确的是（ ） A2x是 f x的极大值点 B函数( ) yf xx=- 有且只有 1 个零点 C存在正实数k，使得 f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 f xf x，则 12 4xx. 7、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）已知函数 2ln1f xx， g xa xm，若存在实数0a使 yf xg x在 1 e e , 上有 2 个零点，则m的取值范围为_ 8

13、、 （2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测）若函数 3 ( )|2|f xxaxx，0 x存在零 点，则实数 a 的取值范围为_ 9、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末） 已知函数 212lnf xaxx.若函数 f x在 1 0, 2 上无零点，则a的最小值为_. 10、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知函数 22 13 ( )ln2 24 f xxaxxaxx ，其中0ae. （1）求函数 ( )f x的单调区间； （2）讨论函数 ( )f x零点的个数； （3）若 ( )f x存在两个不同的零点 12 ,x x，求证： 2 12 x xe. 第 8

14、页 / 共 9 页 题型二 恒成立问题 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）设函数 f x在定义域(0，+)上是单调函数， 0, x xff xexe ，若不等式 f xfxax 对0,x恒成立，则实数 a 的取 值范围是_ 2、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）设函数 ln 1f xaxbx， 2 g xf xbx. （1）若1a ，1b，求函数 f x的单调区间； （2）若曲线 ( ) yg x=在点1,ln3处的切线与直线1130 xy平行. 求a，b的值； 求实数3k k 的取值范围，使得 2 g xk xx对0,x恒成立. 3、 （2020 浙江温州中月高考模拟）已

15、知 2 ( )2ln(2)(1)( )(1)f xxxg xk x，. （1）求 ( )f x的单调区间； （2）当2k 时，求证：对于1x ，( )( )f xg x恒成立； （3）若存在 0 1x ，使得当 0 ( 1,)xx 时，恒有( )( )f xg x成立，试求k的取值范围. 第 9 页 / 共 9 页 题型三 实际应用问题 1、(2019 南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”， 对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了 一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空

16、气质量指数近似满足函数 f(x) mlnxx 600 x x21446(4x22， mR)， 其中 x 为每天的时刻， 若凌晨 6 点时， 测得空气质量指数为 29.6. (1) 求实数 m 的值； (2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 2、(2019 苏州三市、苏北四市二调）图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图 ，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M.已知 HM5 m，BC10 m，梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH 0 4 . (1) 求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比， 比例系数为 k(k 为正的常数)， 下部主体造价与其高度成正比， 比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？ ,)