考点14 正、余弦定理（教师版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 32 页 考点考点 14 正、余弦定理正、余弦定理 1. 理解正弦定理,能用正弦定理解三角形 . 2. 理解余弦定理,能用余弦定理解三角形 . 3. 能根据条件,灵活选用正弦定理、 余弦定理解决三角形中的有关问题 . 公式选择得当,方法运 用对路是简化问题的必要手段 . 4. 能综合运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状,证明三角形中边角关系的恒等式;能运用 解斜三角形的有关知识,解决简单的实际问题 . 从近几年高考命题的形式看,本节知识是高考必考内容 .1. 内容上重点为正弦定理、余弦定理 及三角形的面积公式,考题灵活多样 . 2. 题型方面:填空题以考查用正弦、 余弦

2、定理解三角形为主,难度不大,解答题有时与其他知识综 合命题,最为常见的是与向量相结合 . 正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三 角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题 . 特别 要注意利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 1、【2018 年高考全国理数】在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC ，5AC ，则AB A4 2 B 30 C29 D2 5 【答案】A 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共

3、 32 页 【解析】因为 2 2 53 cos2cos121, 255 C C 所以 222 3 2cos1252 1 5324 2 5 ABBCACBC ACCAB ，则，故选 A. 2、【2018 年高考全国理数】ABC的内角A BC， ，的对边分别为a，b，c，若 ABC的面积为 222 4 abc ，则C A 2 B 3 C 4 D 6 【答案】C 【解析】由题可知 222 1 sin 24 ABC abc SabC ，所以 222 2sinCabcab， 由余弦定理 222 2cosabcabC，得sincosCC，因为 0,C，所以 4 C ，故选 C. 3、 【2020 年全国

4、3 卷】7.在ABC中，cosC= 2 3 ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】在ABC中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC 根据余弦定理： 222 2cosABACBCAC BCC 222 432 2 4 3 3 AB 可得 2 9AB ，即3AB 由 222 99 161 cos 22 3 39 ABBCAC B AB BC 故 1 cos 9 B . 故选：A. 第 3 页 / 共 32 页 4、【2020 年全国 1 卷】 .如图， 在三棱锥 PABC 的平面展开图中， AC=1， 3ABAD

5、， ABAC， ABAD， CAE=30 ，则 cosFCB=_. 【答案】 1 4 【解析】ABAC，3AB ，1AC ， 由勾股定理得 22 2BCABAC ， 同理得6BD，6BFBD， 在ACE中，1AC ，3AEAD，30CAE， 由余弦定理得 222 3 2cos301 32 131 2 CEACAEAC AE ， 1CFCE， 在BCF中，2BC ，6BF ，1CF ， 由余弦定理得 222 1 461 cos 22 1 24 CFBCBF FCB CF BC . 故答案为： 1 4 . 5、【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c

6、.若 6,2 , 3 bac B，则 ABC的面积为_ 【答案】6 3 第 4 页 / 共 32 页 【解析】由余弦定理得 222 2cosbacacB，所以 222 1 (2 )2 26 2 ccc c ，即 2 12c ， 解得2 3,2 3cc （舍去） ， 所以24 3ac， 113 sin4 32 36 3. 222 ABC SacB 6、【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若 45BDC，则BD _，cosABD_ 【答案】12 2 5 ， 7 2 10 【解析】如图，在 ABD 中，由正弦定理有： sinsin ABBD ADB

7、BAC ，而 3 4, 4 ABADB， 22 5AC=AB +BC = ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ，所以 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC . 7、 【2020 年北京卷】17.在ABC中，11ab ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知， 求： （）a的值： （）sinC和ABC的面积 条件： 1 7,cos 7 cA ； 条件： 19 cos,cos 816 AB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】选择条件（）8（） 3 sin 2 C

8、, 6 3S ； 第 5 页 / 共 32 页 选择条件（）6（） 7 sin 4 C , 15 7 4 S . 【解析】选择条件（） 1 7,cos 7 cA ，11ab 222222 1 2cos(11)72(11) 7 () 7 abcbcAaaa 8a （） 2 14 3 cos(0, )sin1 cos 77 AAAA ， 由正弦定理得： 873 sin sinsinsin24 3 7 ac C ACC 113 sin(11 8) 86 3 222 SbaC 选择条件（） 19 cos,cos,(0, ) 816 ABA B， 22 3 75 7 sin1 cos,sin1 cos

9、816 AABB 由正弦定理得： 11 6 sinsin3 75 7 816 abaa a AB （） 3 795 717 sinsin()sincossincos 8161684 CABABBA 11715 7 sin(11 6) 6 2244 SbaC 8、 【2020 年江苏卷】.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； 第 6 页 / 共 32 页 （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tan DAC的值 【答案】 （1） 5 sin 5 C ； （2） 2 tan 11 DAC. 【解析】 （1）

10、由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacacB ，所以5b . 由正弦定理得 sin5 sin sinsin5 cbcB C CBb . （2）由于 4 cos 5 ADC ，, 2 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ，所以0, 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ，所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC . 所以 sin2 tan cos11

11、DAC DAC DAC . 9、 【2020 年全国 2 卷】.ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC. （1）求 A； （2）若 BC=3，求ABC周长的最大值. 【答案】 （1） 2 3 ； （2）32 3. 【解析】 （1）由正弦定理可得： 222 BCACABAC AB， 222 1 cos 22 ACABBC A AC AB ， 第 7 页 / 共 32 页 0,A， 2 3 A （2）由余弦定理得： 22222 2cos9BCACABAC ABAACABAC AB， 即 2 9ACABAC AB. 2 2 ACAB AC AB （当且仅当ACAB时取等号） ，

12、2 2223 9 24 ACAB ACABAC ABACABACAB ， 解得：2 3ACAB（当且仅当ACAB时取等号） ， ABC周长32 3LACABBC ，ABC周长的最大值为32 3. 10、 【2020 年天津卷】.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin2 4 A 的值 【答案】 （） 4 C =； （） 2 13 sin 13 A ； （） 17 2 sin 2 426 A . 【解析】 （）在ABC中，由2 2,5,13abc及余弦定理得 222 825 132 cos

13、 2222 25 abc C ab ， 又因为(0, )C，所以 4 C =； （） 在ABC中， 由 4 C =， 2 2,13ac 及正弦定理， 可得 2 2 2 sin 2 sin 13 aC A c 2 13 13 ； （）由ac知角A为锐角，由 2 13 sin 13 A ，可得 2 cos1 sinAA 3 13 13 ， 进而 2 125 sin22sincos,cos22cos1 1313 AAAAA ， 第 8 页 / 共 32 页 所以 12252 sin(2)sin2 coscos2 sin 444132132 AAA 17 2 26 . 11、 【浙江卷】在锐角ABC中

14、，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 sin3bAa （I）求角 B； （II）求 cosA+cosB+cosC的取值范围 【答案】 （I） 3 B ； （II） 31 3 , 22 【解析】 （I）由2 sin3bAa结合正弦定理可得： 3 2sinsin3sin,sin 2 BAAB ABC 为锐角三角形，故 3 B . （II）结合(1)的结论有： 12 coscoscoscoscos 23 ABCAA 131 coscossin 222 AAA 311 sincos 222 AA 1 sin 62 A . 由 2 0 32 0 2 A A 可得： 62 A ， 2 363

15、A ， 则 3 sin,1 32 A ， 131 3 sin, 2232 A . 即coscoscosABC的取值范围是 31 3 , 22 . 12、 【2020 年山东卷】.在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第 9 页 / 共 32 页 【答案】详见解析 【解析】 】解法一：解法一： 由sin3sinAB=可得：3 a b

16、 ， 不妨设3 ,0am bm m， 则： 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ，即c m. 选择条件选择条件的解析：的解析： 据此可得： 2 333acm mm ，1m，此时1cm. 选择条件选择条件的解析：的解析： 据此可得： 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm ， 则： 2 13 sin1 22 A ，此时： 3 sin3 2 cAm，则：2 3cm . 选择条件选择条件的解析：的解析： 可得1 cm bm ，cb， 与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：3, 6 sinAsinB CBAC , 3sin3sin 6

17、 sinAACA , 31 3sin3?3? 22 sinAACsinAcosA ， 3sinAcosA ,3tanA , 2 3 A , 6 BC , 若选，3ac ,33abc, 2 33c ,c=1; 若选，3csinA,则 3 3 2 c ,2 3c ; 若选,与条件3cb矛盾. 13 、 【 2019 年 高 考 全 国 卷 理 数 】ABC的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 第 10 页 / 共 32 页 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若 22abc ，求 sinC 【答案】 （1）60A

18、； （2） 62 sin 4 C . 【解析】 （1）由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC ， 故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A ，所以60A （2）由（1）知120BC ， 由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC，可得 2 cos60 2 C 由于0120C ，所以 2 sin60 2 C ，故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 14、 【2019 年高考全国卷理数】 ABC 的

19、内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 【答案】 （1）B=60 ； （2） 33 (,) 82 . 第 11 页 / 共 32 页 【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA 因为sinA0，所以sinsin 2 AC B 由180ABC ，可得sincos 22 ACB ，故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ， 因此B=60 （2）由题设及（1）知ABC的面积 3 4 AB

20、C Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC为锐角三角形，故0 A90 ，0 C90 ， 由（1）知A+C=120 ，所以30 C0，所以 cosB 4 5，则 sinB 1cos 2B3 5，故 sinA 24 25，因为 A2B，所以 cosAcos2B2cos 2B17 25，所以 sin A 4 sinAcos 4 cosAsin 4 17 2 50 . 5、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）在中，为的平分线，则 第 21 页 / 共 32 页 _ 【答案】 【解析】 原题图形如图所示： 则： 设，则，又 解得：

21、 本题正确结果： 6、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）在ABC中，5AB，BAC的平分线交边BC于D.若 45ADC o. = 5BD ，则sinC _. 【答案】 2 5 5 【解析】ABD中，由正弦定理可得， 55 sinsin135BAD ，所以 10 sin 10 BAD ， AD为BAC的平分线即 10 sinsin 10 BADCAD， 1023 1022 5 sinsin45 1021025 CDAC . 故答案为： 2 5 5 . 第 22 页 / 共 32 页 7、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b

22、， c，若 4 5b ，5c ，2BC，则cosC =_，点D为边BC上一点，且6BD，则ADC的面 积为_. 【答案】 2 5 5 10 【解析】 因为4 5b ，5c ，2BC， 由正弦定理可得： sinsin bc BC ， 所以 4 554 5 sin2sin2sincosCCCC ， 则 2 5 cos 5 C ； 2 554 sin2sincos2 555 BCC， 14 5612 25 ABD S ， 由余弦定理可得： 2 2 58025 cos 58 5 a C a ， 解可得5a（舍)或11a ， 所以 6 5 ABD ADC SBD SCD ， 5 1210 6 ADC S

23、 故答案为： 2 5 5 ，10 8、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC的面 第 23 页 / 共 32 页 积是2 2，3b， 1 cos 3 C 则c_； sin2 sin B C _. 【答案】3 2 3 【解析】 由已知， 1 cos 3 C ，得 2 2 sin 3 C ，所以 1 sin2 2 2 abC ，解得2a，由余弦定理得 22 1 2cos492 2 33 3 cababC ； sin22sincos2 cos sinsin BBBb B CCc 1 2cos2 3 B 2 3 . 故答案为： （1

24、）3 ； （2） 2 3 9、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已 知 2 3sin2cos0 2 AC B . （1）求角 B 的大小； （2）若 2 sin2sinsinBAC，且ABC的面积为4 3，求ABC的周长. 【答案】 （1） 2 3 B ； （2）4 2 4 3 . 【解析】 2 3sin2cos3sin(1cos() 2 AC BBAC ABC 3sin(1cos()3sin(1cos )BACBB 3sincos12sin10 6 BBB 1 sin 62 B (0, )B， 7 , 666 B 5 6

25、6 B ， 2 3 B 解法 2：ABC， 第 24 页 / 共 32 页 所以 222 3sin2cos3sin2cos3sin2sin 222 ACBB BBB 2 2 3sincos2sin2sin3cossin0 222222 BBBBBB (0, )B，sin0 2 B ，3cossin0 22 BB tan3 2 B ，0, 22 B ， 23 B ， 2 3 B （2）由（1）知 2 3 B ，所以ABC的面积为 123 sin4 3 234 acac ，16ac 因为 2 sin2sinsinBAC，由正弦定理可得 2 232bac，4 2b 由余弦定理 2222 2 2cos

26、()32 3 bacacacac 2 ()3248acac，4 3ac 所以ABC的周长为4 24 3 10、 （2020 蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边.已知4a， 5AB AC ，求： （1） tantan tantan AA BC 的值； （2）BC边上的中线AD的长. 【答案】(1) 16 5 (2) 3AD 【解析】 （1） tantansincoscos tantancossinsin AAABC BCABC sincossinsincos cossinsin ABCBC ABC 2 sin sinsincos A BCA 22 16 c

27、os5 aa bcAAB AC . （2）由余弦定理 222 2cosabcbcA，即： 22 1610bc， 22 26bc . 第 25 页 / 共 32 页 法一：设AD的长为x.则在ABD中，由余弦定理得： 22 4 cos 4 xc ADB x ， 在ACD中，由余弦定理得： 22 4 cos 4 xb ADC x ， 222 28 coscos0 4 xcb ADBADC x ， 得3x ，即：3AD. 法二： 1 2 ADABAC， 2 22 11 226 109 44 ADcbAB AC， 即：3AD. 题型三题型三 与正余弦定理有关的开放型问题与正余弦定理有关的开放型问题 1

28、、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 在 3 cos 5 A， 2 5 cos 5 C ， sinsinsincCA bB，60B ， 2c ， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若3a ，_，求ABC的面积 S. 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 选 3 cos 5 A， 2 5 cos 5 C ， 4 sin 5 A ， 5 sin 5 C ， sinsinsincoscossinBA CACAC 42 53511 5 555525 ， 第 26 页 / 共 32 页 由正弦定理得 11

29、 5 3 sin33 5 25 4 sin20 5 aB b A ， 1133 5599 sin3 2220540 SabC . 选 sinsinsincCA bB， 由正弦定理得 22 cab . 3a ， 22 3bc . 又60B ， 222 1 92 33 2 bccc ， 4c ， 1 sin3 3 2 SacB. 选 2c ， 1 cos 8 A ， 由余弦定理得 222 123 822 b b ，即 2 50 2 b b ， 解得 5 2 b 或2b （舍去）. 2 3 7 sin1 cos 8 AA， ABC的面积 1153 715 7 sin2 222816 SbcA . 故

30、答案为：选为 99 40 ；选为3 3；选为15 7 16 . 2、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）在条件()(sinsin)()sinabABcbC， 第 27 页 / 共 32 页 sincos() 6 aBbA ，sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，6b c ，2 6a ， . 求ABC的面积. 【答案】见解析 【解析】若选： 由正弦定理得(ab)()(c b)abc， 即 222 bcabc， 所以 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 因为(0, )A，

31、所以 3 A . 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6b c ，所以4bc ， 所以 11 sin4 sin3 223 ABC SbcA . 若选： 由正弦定理得sinsinsincos() 6 ABBA . 因为0B，所以sin0B，sincos() 6 AA ， 化简得 31 sincossin 22 AAA， 即 3 tan 3 A ，因为0A，所以 6 A . 又因为 222 2cos 6 abcbc ， 所以 2222 ()6(2 6) = 2323 bca bc ，即24 12 3bc ， 所以 111 sin(24 12 3)63 3 222 ABC SbcA

32、 . 若选： 第 28 页 / 共 32 页 由正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB ， 因为0B，所以sin0B， 所以sinsin 2 BC A ，又因为BCA， 所以cos2sincos 222 AAA ， 因为0A，0 22 A ，所以cos0 2 A ， 1 sin 22 A ， 26 A ，所以 3 A . 又 2222 ()3abcbcbcbc， 2 6a ，6b c ，所以4bc ， 所以 11 sin4 sin3 223 ABC SbcA . 3、 （2020 届山东省日照市高三上期末联考）在ABC面积2 ABC S， 6 ADC 这两个条件中任选 一个，补充

33、在下面问题中，求AC. 如图，在平面四边形ABCD中， 3 4 ABC ，BACDAC，_，24CDAB，求AC. 【答案】见解析 【解析】 选择： 113 sin2sin2 224 ABC SAB BCABCBC 所以 2 2BC ； 由余弦定理可得 222 2cosACABBCAB BCABC 2 482 2 2 220 2 第 29 页 / 共 32 页 所以202 5AC 选择 设BACCAD，则0 4 ， 4 BCA ， 在ABC中 sinsin ACAB ABCBCA ，即 2 3 sinsin 44 AC 所以 2 sin 4 AC 在ACD中， sinsin ACCD ADCC

34、AD ，即 4 sin sin 6 AC 所以 2 sin AC . 所以 22 sin sin 4 ，解得2sincos， 又0 4 ，所以 5 sin 5 ， 所以 2 2 5 sin AC . 4、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同 时满足下列四个条件中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A； 6a ； 2 2b . （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】 （

35、1），或，； （2）3. 【解析】 （1）由 2 63 3 baac cab 得， 222 32 6acbac ， 第 30 页 / 共 32 页 所以 222 6 cos 23 acb B ac ， 由 2 cos22cos1 2 A A得， 2 2coscos10AA ， 解得 1 cos 2 A或cos1A（舍） ，所以 3 A ， 因为 61 cos 32 B ，且 0,B，所以 2 3 B，所以AB，矛盾. 所以ABC不能同时满足，. 故ABC满足，或，； （2）若ABC满足， 因为 222 2cosbacacB，所以 2 6 8626 3 cc ，即 2 420cc . 解得62c

36、 . 所以ABC的面积 1 sin32 2 SacB. 若ABC满足，由正弦定理 sinsin ab AB ，即 62 2 sin3 2 B ，解得sin1B， 所以 2c ，所以ABC的面积 1 sin3 2 SbcA. 5、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在3( cos)sinbCacB；22 cosacbC ； sin3 sin 2 AC bAa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC中， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_，2 3,b 4ac ， 求ABC 的面积. 【答案】横线处任填一个都可以，面积为3 【解析】

37、由正弦定理，得3(sincossin)sinsinBCACB. 由sin sin()sincoscossinABCBCBC ， 得3cossinsinsinBCCB. 第 31 页 / 共 32 页 由0C，得sin0C . 所以3cossinBB. 又cos0B （若cos0B，则sin0,B 22 sincos0BB这与 22 sincos1BB矛盾） ， 所以tan3B . 又0B，得 2 3 B . 由余弦定理及2 3b ， 得 222 2 (2 3)2cos 3 acac ， 即 2 12()acac.将4ac 代入，解得4ac . 所以 1 sin 2 ABC SacB 13 4

38、22 3 . 在横线上填写“22 cosacbC ”. 解：由22 cosacbC 及正弦定理，得 2sinsin2sincosACBC. 又sin sin()sincoscossinABCBCBC ， 所以有2cossinsin0BCC. 因为(0, )C，所以sin0C . 从而有 1 cos 2 B .又(0, )B， 所以 2 3 B 由余弦定理及2 3b ， 得 222 2 (2 3)2cos 3 acac 即 2 12()acac.将4ac 代入， 解得4ac . 所以 113 sin43 222 ABC SacB . 在横线上填写“sin3 sin 2 AC bAa ” 第 32 页 / 共 32 页 解：由正弦定理，得sinsin3sinsin 2 B BAA . 由0A，得sinA， 所以sin3cos 2 B B 由二倍角公式，得2sincos3cos 222 BBB . 由0 22 B ，得cos0 2 B ，所以 3 sin 22 B . 所以 23 B ，即 2 3 B . 由余弦定理及2 3b ， 得 222 2 (2 3)2cos 3 acac . 即 2 12()acac.将4ac 代入， 解得4ac . 所以 1 sin 2 ABC SacB 13 4 22 3 .