考点27 椭圆的综合问题 （教师版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 34 页 考点考点 27 椭圆的综合问题椭圆的综合问题 1、掌握直线与椭圆的关系，能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题 2、掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略 3、掌握圆锥曲线中定点、定值等问题 解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线 与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问 题时,要充分利用方程的思想、 数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外, 这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因

2、为难于实施，就是因为实施起来运 算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要从思想方法层面讲，解析几何主要有两种 方法：一是设线法；二是设点法此题的两种解法分属于设点法和设线法一般地，设线法是比较顺应题 意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强， 但运用得好，解题过程往往会显得很简捷解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算 量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利 1、 【2017 年高考全国理数】已知椭圆 C： 22 22 0)1( xy ab ab的左、右顶点分别为 A1，A2，且以

3、线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 34 页 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】以线段 12 A A为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为ra，圆的方程为 222 xya， 直线20bxayab与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 22 2ab da ab ，整理可得 22 3ab，即 222 3()aac即 22 23ac， 从而 2 2 2 2 3 c e a ，则椭圆的离心率 26 33

4、c e a ，故选 A 2、 【2018 年高考浙江卷】已知点 P(0，1)，椭圆 2 4 x +y2=m(m1)上两点 A，B 满足AP=2PB，则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大 【答案】5 【解析】设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 由 2APPB 得 12 2xx， 12 12(1)yy， 所以 12 23yy， 因为A，B在椭圆上，所以 2 2 1 1 4 x ym， 2 2 2 2 4 x ym， 所以 2 2 2 2 4 (23) 4 x ym， 所以 2 2 4 x 2 2 3 24 () m y ， 与 2 2 2 2 4 x ym对应相减得 2

5、3 4 m y ， 22 2 1 (109)4 4 xmm ， 当且仅当5m时取最大值 3、【2019 年高考天津卷理数】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 5 5 第 3 页 / 共 34 页 （1）求椭圆的方程； （2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负 半轴上若| |ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 【解析】（1） 设椭圆的半焦距为c， 依题意， 5 24, 5 c b a ， 又 222 abc， 可得5a ， 2,b 1c 所以，椭圆的方程为 22

6、 1 54 xy （2）由题意，设0 ,0 PPpM P xyxM x，设直线PB的斜率为0k k ， 又0,2B，则直线PB的方程为2ykx， 与椭圆方程联立 22 2, 1, 54 ykx xy 整理得 22 45200kxkx ， 可得 2 20 45 P k x k ，代入2ykx得 2 2 8 10 45 P k y k ， 进而直线OP的斜率 2 45 10 P p yk xk 在2ykx中，令0y ，得 2 M x k 由题意得0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k 由OPMN，得 2 45 1 102 kk k ，化简得 2 24 5 k ，从而 2 30 5 k 所以，直线

7、PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 4、 【2020 年北京卷】.已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点 ( 2, 1)A ，且2ab （）求椭圆 C的方程： （） 过点( 4,0)B 的直线 l交椭圆 C于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x于点,P Q 求 | | PB BQ 的值 第 4 页 / 共 34 页 【解析】(1)设椭圆方程为： 22 22 10 xy ab ab ，由题意可得： 22 41 1 2 ab ab ，解得： 2 2 8 2 a b ， 故椭圆方程为： 22 1 82 xy . (2)设 11 ,M x y， 22 ,N x y，直线MN的

8、方程为：4yk x， 与椭圆方程 22 1 82 xy 联立可得： 2 22 448xkx， 即： 2222 41326480kxk xk， 则： 22 1212 22 32648 , 4141 kk xxx x kk . 直线 MA的方程为： 1 1 1 12 2 y yx x ， 令4x可得： 11 11 1111 4121412 212 2222 P k xkxyx y xxxx ， 同理可得： 2 2 214 2 Q kx y x . 很明显 0 PQ y y ，且： P Q PBy PQy ，注意到： 1221 12 1212 424244 2121 2222 PQ xxxxxx y

9、ykk xxxx ， 而： 12211212 4242238xxxxx xxx 22 22 64832 238 4141 kk kk 222 2 6483328 41 20 41 kkk k ， 故 0, PQPQ yyyy . 第 5 页 / 共 34 页 从而1 P Q PBy PQy . 5、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右

10、准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 【解析】 （1）椭圆E的方程为 22 1 43 xy 1 1,0F , 2 1,0F 由椭圆定义可得： 12 4AFAF. 12 AFF 的周长为426 （2）设 0,0 P x，根据题意可得 0 1x . 点A在椭圆E上，且在第一象限， 212 AFFF 3 1, 2 A 准线方程为4x4, Q Qy 2 00000 ,04,4244 Q OP QPxxyxxx ，当且仅当 0 2x 时取等号. OP QP的最小值为4. （3）设 11 ,

11、M x y，点M到直线AB的距离为d. 3 1, 2 A ， 1 1,0F 直线 1 AF的方程为 3 1 4 yx 点O到直线AB的距离为 3 5 ， 21 3SS 第 6 页 / 共 34 页 21 131 33 252 SSABAB d 9 5 d 11 3439xy 22 11 1 43 xy 联立解得 1 1 2 0 x y ， 1 1 2 7 12 7 x y . 2,0M或 212 , 77 . 6、 【2020 年全国 1 卷】0.已知 A、B分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1）的左、右顶点，G为 E 的上顶点， 8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA

12、与 E 的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点. 【答案】 （1） 2 2 1 9 x y； （2）证明详见解析. 【解析】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得： ,0Aa， ,0B a，0,1G ,1AGa，, 1GBa 2 18AG GBa ， 2 9a 第 7 页 / 共 34 页 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2）证明：设 0 6,Py， 则直线AP的方程为： 0 0 3 63 y yx ，即： 0 3 9 y yx 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 2 2 0

13、 1 9 3 9 x y y yx ，整理得： 2222 000 969810yxy xy ，解得：3x或 2 0 2 0 327 9 y x y 将 2 0 2 0 327 9 y x y 代入直线 0 3 9 y yx可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . 同理可得：点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy 直线CD的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得： 2 22 0

14、0 0000 222 42 000 00 83 233833 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得： 000 2 22 0 00 4243 323 33 3 yyy yxx yyy 故直线CD过定点 3 ,0 2 7、 【2020 年全国 2 卷】.已知椭圆 C1： 22 22 1 xy ab (ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心 与 C2的顶点重合.过 F 且与 x轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C 2于 C，D两点，且|CD|= 4 3 |AB|. 第 8 页 / 共 34 页 （1）求 C1的离心率； （2）设 M是 C1与 C

15、2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程. 【解析】 （1）,0F c，ABx轴且与椭圆 1 C相交于A、B两点， 则直线AB的方程为xc， 联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解得 2 xc b y a ，则 2 2b AB a ， 抛物线 2 C的方程为 2 4ycx，联立 2 4 xc ycx ， 解得 2 xc yc ，4CDc， 4 3 CDAB，即 2 8 4 3 b c a ， 2 23bac，即 22 2320caca，即 2 2320ee， 01e Q，解得 1 2 e ，因此，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ； （2）由（1）知2ac，3

16、bc，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ， 联立 2 22 22 4 1 43 ycx xy cc ，消去y并整理得 22 316120 xcxc， 解得 2 3 xc或6xc（舍去） ， 第 9 页 / 共 34 页 由抛物线的定义可得 25 5 33 c MFcc，解得3c . 因此，曲线 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 曲线 2 C的标准方程为 2 12yx. 8、【2020 年天津卷】 .已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A ， 右焦点为F， 且|O AO F， 其中O为原点 （）求椭圆方程； （）已知点

17、C满足3OC OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点） ，直线AB与以C为圆心的圆相切 于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 【解析】 （）椭圆 22 22 10 xy ab ab 的一个顶点为 0, 3A， 3b， 由OAOF，得3cb， 又由 222 abc，得 222 8313a ， 所以，椭圆的方程为 22 1 189 xy ； （）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB， 根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在， 设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为3ykx+ =，即3ykx， 22 3 1 189 ykx xy ，消去y，可得 22 21120kxkx，

18、解得 0 x或 2 12 21 k x k . 将 2 12 21 k x k 代入3ykx，得 2 22 1263 2121 3 k y kk k k ， 所以，点B的坐标为 2 22 1263 , 21 21 kk kk ， 第 10 页 / 共 34 页 因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0, 3， 所以点P的坐标为 22 63 , 21 21 k kk ， 由3OC OF ，得点C的坐标为1,0， 所以，直线CP的斜率为 2 2 2 3 0 3 21 6 261 1 21 CP k k kk k k ， 又因为CPAB，所以 2 3 1 261 k kk ， 整理得 2 2310kk

19、 ，解得 1 2 k 或1k . 所以，直线AB的方程为 1 3 2 yx或3yx. 9、 【2020 年浙江卷】.如图，已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy，抛物线 2 2: 2(0)Cypx p，点 A 是椭圆 1 C与抛 物线 2 C的交点，过点 A的直线 l交椭圆 1 C于点 B，交抛物线 2 C于 M（B，M不同于 A） （）若 1 16 p，求抛物线 2 C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l使 M为线段 AB的中点，求 p的最大值 【解析】 （）当 1 16 p时， 2 C的方程为 2 1 8 yx，故抛物线 2 C的焦点坐标为 1 (,0) 32 ； （）设 1122

20、00 ,:A x yB x yM x yI xym， 由 22 222 22 2220 xy ymym xym ， 第 11 页 / 共 34 页 12000 222 22 , 222 mmm yyyxym ， 由M在抛物线上，所以 222 222 2 4 4 22 2 mpmm p ， 又 2 22 2 2 ()220 ypx ypymyp ypm xym ， 01 2yyp， 2 1010 22xxymympm， 2 1 2 2 22 2 m xpm . 由 2 2 2 2 1 42,? 2 2 x y xpx ypx 即 2 420 xpx 2 2 1 4168 242 2 pp xpp

21、 2 222 22 18 242222816 2 p pppmppp ， 所以 2 4218pp， 2 1 160 p ， 10 40 p ， 所以，p的最大值为 10 40 ，此时 2 105 (,) 55 A. 法 2：设直线:(0,0)l xmyt mt， 00 ,A x y. 将直线l的方程代入椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy得： 222 2220mymtyt ， 所以点M的纵坐标为 2 2 M mt y m . 将直线l的方程代入抛物线 2 2: 2Cypx得： 2 220ypmypt， 所以 0 2 M y ypt ，解得 2 0 22p m y m ，因此 2 2 0 2 2

22、2p m x m ， 由 2 2 0 0 1 2 x y解得 22 2 122 42160mm pmm ， 第 12 页 / 共 34 页 所以当 10 2, 5 mt时， p取到最大值为 10 40 . 10、 【2020 年山东卷】.已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程： （2）点 M，N在 C上，且 AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值 【解析】(1)由题意可得： 22 222 3 2 41 1 c a ab abc ，解得： 222 6,3abc，故椭圆方程为： 22 1

23、63 xy . (2)设点 1122 ,M x yN x y. 因为 AMAN， 0AM AN ，即 1212 22110 xxyy, 当直线 MN的斜率存在时，设方程为ykxm,如图 1. 代入椭圆方程消去y并整理得： 222 12k4260 xkmxm 2 1212 22 426 , 1 21 2 kmm xxx x kk , 根据 1122 ,ykxm ykxm,代入整理可得： 2 2 1 212 k1 x2140 xkmkxxm 将代入， 2 2 2 22 264 k12140 1 21 2 mkm kmkm kk ， 整理化简得231 210kmkm, 2,1A （）不在直线MN上，

24、210km ， 23101kmk ， 于是 MN的方程为 21 33 yk x ， 第 13 页 / 共 34 页 所以直线过定点直线过定点 21 , 33 E . 当直线 MN 的斜率不存在时，可得 11 ,N xy,如图 2. 代入 1212 22110 xxyy得 2 2 12 210 xy , 结合 22 11 1 63 xy ,解得 11 2 2, 3 xx舍, 此时直线 MN过点 21 , 33 E , 由于 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边， 所以 AE 中点 Q 满足QD为定值（AE长度的一半 22 1214 2 21 2333 ）. 由于 21 , 3 2,

25、1 3 ,AE ，故由中点坐标公式可得 4 1 , 3 3 Q . 故存在点 4 1 , 3 3 Q ，使得|DQ|为定值. 二年模拟试题二年模拟试题 第 14 页 / 共 34 页 题型一、椭圆与圆的结合问题 1、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 已知 P 是椭圆 C： 2 2 1 6 x y上的动点， Q 是圆 D： 2 2 1 1 5 xy 上的动点，则（ ） AC 的焦距为5 BC 的离心率为 30 6 C圆 D 在 C 的内部 DPQ的最小值为 2 5 5 【答案】BC 【解析】 2 2 1 6 x y 6a ，1b 22 6 15cab ，则 C 的焦距为2 5， 530 6

26、6 c e a . 设, P x y（66x） ， 则 2 2 22 2 256441 111 665555 x xyxxPD ， 所以圆 D 在 C 的内部，且PQ的最小值为 415 555 . 故选：BC. 2、 （2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题）设 P，Q 分别是圆 2 2 62xy和椭 圆 2 2 1 10 x y上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( ) A5 2 B462 C6 2 D7 2 【答案】C 【解析】 圆 2 2 62xy的圆心为 M(0,6)，半径为 2， 第 15 页 / 共 34 页 设 00 ,Q x y，则 2 2 0 0 1

27、10 x y， 即 0 1,1y ， MQ 2 2 2 000 2 6509 3 xyy 0 ,?1,1y 当 0 y 2 3 时，5 2MQ 最大 ，故PQ的最大值为6 2. 故选 C. 3、 （2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，若斜率 为 1 的直线与椭圆M相切同时亦与圆 222 :()C xybb（b为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率 为e，则 2 e _ 【答案】 32 2 【解析】设切线方程为y xm ，代入椭圆方程可得： 22222222 20baxa mxa ma b. 因为相切 222 0,mab ，

28、 由直线y xm 与圆C相切，可得： | ,(12) 2 bm bmb ，或(12)b（舍去）. 则有 2222 (12) bab，因为 222 bac， 所以可得 222 32 (2 21)(2 22,) 2 ace . 故答案为： 32 2 . 4、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2. （1）求椭圆L的标准方程； （2）过点0,2Q的直线l与椭圆L交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方 程及AB的大小. 第 16 页 / 共 34 页 【答案】(1) 2 2 1 4 x y

29、(2) 22yx ， 4 65 17 AB . 【解析】 （1）由 2222 2 222 3 1 4 cabb e aaa 得 22 4ab， 又短轴长为 2 可得1b， 2 4a ， 椭圆L的标准方程为： 2 2 1 4 x y. （2）易知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的斜率为0k k ， 设直线l的方程为：2ykx，则联立 22 2 440 ykx xy ， 消元得： 22 4116120kxkx ， 222 16 1648 4116 430kkk ，即 2 3 4 k . 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 12 2 16 41 k xx k ， 12 2 12 41

30、xx k ， 由题意可知OA OB ， 0OA OB 即： 2 12121212 1240 xxyykxxk xx ， 2 2 22 12 1 32 40 1 41 4 k k kk ，解得 2 3 4 4 k ， 2 22 121212 114kxxkABxxx x 2 2 2 4 434 65 1 1 417 k k k . 综上：直线l的方程为：22yx ， 4 65 17 AB . 题型二、椭圆中的直线问题 1、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，1 ,0 ,1,0AB，设ABC的内切圆分 别与边,AC BC AB相切于点,P Q R，已知1CP ，记动点C的轨

31、迹为曲线E. 第 17 页 / 共 34 页 (1)求曲线E的方程; (2)过2,0G的直线与 y轴正半轴交于点S，与曲线 E 交于点 ,H HAx 轴，过S的另一直线与曲线E交 于MN、两点，若6 SMGSHN SS，求直线MN的方程. 【答案】 （1） 22 1(0) 43 xy y（2） 6 1 2 yx或 6 1 2 yx . 【解析】 (1)由内切圆的性质可知CPCQ，APAR，BQBR， CACBCPCQAPBQ 24CPABAB. 所以曲线E是以,A B为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点). 设曲线 22 22 :1(0,0) xy Eaby ab 则 1,24ca ，

32、即 222 2,3abac 所以曲线E的方程为 22 1(0) 43 xy y. (2)因为HAx轴，所以 3 1, 2 H ，设 0 0,Sy， 所以 0 3 2 23 y ，所以 0 1y ，则0,1S 因为2ac，所以2SGSH， 所以 1 sin 2 2 6 1 sin 2 SMG SMN SM SGMSG SMS SSN SN SHNSH 所以 3 SM SN ，所以 3SMSN 设 1122 , ,M x yNx y则 11 ,1SMx y 22 ,1SNxy，所以 12 3xx 第 18 页 / 共 34 页 直线MN斜率不存在时， MN方程为0 x 此时 31 23 3 1 S

33、M SN ，不符合条件舍去. 直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx. 联立 22 1 1 43 ykx xy ，得 22 34880,kxkx 所以 12 2 12 2 8 34 8 34 k xx k k xx k ， 将 12 3xx 代入得 2 2 2 2 2 8 34 8 3 34 k x k k x k ，所以 22 2 48 3 3434 kk kk . 所以 2 36 , 22 kk ， 所以直线MN的方程为 6 1 2 yx或 6 1 2 yx . 2、(2019 苏州期初调查）已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A，B，离心率为

34、1 2，点 P 1，3 2 为椭圆上一点 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN 的斜率为 k2，若 k12k2，求直线 l 斜率的值 规范解答 (1)因为椭圆的离心率为1 2，所以 a2c. 又因为 a2b2c2，所以 b 3c. 第 19 页 / 共 34 页 所以椭圆的标准方程为 x2 4c2 y2 3c21.(3 分) 又因为点 P 1，3 2 为椭圆上一点，所以 1 4c2 9 4 3c21，解得 c1.(5 分) 所以椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1.

35、(6 分) (2) 由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 ykx1. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 联立方程组错误错误! !消去 y 可得(34k2)x28kx80. 所以由根与系数关系可知 x1x2 8k 34k2，x1x2 8 34k2.(8 分) 因为 k1 y1 x12，k2 y2 x22，且 k12k2，所以 y1 x12 2y2 x22.(10 分) 即 y21 （x12）2 4y22 （x22）2. 又因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， 所以 y213 4(4x 2 1)，y 2 23 4(4x 2 2) 将代入可得：2x1 2x1 4

36、（2x2） 2x2 ，即 3x1x210(x1x2)120.(12 分) 所以 3 8 34k2 10 8k 34k2 120，即 12k220k30.(14 分) 解得 k1 6或 k 3 2，又因为 k1，所以 k 3 2.(16 分) 3、(2019 通州、海门、启东期末）如图，A 是椭圆x 2 4 y21 的左顶点，点 P，Q 在椭圆上且均在 x 轴上方， (1) 若直线 AP 与 OP 垂直，求点 P 的坐标； (2) 若直线 AP，AQ 的斜率之积为3 4，求直线 PQ 的斜率的取值范围 思路分析 第 1 问，由于点 A，O 已知，且 APPO，由此可得点 P 所满足的轨迹方程，再

37、根据点 P 在椭 圆上，就可以通过两个方程所组成的方程组求得点 P 的坐标 第 2 问，要研究直线 PQ 的斜率的取值范围，由于点 P、Q 与直线 AP，AQ 有关，因此，利用解方程组的 方法可以将点 P、Q 的坐标表示为直线 AP，AQ 的斜率的形式，进而将直线 PQ 的斜率表示为直线 AP，AQ 的 斜率的形式，利用 kAPkAQ3 4就可以利用基本不等式或利用消元法转化为单个变量的函数形式，通过函数求 得它的取值范围 (1) 设 P(x0，y0)，A(2，0)，则AP (x 0，y0)，OP (x 0，y0)，因为直线 AP 与 OP 垂直， 第 20 页 / 共 34 页 所以AP O

38、P0，即 x 0(x02)y200.(3 分) 得 x202x0y200. 又点 P 在椭圆上，所以x 2 0 4 y201. 由得 x02 3或2(舍去)，代入得 y0 2 2 3 . 因为点 P 在 x 轴上方，所以 P 2 3， 2 2 3 .(6 分) (2)由于直线 AP，AQ 的斜率之积为3 4，点 P，Q 在椭圆上且均在 x 轴上方 所以可设直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k23 4，k10，k20.所以直线 AP 的方程为 yk1(x 2) 联立 x 2 4 y21 yk1（x2） 得(4k211)x216k21x16k2140.(8 分) 设 P(x1，y

39、1)，Q(x2，y2)，则2x116k 2 14 4k211 ，即 x12（4k 2 11） 4k211 . 同理可得，x22（4k 2 21） 4k221 .(10 分) 所以直线PQ的斜率为k y1y2 x1x2 k1（x12）k2（x22） x1x2 k1 2（4k211） 4k211 2 k2 2（4k221） 4k221 2 2（4k211） 4k211 2（4k 2 21） 4k221 4k1（4k221）4k1（4k211） 2（4k221）（4k211）2（4k211）（4k221） 4（k2k1）（4k1k21） 16（k22k21） 4k1k21 4（k2k1） 1 2（k

40、2k1）.(12 分) 因为 k1k23 4，k10，k20. 所以 k1k22 k1k2 3，注意到，点 P，Q 不重合，所以重号不成立 所以 0 1 2（k2k1）b0)的两焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8，直线 l：yk(xm)(mR)与椭圆交于 P，Q 两点 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2. 若 m0，求 k1k2的值； 若 k1k21 4，求实数 m 的值 规范解答 (1)因为椭圆 C 的两个焦点间距离为 2，两准线间的距离为 2a 2 c8，所以 a2，c1，所以 b 2 3， 所以椭圆的方程为x

41、 2 4 y 2 3 1.(3 分) (2)设 P(x0，y0)，由于 m0，则 Q(x0，y0)， 由x 2 0 4 y20 3 1，得 y2033x 2 0 4 ，(5 分) 所以 k1k2 y0 x02 y0 x02 y20 x204 33x 2 0 4 x204 3 4.(8 分) 由(1)得 A(2，0) 解法 1 设 P(x1，y1)，设直线 AP 的方程为 AP：yk1(x2)， 联立 x 2 4 y 2 3 1， yk1（x2）， 消去 y，得(34k21)x216k21x16k21120，所以 xAx116k 2 112 34k21 ，(10 分) 所以 x168k 2 1

42、34k21， 代入 yk1(x2)得 y1 12k1 34k12， 所以 P 68k21 34k21， 12k1 34k21 .(12 分) 由 k1k21 4，得 k2 1 4k1，所以 Q 24k212 112k21， 12k1 112k21 .(13 分) 设 M(m，0)，由 P，Q，M 三点共线，得PM QM ， 即 12k1 34k21 24k212 112k21m 12k1 112k21 68k21 34k21m ， 化简得(m1)(16k214)0，所以 m1.(16 分) 解法 2 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 x 2 4 y 2 3 1， yk（xm），

43、消去 y，得(34k2)x28mk2x4m2k2120， 所以 x1x2 8mk2 34k2，x1x2 4m2k212 34k2 .(10 分) 而 k1k2 y1 x12 y2 x22 k（x1m） x12 k（x2m） x22 k2 x1x22（x1x2）4 1 4，(13 分) 第 22 页 / 共 34 页 化简得 k2（3m212） 4m2k216mk216k2 1 4，即 m 2k2mk22k20. 因为 k20，所以 m2m20，解得 m1 或 m2(舍去) 当 m1 时，0，所以，m1.(16 分) 题型三、椭圆中的最值问题 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆

44、 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，F是其右焦点， 直线y kx 与椭圆交于A，B两点，8AFBF. （1）求椭圆的标准方程； （2）设3,0Q，若AQB为锐角，求实数k的取值范围. 【答案】 （1） 22 1 164 xy （2） 35 10 k 或 35 10 k 【解析】 （1）设 1 F为椭圆的左焦点,连接 1 FB,由椭圆的对称性可知, 1 AFFB, 所以 1 28AFBFBFBFa,所以4a, 又 3 2 c e a , 222 abc ,解得2 3c ,2b , 所以椭圆的标准方程为 22 1 164 xy （2）设点 1122 ( ,), (,)A x

45、 yB xy,则 11 (3,)QAxy, 22 (3,)QBxy, 联立 22 1 164 xy ykx ,得 22 (41)160kx, 所以 12 0 xx, 12 2 16 41 x x k , 因为AQB为锐角,所以0QA QB, 所以 1212 (3)(3)QA QBxxy y 121 212 93()xxx xy y 2 1212 93()(1)xxkx x 第 23 页 / 共 34 页 2 2 16(1) 90 41 k k , 解得 35 10 k 或 35 10 k 2、(2019 无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)

46、的离心率为 3 2 ，且过点 3，1 2 ，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 PCD 面积的最大值 解答解答. (1) 由题意得： 3 a2 1 4b21 c a 3 2 a2b2c2 得 a24，b21，(4 分) 故椭圆 C 的标准方程为：x 2 4 y21.(5 分) (2) 由题意设 lAP：yk(x2)，1 2k0，所以 C(0，2k)， 由 yk（x2）， x2 4 y21， 消 y 得(14k2)x216k2x16k240，所以 xAxP16k 24 14k2 ， 由 xA2 得 xP28k 2 14k2，故 yPk(xP2) 4k 14k2， 所以 P 28k2 14k2， 4k 14k2 ，(8 分) 设 D