考点16 平面向量数量积及应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 21 页 考点考点 16 平面向量数量积及应用平面向量数量积及应用 1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义 . 2. 掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算;能利用数量积表示两个向量夹角的 余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直 . 3. 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具 平面向量的数量积作为主要的考点,是高考中的必考点,考查题型中填空题、解答题都有涉 及,分值在 20 分左右,难度低、中档题为主 . 向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐 标这三个基本方面,有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算 . 在研究向量时,一般有两 个途径:一是建立
2、直角坐标系用坐标研究向量间的问题;二是用基底向量来研究 . 与向量数量 积有关的最值问题或求参数的取值范围,可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究,也可 以考虑其几何意义,从几何角度来研究 向量数量积是江苏高考必考题型,在复习是一定要注意向量数量积的两种形式:一是坐标 形式,常用的方法是建立坐标系。二是模的形式,常采取的方式是向量的转化 1、 【2020 年山东卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则AP AB 的取值范用是( ) A. ()2,6 B. ( 6,2) C. ( 2,4) D. ( 4,6) 【答案】A 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高
3、考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 21 页 【解析】 AB的模为 2,根据正六边形的特征, 可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是( 1,3), 结合向量数量积的定义式, 可知AP AB 等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积, 所以AP AB 的取值范围是()2,6, 故选:A. 2、 【2020 年全国 3 卷】.已知向量 a,b 满足| 5a ,| | 6b ,6a b ,则cos ,=a ab ( ) A. 31 35 B. 19 35 C. 17 35 D. 19 35 【答案】D 【解析】5a ,6b , 6a b , 2 2 56
4、19aabaa b . 2 22 2252 6367ababaa bb , 因此, 1919 cos, 5 735 aab a ab aab . 故选:D. 3、 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a,b 满足| 2|ab,且()abb,则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】B 【解析】 因为()abb, 所以 2 () ab ba bb=0, 所以 2 a bb, 所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb abb , 第 3 页 / 共 21 页 所以 a 与 b 的夹角为 3 ,故选 B 4、 【2019 年高考全国 II 卷理数】已
5、知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1,则AB BC = A3 B2 C2 D3 【答案】C 【 解 析 】 由(1,3)BCACABt, 22 1(3)1BCt, 得3t , 则(1, 0 )BC , (2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 故选 C 5、 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量a,b满足| |1a ,1 a b,则 (2)aab A4 B3 C2 D0 【答案】B 【解析】因为 22 222|12 13 aabaa ba所以选 B. 6、 (2018 年高考浙江卷)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3 ,
6、向量 b 满足 b24eb+3=0,则|ab|的最小值是 A31 B3+1 C2 D2 3 【答案】A 【解析】 设, 则由得, 由 b24eb+3=0 得因此|ab|的最小值为圆心到直线 的距离 2 3 = 3 2 减去半径 1,为选 A. 7、 【2018 年高考天津卷理数】如图,在平面四边形 ABCD 中, ,120 ,ABBC ADCDBAD1,ABAD若点 E为边 CD上的动点,则AE BE的最小值为 第 4 页 / 共 21 页 A 21 16 B 3 2 C 25 16 D3 【答案】A 【解析】 连接 AD,取 AD 中点为 O,可知 ABD 为等腰三角形, 而 ,ABBC A
7、DCD , 所以 BCD 为 等边三角形, 3BD . 设 01DEtDCt AE BE 223 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt 01t 所以当 1 4 t 时,上式取最大值 21 16 ,故选 A. 8、 【2020 年天津卷】.如图,在四边形ABCD中,60 ,3BAB ,6BC ,且 3 , 2 ADBCAD AB ,则实数的值为_,若,M N是线段BC上的动点,且| 1MN , 则DM DN 的最小值为_ 【答案】 (1). 1 6 (2). 13 2 【解析】 ADBC ,/AD BC,180120BADB, cos120A
8、B ADBC ABBCAB 第 5 页 / 共 21 页 13 639 22 , 解得 1 6 , 以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy, 66,0BCC,, 3,60ABABC,A的坐标为 3 3 3 , 22 A , 又 1 6 ADBC,则 5 3 3 , 22 D ,设,0M x,则1,0N x(其中05x) , 53 3 , 22 DMx , 33 3 , 22 DNx , 2 2 2 533 32113 42 22222 DM DNxxxxx , 所以,当2x时,DM DN 取得最小值13 2 . 故答案为: 1 6 ; 13 2 . 9、 【2
9、020 年浙江卷】设 1 e, 2 e为单位向量,满足 21 |22|ee, 12 aee, 12 3bee,设a,b的夹 角为,则 2 cos的最小值为_ 【答案】 28 29 第 6 页 / 共 21 页 【解析】 12 |2|2ee u ru r Q, 12 4412e e u r u r , 12 3 4 e e u r ur , 22 2 1212 22 121212 (44)4(1)() cos (22)(106)53 e ee ea b e ee ee e ab u r uru r urr r u r uru r uru r ur rr 12 424228 (1)(1) 3 33
10、29 53 53 4 e e u r ur . 故答案为: 28 29 . 10、 【2020 年北京卷】 .已知正方形ABCD的边长为 2, 点 P满足 1 () 2 APABAC, 则|PD _; PB PD_ 【答案】 (1). 5 (2). 1 【解析】以点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系, 则点0,0A、2,0B、2,2C、0,2D, 111 2,02,22,1 222 APABAC, 则点2,1P,2,1PD ,0, 1PB , 因此, 2 2 215PD ,021 ( 1)1PB PD . 故答案为:5;1. 第 7 页 / 共 21
11、页 11、 【2020 年全国 1 卷】14.设, a b为单位向量,且| 1ab,则|ab_. 【答案】3 【解析】因为, a b为单位向量,所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b 解得:2 1a b 所以 222 23ababaa bb 故答案为:3 12、 【2020 年全国 2 卷】.已知单位向量a ,b 的夹角为 45,k a b 与a 垂直,则 k=_. 【答案】 2 2 【解析】由题意可得: 2 1 1 cos45 2 a b , 由向量垂直的充分必要条件可得:0k aba , 即: 2 2 0 2 kaa bk ,解得: 2 2 k . 故答案为: 2
12、 2 13、 【2019 年高考全国 III 卷理数】已知 a,b 为单位向量,且 a b=0,若25cab,则 cos,a c_. 【答案】 2 3 【解析】因为25cab,0 a b, 所以 2 25 a caa b2 , 222 | |4| |4 55|9 caa bb,所以| | 3c , 第 8 页 / 共 21 页 所以cos,a c 22 1 33 a c a c 14、【2019 年高考天津卷理数】在四边形ABCD中,,2 3,5,30ADBCABADA,点 E在线段CB的延长线上,且AEBE,则BD AE_ 【答案】1 【解析】 建立如图所示的直角坐标系, DAB=30,2
13、3,5,ABAD则(2 3,0)B, 5 3 5 (, ) 22 D . 因为ADBC,30BAD,所以30ABE, 因为AEBE,所以30BAE, 所以直线BE的斜率为 3 3 ,其方程为 3 (2 3) 3 yx, 直线AE的斜率为 3 3 ,其方程为 3 3 yx . 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ,1y , 所以( 3, 1)E. 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE . 15、 【2019 年高考江苏卷】如图,在ABC中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于 点O.若 6AB ACAO EC ,则
14、AB AC 的值是_ 第 9 页 / 共 21 页 【答案】3. 【解析】 如图, 过点 D 作 DF/CE, 交 AB 于点 F, 由 BE=2EA, D 为 BC 的中点, 知 BF=FE=EA,AO=OD 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE, 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC , 得 2213 , 22 ABAC即3,ABAC故3 AB AC 题型一、数量积中的夹角 1、 (2020 届山东省德州市高三上期末)已知向量a,b满足1a ,2b , 3
15、 13abab ,则a 与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 二年模拟试题二年模拟试题 第 10 页 / 共 21 页 【解析】 22 32313ababaa bb ,即2 1113a b ,得 1a b , 则 1 cos 2 a b a b ,0Q, 2 3 . 故选:C. 2、 (北京市顺义区牛栏山第一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题)若1,1a r ,()3,1= r b,则 a与b的夹角为( ) A15 B30 C45 D60 【答案】A 【解析】设a与b的夹角为,则 3162 coscos(4530 )cos15 4|2 2 a
16、 b a b , 即15. 故选:A. 3、 (2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考)若|1,327,abab且则向量a与向量b夹角 的大小是_. 【答案】 6 【解析】由27ab得 22 3 |44|71 44 37 2 aa bba ba b 3 3 2 cos,. 2613 a ba b 4、 (2020 山东省淄博实验中学高三上期末)若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的夹角 为_. 【答案】120 【解析】设a与b的夹角为,由题意ab,2abb,, 可得 2 (2)2cos0abba bb,所以 1 cos 2 , 再由0180可得,120, 第 11 页 / 共 2
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