考点33 离散型随机变量的概率(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 23 页 考点考点 33 离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率 1、会求离散型随机变量的概率; 2、了解超几何分布及其导出过程,并能进行简单运用; 3、理解 N 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际应用; 理解离散型随机变量的均值与方差,会根据离散型随机变量的概率分布求出期望与方差 离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型,去年竟有解答题作为压轴题,常与排列、 组合、概率等知识综合命题以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用, 注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查,是高考的主要命题方向 1、随机变量及时描述
2、随机事件的数学模型,也是随机现象的思想方法,它的引入使我们能够 运用分析的方法研究概率问题。 2、超几何分布、二项分布,n 次独立重复试验是概率分布中十分重要的概率模型,学会概率 首先应正确理解和把握这几个重要的模型。 3、在考查随机变量的概率分布、数学期望与方差时往往与排列、组合相结合,因此要掌握排 列组合灯相关知识。 1、 【2019 年高考浙江卷】设 0a1,则随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当 a 在(0,1)内增大时, 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 23
3、页 A ()D X增大 B()D X减小 C ()D X先增大后减小 D()D X先减小后增大 【答案】D 【解析】方法 1:由分布列得 1 () 3 a E X , 则 2222 111111211 ()(0)()(1)() 333333926 aaa D Xaa , 则当a在(0,1)内增大时,()D X先减小后增大故选 D 方法 2:则 222 22 1(1)222213 ()()()0() 3399924 aaaa D XE XE Xa , 则当a在(0,1)内增大时,()D X先减小后增大故选 D 2、 【2018 年高考全国卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员
4、的支付方式相互 独立,设X为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,2.4DX ,(4)(6)P XP X,则p A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 【答案】B 【解析】()(1)D Xnpp,0.4p 或0.6p , 446664 1010 (4)C(1)(6)C(1)P XppP Xpp, 22 (1)pp,可知 0.5p ,故0.6p 故选 B 3、 【2018 年高考浙江卷】设0 1p ,随机变量 的分布列是 0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在(0,1)内增大时, AD()减小 BD()增大 CD()先减小后增大 DD()先增大后减小 【答案】D 第 3
5、页 / 共 23 页 【解析】, ,先增大后 减小,故选 D 4、 【2020 年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2,n,且 1 ()0(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ,定义 X 的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp . A若 n=1,则 H(X)=0 B若 n=2,则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C若 1 (1,2, ) i pin n ,则 H(X)随着 n 的增大而增大 D若 n=2m,随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m,且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm ,则 H(X)H(
6、Y) 【答案】AC 【解析】对于 A 选项,若1n ,则 1 1,1ip,所以 2 1 log 10H X ,所以 A 选项正确. 对于 B 选项,若2n,则1,2i , 21 1pp , 所以 121121 log1log1H Xpppp , 当 1 1 4 p 时, 22 1133 loglog 4444 H X , 当 1 3 p 4 时, 22 3311 loglog 4444 H X , 两者相等,所以 B 选项错误. 对于 C 选项,若 1 1,2, i pin n ,则 222 111 logloglogH Xnn nnn , 则H X随着n的增大而增大,所以 C 选项正确. 对
7、于 D 选项,若2nm,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m,且 21jmj P Yjpp (1,2,jm). 第 4 页 / 共 23 页 22 22 11 1 loglog mm iii ii i H Xppp p 122221222 12212 1111 loglogloglog mm mm pppp pppp . H Y 122221212 122211 111 logloglog mmmm mmmm pppppp pppppp 122221222 1222122112 1111 loglogloglog mm mmmm pppp pppppppp 由于 01,2,2 i pim,所
8、以 21 11 iimi ppp ,所以 22 21 11 loglog iimi ppp , 所以 22 21 11 loglog ii iimi pp ppp , 所以 H XH Y,所以 D 选项错误. 故选:AC 5、 【2020 年高考浙江】盒中有 4 个球,其中 1 个红球,1 个绿球,2 个黄球从盒中随机取球,每次取 1 个, 不放回,直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为,则 (0)P_,( )E_ 【答案】 1 3 ,1 【解析】因为0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球, 所以 1111 (0) 4433 P, 随机变量0,1,2, 212111211 (
9、1) 434324323 P, 111 (2)1 333 P , 所以 111 ( )0121 333 E . 故答案为: 1 ;1 3 . 6、 【2019 年高考全国卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该 队获胜,决赛结束) 根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场 取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是 第 5 页 / 共 23 页 _ 【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论,即前五场甲队获胜的两种情况,应用独立事件的概率的计算公式求 解题目有一定的难度,注
10、重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【解析】前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4:1获胜的概率是 3 0.60.5 0.5 20.108,前 四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4:1获胜的概率是 22 0.4 0.60.520.072,综上所述, 甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q 7、 【2020 年高考全国卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其 中一人
11、被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 , (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 【解析】(1)甲连胜四场的概率为 1 16 (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 1 16 ; 乙连胜四场的概率为 1 16 ; 丙上场后连胜三场的概率为 1 8 所以需要进行第五场比赛的概率为 1113 1 161684 (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 1 8 比赛五场结束且丙最终获胜,则
12、从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜 胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 1 16 , 1 8 , 1 8 第 6 页 / 共 23 页 因此丙最终获胜的概率为 11117 8168816 8、 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当某局打成 10:10 平后,每球交换 发球权,先多得 2 分的一方获胜,该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平后,甲先发球, 两人又打了 X 个球该局比赛结束 (1)求 P(X=2) ;
13、 (2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率 【答案】 (1)0.5; (2)0.1 【解析】 (1)X=2就是1010平后,两人又打了2个球该局比赛结束, 则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分 因此P(X=2)=0.5 0.4+(10.5) (10.4)=0.5 (2)X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束, 且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分 因此所求概率为0.5 (10.4)+(10.5) 0.4 0.5 0.4=0.1 9、 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为 2 3 假定甲、 乙
14、两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立 (1)用X表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的 天数恰好多 2” ,求事件M发生的概率 【解析】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为 2 3 , 故 2 (3, ) 3 XB,从而 3 3 21 ()C ( ) ( ),0,1,2,3 33 kkk P Xkk 所以,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4
15、9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X (2)设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y, 则 2 (3, ) 3 YB,且3,12,0MXYXY 第 7 页 / 共 23 页 由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥, 且事件3X 与1Y ,事件2X 与0Y 均相互独立, 从而由(1)知()(3,12,0)P MPXYXY (3,1)(2,0)P XYP XY (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y 824120 279927243 10、 【2018 年高考全国卷理数】某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要 对产
16、品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根 据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp,且各 件产品是否为不合格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点 0 p (2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 0 p作为p的值已知每件 产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
17、 (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 【解析】 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2218 20 ( )C(1)f ppp 因此 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp 令( )0fp ,得0.1p , 当(0,0.1)p时,( )0fp ;当(0.1,1)p时,( )0fp 所以( )f p的最大值点为 0 0.1p (2)由(1)知,0.1p (i)令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数, 依题意知(180,0.1)YB:,20 2 25XY ,即4
18、025XY 所以(4025 )4025490EXEYEY 第 8 页 / 共 23 页 (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于400EX ,故应该对余下的产品作检验 11、 【2019 年高考全国卷理数】为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为 此进行动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选一 只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠 比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题,约 定:对于每轮试验,若
19、施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得1分;若施 以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得1分;若都治愈或都未治愈则两种药 均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 X (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分,(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时,最终认为 甲药比乙药更有效”的概率,则 0 0p , 8 1p , 11iiii papbpcp (1,2,7)i ,其中 (1)aP X ,(0)bP X ,(1)cP X假设0.5,0.8 (i)证明: 1 ii pp (
20、0,1,2,7)i 为等比数列; (ii)求 4 p,并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1 (1)(1)P X ,(0)(1)(1)P X,(1)(1)P X, 所以X的分布列为 X 1 0 1 P (1) (1)(1) (1) (2) (i)由(1)得0.4,0.5,0.1abc 因此 11 0.40.5 0.1 iiii pppp ,故 11 0.1()0.4() iiii pppp , 即 11 4() iiii pppp 又因为 101 0ppp, 所以 1 (0,1,2,7) ii ppi 为公比为 4,首项为 1 p的等比数列 第 9
21、页 / 共 23 页 (ii)由(i)可得 88776100 pppppppp 877610 ()()()pppppp 8 1 41 3 p 由于 8=1 p,故 1 8 3 41 p , 所以 4 4433221101 ( 411 () 32 7 )( 5 ()pppppppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的概率, 由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5,乙药治愈率为 0.8 时, 认为甲药更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p , 此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理 12、 【2018 年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表
22、: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“1 k ”表示第 k 类电影 得到人们喜欢, “0 k ” 表示第 k 类电影没有得
23、到人们喜欢 (k=1, 2, 3, 4, 5, 6) 写出方差 1 D, 2 D, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D的大小关系 【解析】 (1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000, 第四类电影中获得好评的电影部数是 200 0.25=50 故所求概率为 50 0.025 2000 (2)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 第 10 页 / 共 23 页 故所求概率为 P(AB AB )=P(AB)+P(AB) =P(A) (1P(B) )+(1P(A) )P(B)
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