考点15 平面向量的线性运算(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 15 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1、理解向量的加法、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理 . 了解向量的线性 运算性质及其几何意义 2、了解平面向量的基本定理及其意义 . 3、 理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件 平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点, 用一组基底可以表示其它的向 量,这也是为下一节平面向量的数量积的基础,因此平面向量的线性运算是这几年江苏高考常 考的知识点。在其它地区的高考中也经常考查到 1、 平面向量的基本概念
2、及其线性运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,重点在于对三 点共线及基底向量等相关知识的运用 . 2、 平面向量的基本定理及其坐标运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现 在解答题的某一步骤 . 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,借助基向量考 查交点位置或借助向量的坐标考查共线等问题 1、 【2020 年江苏卷】在ABC中,43=90ABACBAC,D在边 BC上,延长 AD到 P,使得 AP=9, 若 3 () 2 PAmPBm PC (m 为常数) ,则 CD 的长度是_
3、考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 18 页 【答案】 18 5 【解析】 ,A D P三点共线, 可设0PAPD, 3 2 PAmPBm PC , 3 2 PDmPBm PC ,即 3 2 m m PDPBPC , 若0m且 3 2 m ,则,B D C三点共线, 3 2 1 m m ,即 3 2 , 9AP,3AD, 4AB ,3AC ,90BAC, 5BC , 设CDx,CDA,则5BDx ,BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD , 2 222 57 cos 26
4、5 xADBDAB AD BDx , coscos0 , 2 57 0 66 5 xx x ,解得 18 5 x , CD的长度为 18 5 . 当0m时, 3 2 PAPC,,C D重合,此时CD的长度为0, 当 3 2 m 时, 3 2 PAPB,,B D重合,此时12PA ,不合题意,舍去. 故答案为:0或 18 5 . 2、 【2018 年高考全国 I 卷理数】在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB 第 3 页 / 共 18 页 A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法
5、则,可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC,所以 31 44 EBABAC. 故选 A. 3、 【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上.若APABAD,则的最大值为 A3 B22 C5 D2 【答案】A 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y, 易得圆的半径 2 5 r ,即圆 C 的方程是 2 2 4 2 5 xy, 第 4 页 / 共 18 页 ,1 ,0, 1
6、 ,2,0APx yABAD,若满足APABAD, 则 2 1 x y ,,1 2 x y ,所以1 2 x y, 设1 2 x zy,即10 2 x yz ,点,P x y在圆 2 2 4 2 5 xy上, 所以圆心(2 0),到直线10 2 x yz 的距离dr,即 22 15 1 4 z ,解得13z, 所以z的最大值是 3,即的最大值是 3,故选 A 4、 【2019 年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为 1,当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时, 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_;最大值是_ 【答案】0;2 5. 【解析】以, AB AD分别为 x
7、轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD , 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD0 0. 又因为(1,2,3,4,5,6) i i可取遍1, 所以当 134562 1,1 时,有最小值 min 0y. 因为 135 和 245 的取值不相关, 6 1或 6 1 , 第 5 页 / 共 18 页 所以当 135 和 245 分别取得最大值时,y 有最大值, 所以当 125634 1,1 时,有最大值 22 max 24202 5y . 故答案为 0;2 5. 5、【
8、2018 年高考全国 III 卷理数】 已知向量 = 1,2a,= 2, 2b,= 1,c 若2ca + b, 则_ 【答案】 1 2 6、 【2017 年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为 1,1, 2,OA与OC 的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为 45 若OC mOA nOB ( ,)m nR,则 mn_ 【答案】3 【解析】由tan7可得 7 2 sin 10 , 2 cos 10 ,根据向量的分解, 易得 cos45cos2 sin45sin0 nm nm ,即 22 2 210 27 2 0 210 nm nm ,即 510 570 nm nm
9、 ,即得 57 , 44 mn, 所以3mn 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 18 页 题型一:平面向量基本定理题型一:平面向量基本定理 1、 (2020 届山东省潍坊市高三上期中)如图,已知1OAOB,3OC ,OC OB , OA , 30OC 若OC xOAyOB,x y( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】建立如图所以坐标系,根据条件不妨设 (1,0)A , 13 (,) 22 B , 33 ( ,) 22 C, 则 3313 ( ,)(1,0)(,) 2222 OCxy, 所以 13 22 33 22 xy y ,解得2x,1y , 所以3xy, 故选:C
10、 2、(2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中) 设 D为ABC所在平面内一点, 若 3BCCD , 则下列关系中正确的是( ) A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC 第 7 页 / 共 18 页 C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 【答案】A 【解析】 3BCCD ACAB=3(AD uuu v AC); AD uuu v = 4 3 AC 1 3 AB. 故选 A. 3、 (2020 河南高三期末(文) )如图,在等腰直角ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近 点B) ,过E作AD的垂线,垂足为F,则AF ( ) A 3
11、1 55 ABAC B 21 55 ABAC C 48 1515 ABAC D 84 1515 ABAC 【答案】D 【解析】设6BC ,则3 2,2ABACBDDEEC, 22 2cos 4 ADAEBDBABD BA10, 10 1044 cos 2 105 DAE , 所以 4 5 AFAF ADAE ,所以 4 5 AFAD. 因为 11 33 ADABBCABACAB 21 33 ABAC, 所以 42184 5331515 AFABACABAC . 故选:D 4、 (2020 届湖南省长沙市长郡中学高三月考(六)数学(理)试题)如图,在平行四边形ABCD中,点EF、 满足2,2BE
12、EC CFFD,EF与AC交于点G,设AG GC ,则( ) 第 8 页 / 共 18 页 A 9 7 B 7 4 C 7 2 D 9 2 【答案】C 【解析】 设H是BC上除E点外的令一个三等分点, 连接FH, 连接BD交AC于O, 则/BDFH.在三角形CFH 中,,CG FG是两条中线的交点,故G是三角形CFH的重心,结合 2 3 CHCF BHDF 可知 2 4.5 CG CO ,由 于O是AC中点,故 22 4.5 29 CG AC .所以 7 2 AG CG ,由此可知 7 2 ,故选 C. 5 、 ( 2020 届 北 京 市 海 淀 区 高 三 上 学 期 期 中 数 学 试
13、题 ) 在 四 边 形ABCD中 ,/ABCD, 设 (,)ACABADR .若 3 2 ,则= CD AB ( ) A 1 3 B 1 2 C1 D2 【答案】B 【解析】如图所示, 过C作/CEAD,又/CDAB 四边形AECD是平行四边形 ACAEAD , 又 ,ACABADR 1, AEAB, 第 9 页 / 共 18 页 又 31 22 ,,则 1 = 2 CDAE AB AB 故选:B 6、 (2020 届山东省泰安市高三上期末)如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点,且 3BCEC ,F 为 AE 的中点,则( ) A 1
14、2 BCABAD B 11 33 AFABAD C 21 33 BFABAD D 12 63 CFABAD 【答案】ABC 【解析】 ABCD,ABAD,AB=2AD=2DC, 由向量加法的三角形法则得 BCBAADDC 1 2 ABADAB 1 2 ABAD ,A 对; 3BCEC , 2 3 BEBC 12 33 ABAD , AE ABBE 12 33 ABABAD 22 33 ABAD, 又 F 为 AE 的中点, 1 2 AFAE 11 33 ABAD,B 对; BF BAAF 11 33 ABABAD 21 33 ABAD ,C 对; CF CBBFBFBC 21 33 ABAD
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