考点23 运用空间向量解决立体几何问题(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 40 页 考点考点 23 运用空间向量解决立体几何问题运用空间向量解决立体几何问题 1、了解空间向量的基本定理及其意义;理解空间向量的夹角、数量积的概念; 2、理解直线的方向向量与平面的法向量, 3、能用向量方法证明有关线、面位置关系。 4、能用向量方法证明有关线、面的夹角等计算问题。 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的平面角是高考必考的题型,特别是解答 题,往往与立体几何中的推理证明相结合。 1、向量是利用数形结合解题的一种重要手段,只有掌握向量运算的各种集合意义,才能更好 地利用向量这一工具解决相关问题。 2、用向量的方法解决立体几何的两大问题:一是特殊
2、位置关系的判断,二是一般位置关系的 计算。 3、恰当的选择空间坐标系,正确的表示出点坐标,是解决此类问题的关键。 1、 【2020 年北京卷】如图,在正方体 1111 ABCDABC D中,E为 1 BB的中点 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 40 页 ()求证: 1/ / BC平面 1 ADE; ()求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 【答案】 ()证明见解析; () 2 3 . 【解析】)如下图所示: 在正方体 1111 ABCDABC D中, 11 /AB AB且 11 ABAB, 11
3、11 /ABC D且 1111 ABC D, 11 /AB C D且 11 ABC D,所以,四边形 11 ABC D为平行四边形,则 11 /BCAD, 1 BC 平面 1 ADE, 1 AD 平面 1 ADE, 1/ BC平面 1 ADE; ()以点A为坐标原点,AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 系Axyz, 第 3 页 / 共 40 页 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2,则0,0,0A、 1 0,0,2A、 1 2,0,2D、0,2,1E, 1 2,0,2AD ,0,2,1AE , 设平面 1 ADE的法向量为, ,nx y z
4、,由 1 0 0 n AD n AE ,得 220 20 xz yz , 令2z ,则2x,1y ,则2,1, 2n . 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA . 因此,直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值为 2 3 . 2、 【2020 年江苏卷】在三棱锥 ABCD中,已知 CB=CD= 5,BD=2,O 为 BD的中点,AO平面 BCD, AO=2,E 为 AC 的中点 (1)求直线 AB与 DE 所成角的余弦值; (2)若点 F在 BC上,满足 BF= 1 4 BC,设二面角 FDEC 的大小为 ,求 sin 的值 【答案】 (1) 15 15 (2
5、) 2 39 13 第 4 页 / 共 40 页 【解析】 】 (1)连,COBCCD BOODCOBDQ 以,OB OC OA为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系,则 (0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),( 1,0,0)(0,1,1)ABCDE 115 (1,0, 2),(1,1,1)cos, 155 3 ABDEAB DE uu u ruuu ruu u r uuu r 从而直线AB与DE所成角的余弦值为 15 15 (2)设平面DEC一个法向量为 1 ( , , ),nx y z 1 1 200 (1,2,0), 00 xyn DC DC xyzn DE 令 1 12,1
6、( 2,1,1)yxzn u r 设平面DEF一个法向量为 2111 ( ,),nx y z u u r 112 2 111 71 0017 1 ( ,0),42 44 20 0 xynDF DFDBBFDBBC nDE xyz 令 1112 72,5(2, 7,5)yxzn u u r 12 61 cos, 6 7813 n n u r u u r 因此 122 39 sin 1313 第 5 页 / 共 40 页 3、【2020 年全国 1 卷】 如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AEADABC 是底面的内接正三角形,P为DO上一点, 6 6 PODO (1)证明
7、:PA 平面PBC; (2)求二面角BPCE的余弦值 【答案】 (1)证明见解析; (2) 2 5 5 . 【解析】 (1)由题设,知DAE为等边三角形,设1AE , 则 3 2 DO , 11 22 COBOAE,所以 62 64 PODO, 2222 66 , 44 PCPOOCPBPOOB 又ABC为等边三角形,则2 sin60 BA OA,所以 3 2 BA , 222 3 4 PAPBAB,则 90APB,所以PAPB, 同理PAPC,又PCPBP,所以PA 平面PBC; (2)过 O作ONBC 交 AB于点 N,因为PO平面ABC,以 O为坐标原点,OA 为 x 轴,ON 为 y轴
8、建 立如图所示的空间直角坐标系, 第 6 页 / 共 40 页 则 121313 (,0,0), (0,0,), (,0), (,0) 244444 EPBC, 132 (,) 444 PC , 132 (,) 444 PB , 12 (,0,) 24 PE , 设平面PCB的一个法向量为 111 ( ,)nx y z, 由 0 0 n PC n PB ,得 111 111 320 320 xyz xyz ,令 1 2x ,得 11 1,0zy , 所以( 2,0, 1)n , 设平面PCE的一个法向量为 222 (,)mxy z 由 0 0 m PC m PE ,得 222 22 320 2
9、20 xyz xz ,令 2 1x ,得 22 3 2, 3 zy , 所以 3 (1,2) 3 m 故 2 22 5 cos, 5| |10 3 3 n m m n nm , 设二面角BPCE的大小为,则 2 5 cos 5 . 4、 【2020 年全国 2 卷】如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面 BB1C1C是矩形,M,N分 别为 BC,B1C1的中点,P为 AM 上一点,过 B1C1和 P 的平面交 AB 于 E,交 AC于 F. 第 7 页 / 共 40 页 (1)证明:AA1MN,且平面 A1AMNEB1C1F; (2)设 O为A1B1C1的中心,若 AO平
10、面 EB1C1F,且 AO=AB,求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 【答案】 (1)证明见解析; (2) 10 10 . 【解析】 (1),M N分别为BC, 11 BC的中点, 1 /MN BB 又 11 / /AABB 1 /MN AA 在ABC中,M为BC中点,则BCAM 又侧面 11 BBCC为矩形, 1 BCBB 1 /MN BB MNBC 由MNAMM,,MN AM 平面 1 A AMN BC平面 1 A AMN 又 11/ BCBC,且 11 BC 平面ABC,BC平面ABC, 11/ BC平面ABC 第 8 页 / 共 40 页 又 11 BC 平面 11
11、EBC F,且平面 11 EBC F 平面ABC EF 11/ / BCEF /EF BC 又BC 平面 1 A AMN EF 平面 1 A AMN EF 平面 11 EBC F 平面 11 EBC F平面 1 A AMN (2)连接NP /AO平面 11 EBC F,平面AONP平面 11 EBC FNP /AO NP 根据三棱柱上下底面平行, 其面 1 ANMA平面ABC AM,面 1 ANMA平面 1111 ABCAN /ON AP 故:四边形ONPA是平行四边形 设ABC边长是6m(0m) 可得:ONAP,6NPAOABm O为 111 A B C 的中心,且 111 A B C 边长
12、为6m 第 9 页 / 共 40 页 1 6 sin603 3 ONm 故:3ONAPm /EF BC APEP AMBM 3 33 3 EP 解得:EPm 在 11 BC截取 1 BQEPm,故2QNm 1 BQEP且 1 /BQ EP 四边形 1 BQPE是平行四边形, 1 /B E PQ 由(1) 11 BC 平面 1 A AMN 故QPN为 1 B E与平面 1 A AMN所成角 在RtQPN,根据勾股定理可得: 22 22 262 10PQQNPNmmm 210 sin 102 10 QNm QPN PQm 直线 1 B E与平面 1 A AMN所成角的正弦值: 10 10 . 5、
13、 【2020 年全国 3 卷】 如图, 在长方体 1111 ABCDABC D中, 点,E F分别在棱 11 ,DD BB上, 且 1 2DEED , 1 2BFFB 第 10 页 / 共 40 页 (1)证明:点 1 C在平面AEF内; (2)若2AB ,1AD , 1 3AA ,求二面角 1 AEFA的正弦值 【答案】 (1)证明见解析; (2) 42 7 . 【解析】 (1)在棱 1 CC上取点G,使得 1 1 2 CGCG,连接DG、FG、 1 C E、 1 C F, 在长方体 1111 ABCDABC D中,/AD BC且ADBC, 11 /BBCC且 11 BBCC, 1 1 2
14、C GCG, 1 2BFFB , 11 22 33 CGCCBBBF且CGBF, 所以,四边形BCGF为平行四边形,则/AF DG且AFDG, 同理可证四边形 1 DECG为平行四边形, 1 /C E DG且 1 C EDG, 1 /C E AF且 1 C EAF,则四边形 1 AEC F为平行四边形, 第 11 页 / 共 40 页 因此,点 1 C在平面AEF内; (2)以点 1 C为坐标原点, 11 C D、 11 C B、 1 CC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐 标系 1 Cxyz, 则2,1,3A、 1 2,1,0A、2,0,2E、0,1,1F, 0, 1, 1
15、AE ,2,0, 2AF , 1 0, 1,2AE , 1 2,0,1AF , 设平面AEF的法向量为 111 ,mx y z, 由 0 0 m AE m AF ,得 11 11 0 220 yz xz 取 1 1z ,得 11 1xy,则 1,1, 1m , 设平面 1 AEF的法向量为 222 ,nxy z, 由 1 1 0 0 n AE n AF ,得 22 22 20 20 yz xz ,取 2 2z ,得 2 1x , 2 4y ,则1,4,2n , 37 cos, 7321 m n m n mn , 设二面角 1 AEFA的平面角为,则 7 cos 7 , 2 42 sin1 co
16、s 7 . 第 12 页 / 共 40 页 因此,二面角 1 AEFA的正弦值为 42 7 . 6、 【2020 年天津卷】如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC, 1 3CC ,点,DE分别在棱 1 AA和棱 1 CC上,且12,ADCEM 为棱 11 AB的中点 ()求证: 11 C MB D; ()求二面角 1 BB ED的正弦值; ()求直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值 【答案】 ()证明见解析; () 30 6 ; () 3 3 . 【解析】依题意,以C为原点,分别以CA、CB、 1 CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空
17、间直角 坐标系(如图) , 第 13 页 / 共 40 页 可得0,0,0C、2,0,0A、0,2,0B、 1 0,0,3C、 1 2,0,3A、 1 0,2,3B、2,0,1D、0,0,2E、1,1,3M. ()依题意, 1 1,1,0C M , 1 2, 2, 2B D , 从而 11 2200C M BD ,所以 11 C MB D; ()依题意,2,0,0CA是平面 1 BB E的一个法向量, 1 0,2,1EB ,2,0, 1ED 设, ,nx y z为平面 1 DB E的法向量,则 1 0 0 n EB n ED ,即 20 20 yz xz , 不妨设1x ,可得1, 1,2n
18、26 cos, 626 C CA n A C n A n , 2 30 sin,1 cos, 6 CA nCA n 所以,二面角 1 BB ED的正弦值为 30 6 ; ()依题意,2,2,0AB 由()知1, 1,2n 为平面 1 DB E的一个法向量,于是 43 cos, 32 26 AB n AB n ABn 所以,直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值为 3 3 . 7、 【2020 年山东卷】.如图,四棱锥 P-ABCD的底面为正方形,PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l (1)证明:l平面 PDC; 第 14 页 / 共 40 页 (2)已知 PD=AD
19、=1,Q为 l上的点,求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 【答案】 (1)证明见解析; (2) 6 3 . 【解析】 (1)证明: 在正方形ABCD中,/AD BC, 因为AD平面PBC,BC平面PBC, 所以/AD平面PBC, 又因为AD 平面PAD,平面PAD平面PBCl, 所以/AD l, 因为在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD,所以,ADPDlPD 因为CDPDD 所以l 平面PDC; (2)如图建立空间直角坐标系Dxyz, 因为1PDAD,则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0
20、)DCAPB, 设( ,0,1)Q m,则有(0,1,0),( ,0,1),(1,1, 1)DCDQmPB, 设平面QCD的法向量为( , , )nx y z, 则 0 0 DC n DQ n ,即 0 0 y mxz , 令1x ,则zm,所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm,则 第 15 页 / 共 40 页 2 1 0 cos, 31 n PBm n PB n PBm 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线与 平面所成角的正弦值等于 2 |1| |cos,| 31 m n PB m r uur 2 2 31 2 31 mm m
21、22 3232|36 111 1 313133 mm mm ,当且仅当1m时取等号, 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 6 3 . 8、 【2019 年高考全国卷理数】 如图, 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形, AA1=4, AB=2, BAD=60 , E,M,N 分别是 BC,BB1,A1D 的中点 (1)证明:MN平面 C1DE; (2)求二面角 AMA1N 的正弦值 【答案】 (1)见解析; (2) 10 5 . 【解析】(1)连结 B1C,ME 因为M,E分别为BB1,BC的中点, 所以MEB1C,且ME= 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点, 第
22、 16 页 / 共 40 页 所以ND= 1 2 A1D 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND, 因此四边形MNDE为平行四边形,MNED 又MN平面EDC1, 所以MN平面C1DE (2)由已知可得DEDA 以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 (2,0,0)A, A1(2,0 ,4), (1, 3,2)M, (1,0,2)N, 1 (0,0, 4)AA, 1 ( 1, 3, 2)AM , 1 ( 1,0, 2)AN ,(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量,则 1 1 0 0 AM A A m m ,
23、 所以 320 40 xyz z , 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量,则 1 0 0 MN AN , n n 所以 30 20 q pr , 可取(2,0, 1)n 第 17 页 / 共 40 页 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n , 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 9、【2019 年高考全国卷理数】如图,长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1上, BEEC1 (1)证明:BE平面 EB1C1; (2)若 AE=A1E,求二面角 BECC1的正弦值 【答案】 (1)证
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