考点25 直线与圆的综合问题(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 17 页 考点考点 25 直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题 1、 体会用代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一,初步掌握数形结 合的思想方法在研究数学问题中的应用 . 2、 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含); 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 直线与圆每年都考查一道填空题或解答题,主要以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体,考 查学生的探究与计算能力 . 考查中,大多以动圆、动直线作为模型,考查定点、定值、范围等 问题,解决此类问题,要充分利用数形结合、
2、等价转化、函数与方程的思想来解题,体现了能力 和知识的综合 在 2020 年全国各地试卷中往往与圆锥曲线相结合,综合考查范围问题、最值问题以及隐 圆问题的考查。 1、 直线与圆相交的问题,要能充分利用好圆的几何性质,垂径定理是最常见的性质;圆 心距是核心问题,通过圆心距可以求出弦长,而给出弦长,要能第一时间求出圆心距 2、 解析几何中的向量问题,往往需要先通过线性运算后转化,再通过向量坐标运算来处 理 3、圆的切线长的问题,主要考查了转化与化归的思想切线长通常用勾股定理来求解, 这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值,而这种距离的最值问题,是圆的考查 中常见的知识点 考纲要求考纲要求
3、 近三年高考近三年高考情况分析情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 17 页 1、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 3 (0) 2 P,A,B 是圆 C: 22 1 ()36 2 xy上的两个 动点,满足PAPB,则PAB面积的最大值是_ 【答案】10 5 【解析】PAPBPCABQ 设圆心C到直线AB距离为d,则 2 31 |=2 36,|1 44 ABdPC 所以 222 1 2 36(1)(36)(1) 2 PAB Sdddd V 令 222 (36)(1) (06)2(1)( 236)04ydddydddd (负值舍去) 当
4、04d时,0y ;当46d时,0y,因此当4d 时,y取最大值,即 PAB S取最大值为10 5, 故答案为:10 5 2、 【2020 年全国 1 卷】已知M: 22 2220 xyxy,直线l:2 20 xy ,P为l上的动点, 过点P作M的切线,PA PB,切点为,A B,当| |PMAB最小时,直线AB的方程为( ) A. 210 xy B. 210 xy C. 210 xy D. 210 xy 【答案】D 【解析】 】圆的方程可化为 22 114xy,点M到直线l的距离为 22 2 1 1 2 52 21 d ,所 以直线l与圆相离 依圆的知识可知,四点, , ,A P B M四点共
5、圆,且ABMP,所以 1 444 2 PAM PMABSPAAMPA,而 2 4PAMP , 当直线MPl时, min 5MP, min 1PA,此时PMAB最小 1 :11 2 MP yx 即 11 22 yx,由 11 22 220 yx xy 解得, 1 0 x y 第 3 页 / 共 17 页 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y,即 22 10 xyy , 两圆的方程相减可得:210 xy ,即为直线AB的方程 故选:D. 3、【2017 年高考全国 III 卷理数】已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以 线段 AB
6、为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点4, 2P,求直线 l 与圆 M 的方程. 【答案】(1)见解析;(2)直线l的方程为20 xy,圆M的方程为 22 3110 xy, 或直线l的方程为240 xy,圆M的方程为 22 9185 4216 xy 【解析】(1)设 1122 ,A x yB x y,:2l xmy. 由 2 2, 2 xmy yx 可得 2 240ymy,则 12 4y y . 又 22 12 12 , 22 yy xx,故 2 12 12 4 4 y y x x . 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 12 12 4 1 4 yy xx
7、,所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得 2 121212 2 ,424yym xxm yym. 故圆心M的坐标为 2 2,mm ,圆M的半径 2 22 2rmm . 由于圆M过点4, 2P,因此 0AP BP ,故 1212 44220 xxyy, 即 1 2121212 42200 x xxxy yyy, 由(1)可得 1212 4,4y yx x . 所以 2 210mm ,解得1m或 1 2 m . 当1m时,直线l的方程为20 xy,圆心M的坐标为3,1,圆M的半径为10,圆M的方程 第 4 页 / 共 17 页 为 22 3110 xy. 当 1 2 m 时,
8、直线l的方程为240 xy, 圆心M的坐标为 91 , 42 , 圆M的半径为 85 4 , 圆M 的方程为 22 9185 4216 xy . 4、【2018 年高考全国卷理数】设抛物线 2 4C yx:的焦点为F,过F且斜率为 (0)k k 的直线l与C交 于A,B两点,| |8AB (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程 【答案】 (1)1yx; (2) 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 【解析】 (1)由题意得(1,0)F,l 的方程为(1)(0)yk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB, 由 2 (1), 4 yk
9、 x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k ,故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ,解得1k (舍去) ,1k 因此 l 的方程为1yx (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2), 所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx ,即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy,则 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 第 5 页 / 共 17 页 因此
10、所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 题型一、圆中的范围问题 1、 (2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟)已知实数 , x y满足 22 46120 xyxy则 22xy的最小值是( ) A55 B45 C 51 D5 5 【答案】A 【解析】 22 46120 xyxy, 22 231xy,即圆心C2, 3,半径1r , 22 225 5 xy xy , 22 5 xy 可看到圆上的点,P x y到直线220 xy距离, 圆上的点,P x y到直线220 xy 距离的最小值为 圆心C到直线220 xy距离d减去半径即dr, 二年模拟试题二
11、年模拟试题 第 6 页 / 共 17 页 432 5 5 d , 圆上的点,P x y到直线220 xy距离的最小值为 51dr, 22xy的最小值为5 5 故选:A 2、 (2020 浙江温州中学高三 3 月月考)过点2,1P斜率为正的直线交椭圆 22 1 245 xy 于A,B两点.C, D是椭圆上相异的两点, 满足CP,DP分别平分ACB,ADB.则PCD外接圆半径的最小值为 ( ) A 2 15 5 B 65 5 C 24 13 D19 13 【答案】D 【解析】如图, 先固定直线 AB,设 BM f M AM ,则 f Cf Df P,其中 BP f P AP 为定值, 故点 P,C
12、,D 在一个阿波罗尼斯圆上,且PCD外接圆就是这个阿波罗尼斯圆,设其半径为 r,阿波罗尼 斯圆会把点 A,B 其一包含进去,这取决于 BP 与 AP 谁更大,不妨先考虑BPAP的阿波罗尼斯圆的情况, BA 的延长线与圆交于点 Q,PQ 即为该圆的直径,如图: 接下来寻求半径的表达式, 由 2 ,2 APBPrBPBQ rAPAQAP APAQBP ,解得 111 rAPBP , 第 7 页 / 共 17 页 同理,当BPAP时有, 111 rBPAP , 综上, 111 rAPBP ; 当直线 AB 无斜率时,与椭圆交点纵坐标为 555 ,1,1 666 APBP ,则 19 12 r ; 当
13、直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为12yk x ,即21ykxk, 与椭圆方程联立可得 222 24548129610kxkk xkk, 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则由根与系数的关系有, 12 2 2 12 2 4821 245 961 245 kk xx k kk x x k , 222 12 12 11111111 22 12121 rAPBPxx kxkxk , 注意到 1 2x 与 2 2x 异号,故 12 12 222 121212 22125 41111 222419 111 xxk xx rxxx xxx kkk , 设125tk,则 2 2 12
14、1112112 2613 191919 241911 10169 169( )101 t r tt tt , ,当1 5 169t ,即 169 5 t ,此时 12 5 k ,故 19 13 r , 又 1919 1213 ,综上外接圆半径的最小值为19 13 . 故选:D 3、 (2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)在平面直角坐标系xOy中,已知AB是圆 22 4Oxy的直径.若与圆O外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上存在点M,连接AM与圆 O交于点N,满足 / /BMON,则半径r的取值范围是_. 【答案】4,8). 【解析】AM 与圆 O 交于点
15、 N, / /BMON,且圆心 O 是 AB 中点, 第 8 页 / 共 17 页 ON 是ABM 的中位线,BM2ON4, 点 M 在以 B 为圆心,4 为半径的圆周上, 4r ; 又B 是圆 O 上任意一点, 点 M 可以认为是以 O 为圆心 6 为半径的圆上一点,这个圆记为 O, 又点 M 是在与圆 O 外离的圆 222 1:( 6)(8)(0)Oxyrr上的点, 22 26810r , 8r . 存在符合题意的点 M 时,r的取值范围是4,8), 故答案为:4,8). 4、 (江苏省南通市西亭高级中学 2019-2020 学年高三下学期学情调研) 已知圆 22 : 4O xy, 直线l
16、与圆O 交于PQ,两点,2,2A,若 22 40APAQ,则弦PQ的长度的最大值为_. 【答案】2 2 【解析】设M为PQ的中点, 2222 2(2)APAQAMPQ ,即 2222 22APAQAMMQ, 即 222 4022AMOQOM , 22 204AMOM , 22 16AMOM . 设,M x y,则 2222 (2)(2)16xyxy ,得20 xy. 所以 min 2 2 2 OM, max 2 2PQ. 第 9 页 / 共 17 页 故答案为:2 2 5、 (2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)在平面直角坐标系xOy中,已知MN在圆C: 2 2 24xy上运动, 且
17、2 3MN .若直线l:30kxy上的任意一点P都满足 22 14PMPN , 则实数k的取值范围是_. 【答案】 12 0, 5 【解析】由题得圆C的圆心(2,0),2R .且| |2CMCNR,120MCN o, 2222 | =|+|4|cos4PMPMPC CMPCPC(其中是,PC CM的夹角) , 22 |4|cos(120)4PNPCPC, 因为 22 14PMPN , 所以 222 =2(|4)2|(coscos(1 01)42PMPNPCPC, 所以 2 |2|(coscos(1 032)PCPC, 所以 2 |3|2|cos(60 )PCPC, 所以 2 3,(|3)(|
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