考点26 椭圆的基本量(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 26 椭圆的基本量椭圆的基本量 1. 掌握椭圆定义和几何图形 . 2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 . 3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 . 4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 . 高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质,主要考点椭圆的标准方 程、几何意义,特别是离心率的问题,考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。 椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解
2、答题 中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程 组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及 直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要 提别注意求椭圆的离心率等性质。 1、【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ,则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考考点总结点总结 第 2 页 / 共 18 页
3、【答案】B 【解析】椭圆的离心率 222 1 , 2 c ecab a ,化简得 22 34ab, 故选 B. 2、 【2017 年高考浙江卷】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】椭圆 22 1 94 xy 的离心率 945 33 e ,故选 B 3、 【2018 年高考全国理数】已知 1 F, 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab :的左、右焦点,A是C的左顶 点,点P在过A且斜率为 3 6 的直线上, 12 PFF 为等腰三角形, 12 120FF P,则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1
4、 3 D 1 4 【答案】D 【解析】因为 12 PFF为等腰三角形, 12 120FF P,所以 212 |2|PFFFc, 由AP的斜率为 3 6 可得 2 3 tan 6 PAF, 所以 2 1 sin 13 PAF , 2 12 cos 13 PAF, 由正弦定理得 22 22 sin sin PFPAF AFAPF , 所以 2 11 22 1313 = 531211 sin() 3 221313 c ac PAF , 第 3 页 / 共 18 页 所以4ac, 1 4 e ,故选 D 4、【2019 年高考全国卷理数】已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF(), (),过
5、F2的直线与 C 交于 A,B 两 点若 22 | 2|AFF B, 1 | |ABBF,则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFn BFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 AFB中,由余弦定理推论得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 12 AFF 中,由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn ,解得 3 2 n 222 242 3 ,3
6、,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ,故选 B 法二:由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFn BFABn, 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 12 AFF 和 12 BFF中,由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn , 又 2121 ,AF FBF F互补, 2121 coscos0AF FBF F,两式消去 2121 coscosAF FBF F,,得 第 4 页 / 共 18 页 22 3611nn,解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,
7、3 12,anabac 所求椭圆方 程为 22 1 32 xy ,故选 B 5、 【2020 年山东卷】.已知曲线 22 :1C mxny.( ) A. 若 mn0,则 C是椭圆,其焦点在 y轴上 B. 若 m=n0,则 C是圆,其半径为n C. 若 mn0,则 C是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 因为0mn,所以 11 mn ,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故 A 正确; 对于 B,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 xy n , 此时曲线C表示圆心在原点,半径为 n n 的圆,故 B 不正确;
8、对于 C,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 此时曲线C表示双曲线,由 22 0mxny可得 m yx n ,故 C正确; 对于 D,若0,0mn,则 22 1mxny可化为 2 1 y n , n y n ,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故 D 正确; 故选:ACD. 第 5 页 / 共 18 页 6、 【2019 年高考浙江卷】 已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方, 若线段PF 的中点在以原点O为圆心,OF为半径的圆上,则直线PF的斜率是_ 【答案】15 【解析】方法 1:如图,设 F1为椭圆右焦点.由题意可知|
9、=|2OFOM |=c=, 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM,设( , )P x y,可得 22 (2)16xy, 与方程 22 1 95 xy 联立,可解得 321 , 22 xx (舍) , 又点P在椭圆上且在x轴的上方,求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k. 方法 2: (焦半径公式应用)由题意可知|2OF |=|OM |=c=, 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM,即 3 4 2 pp aexx , 从而可求得 315 , 22 P ,所以 15 2 15 1 2 PF k. 7、 【2019 年高考全国卷理数】设 12 FF,为椭圆 C: 2
10、2 +1 3620 xy 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限. 若 12 MFF为等腰三角形,则 M 的坐标为_. 第 6 页 / 共 18 页 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc , 112 28MFFFc, 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy,则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy , 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ,解得 0 15y , 2 2 0 15 1 3620 x ,解得 0 3x ( 0 3x 舍去) , M的坐标为3, 15 8、 【2
11、020 年全国 3 卷】.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ,A,B分别为C的左、右顶 点 (1)求C的方程; (2)若点P在C上,点Q在直线6x上,且| | |BPBQ ,BPBQ,求APQ的面积 【答案】 (1) 22 16 1 2525 xy ; (2) 5 2 . 【解析】 (1) 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 5a,bm, 根据离心率 22 15 4 11 5 cbm e aa , 解得 5 4 m 或 5 4 m (舍), C的方程为: 22 2 1 4 25 5 xy ,即 22 16 1 2525 xy ; (2)不妨
12、设P,Q在 x轴上方 点P在C上,点Q在直线6x上,且| | |BPBQ ,BPBQ, 过点P作x轴垂线,交点为M,设6x与x轴交点为N 根据题意画出图形,如图 第 7 页 / 共 18 页 | |BPBQ ,BPBQ,90PMBQNB , 又90PBMQBN,90BQNQBN, PBMBQN ,根据三角形全等条件“AAS”, 可得:PMBBNQ, 22 16 1 2525 xy , (5,0)B ,6 51PMBN , 设P点为(,) PP xy,可得P点纵坐标为1 P y ,将其代入 22 16 1 2525 xy , 可得: 2 16 1 2525 P x , 解得:3 P x 或3 P
13、 x ,P点为(3,1)或( 3,1), 当P点为(3,1)时, 故5 32MB ,PMBBNQ,| | 2MBNQ, 可得:Q点为(6,2), 画出图象,如图 ( 5,0)A ,(6,2)Q , 第 8 页 / 共 18 页 可求得直线AQ的直线方程为:211100 xy, 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为: 22 2 3 11 1 1055 5125 211 d , 根据两点间距离公式可得: 22 65205 5AQ , APQ面积为: 155 5 5 252 ; 当P点为( 3,1)时,故5+38MB , PMBBNQ,| | 8MBNQ,可得:Q点为(6,8), 画出图象,
14、如图 ( 5,0)A ,(6,8)Q , 可求得直线AQ的直线方程为:811400 xy, 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为: 22 8311 1 405 5 185185 811 d , 根据两点间距离公式可得: 22 6580185AQ , APQ面积为: 155 185 22185 , 综上所述,APQ面积为: 5 2 . 二年模拟试题二年模拟试题 第 9 页 / 共 18 页 题型一题型一 椭圆的方程与离心率椭圆的方程与离心率 1、(北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年高三第一学期 12 月月考) ABC 的两个顶点坐标 A (-4, 0) , B(4,0)
15、,它的周长是 18,则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A B(y0) C D(y0) 【答案】D 【解析】 所以定点 的轨迹为以 A,B 为焦点的椭圆,去掉 A,B,C 共线的情况,即 ,选 D. 2、 (2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟)已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 1 F, 2 F,点A 是椭圆上位于x轴上方的一点,若直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ,且 11 2 AFFF,则椭圆的离心率为_ 【答案】 3 5 【解析】设 12 AFF,由直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ,知 sin4 2 tan cos7 ,且 22 sincos1, 即得
16、 7 cos 9 , 由 112 2AFFFc及椭圆定义知 21 222AFaAFac, 由余弦定理即可得, 222 2112112 2cosAFAFFFAF FF,即 2227 22222 22 9 accccc,化简得 2 2 4 9 acc, 故 222222 53 22051890 95 4 9 aacccacecaee或 3(舍) 即 3 5 e 第 10 页 / 共 18 页 故答案为: 3 5 3、 (2020 浙江高三)如图,过椭圆 22 22 1 xy C ab :的左、右焦点 F1,F2分别作斜率为2 2的直线交椭圆 C 上半部分于 A,B 两点,记AOF1,BOF2的面积
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