考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质（教师版）备战2021年新高考数学微专题补充考点精练

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1、 第 1 页 / 共 20 页 考点考点 12 y=Asin(wx+)的图像与性质的图像与性质 1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理 解正弦函数、余弦函数在 0 ,2 ,正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等) 2. 了解三角函数 y = A sin ( x + )的实际意义及其参数 A , , 对函数图像变化 的影响;能画出 y = A sin (x + )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换 得到 y = A sin ( x + )的图像 . 3. 会用三角函数解

2、决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型 . 1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题 为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此 类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性 质,并能运用这些性质去熟练地解题 . 2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本 的正弦、余弦、正切函数来处理 1、函数 f ( x ) = A sin ( x + )的图像的平移 和伸缩变换以及根据图像确定 A ,

3、, 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考 查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( x + )的图像和性质。 1、 【2020 年江苏卷】.将函数 y= sin(2) 4 3x 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的 对称轴的方程是_. 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 20 页 【答案】 5 24 x 【解析】3sin2()3sin(2) 6412 yxx 7 2()() 122242 k

4、xkkZxkZ 当1k 时 5 24 x 故答案为： 5 24 x 2、【2020 年全国 1 卷】 设函数 ( )cos () 6 f xx在 ,的图像大致如下图， 则 f(x)的最小正周期为 （ ） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ， 将它代入函数 f x可得： 4 cos0 96 又 4 ,0 9 是函数 f x图象与x轴负半轴的第一个交点， 所以 4 962 ，解得： 3 2 所以函数 f x的最小正周期为 224 3 3 2 T 故选：C 第 3 页 / 共 20 页 3、 【2020 年全国 3 卷

5、】16.关于函数 f（x）= 1 sin sin x x 有如下四个命题： f（x）的图像关于 y轴对称 f（x）的图像关于原点对称 f（x）的图像关于直线 x= 2 对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 【答案】 【解析】对于命题， 15 2 622 f ， 15 2 622 f ，则 66 ff ， 所以，函数 f x的图象不关于y轴对称，命题错误； 对于命题，函数 f x的定义域为,x xkkZ，定义域关于原点对称， 111 sinsinsin sinsinsin fxxxxf x xxx ， 所以，函数 f x的图象关于原点对称，命题正确； 对于命题， 11 sinc

6、os 22cos sin 2 fxxx x x ， 11 sincos 22cos sin 2 fxxx x x ，则 22 fxfx ， 所以，函数 f x的图象关于直线 2 x 对称，命题正确； 对于命题，当0 x 时，sin0 x，则 1 sin02 sin f xx x ， 命题错误. 故答案为：. 4、 【2020 年天津卷】8.已知函数( )sin 3 f xx 给出下列结论： ( )f x的最小正周期为2； 第 4 页 / 共 20 页 2 f 是 ( )f x的最大值； 把函数 sinyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，可得到函数( )yf x的图象 其中所有正确结论

7、的序号是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为( )sin() 3 f xx ，所以周期 2 2T ，故正确； 51 ()sin()sin1 22362 f ，故不正确； 将函数 sinyx 的图象上所有点向左平移 3 个单位长度，得到sin() 3 yx 的图象， 故正确. 故选：B. 5、 【2020 年山东卷】.下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= （ ） A. sin( 3 x） B. sin(2 ) 3 x C. cos(2 6 x） D. 5 cos(2 ) 6 x 【答案】BC 【解析】由函数图像可知： 2 2362 T ，则 22 2 T

8、 ，所以不选 A, 当 2 5 36 212 x 时，1y 53 22 122 kkZ ， 解得： 2 2 3 kkZ， 即函数的解析式为： 2 sin 22sin 2cos 2sin2 36263 yxkxxx . 第 5 页 / 共 20 页 而 5 cos 2cos(2 ) 66 xx 故选：BC. 6、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 A B C D 【答案】D 【解析】由 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ，得 ( )f x是奇函数，其图象关于原点对称， 排除

9、 A又 2 2 1 42 2 ( )1, 2 ( ) 2 f 2 ()0 1 f ，排除 B，C，故选 D 7、【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 【答案】C 【解析】 sinsinsinsin,fxxxxxf xf x为偶函数，故正确 当 2 x时， 2sinf xx，它在区间, 2 单调递减，故错误 当0 x时， 2sinf xx，它有两个零点：0 ；当0 x 时， sinsinf xx

10、x 2sinx，它有一个零点： ，故 f x在, 有3个零点：0 ，故错误 第 6 页 / 共 20 页 当2, 2xkkk N时 ， 2 s i nfxx； 当2, 22xkkk N时 ， s i ns i n0fxxx，又 f x为偶函数， f x的最大值为2，故正确 综上所述，正确，故选 C 8、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 )单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为sin |yx的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D； 因

11、为coscosyxx，周期为2，排除 C； 作出cos2yx图象如图 2，由图象知，其周期为 2 ，在区间( 4 ， 2 )单调递增，A 正确； 作出sin2yx的图象如图 3，由图象知，其周期为 2 ，在区间( 4 ， 2 )单调递减，排除 B， 故选 A 图 1 图 2 图 3 第 7 页 / 共 20 页 9、【2019 年高考全国卷理数】设函数 f x=sin（ 5 x ）(0)，已知 f x在0,2有且仅有 5 个零点，下述四个结论： f x在（0,2）有且仅有 3 个极大值点 f x在（0,2）有且仅有 2 个极小值点 f x在（0, 10 ）单调递增 的取值范围是12 29 5

12、10 ，) 其中所有正确结论的编号是 A B C D 【答案】D 【解析】若( )f x在0,2上有 5 个零点，可画出大致图象， 由图 1 可知，( )f x在(0,2)有且仅有 3 个极大值点.故正确； 由图 1、2 可知，( )f x在(0,2)有且仅有 2 个或 3 个极小值点.故错误； 当 f x=sin（ 5 x ）=0 时， 5 x =k（kZ），所以 5 k x ， 因为( )f x在0,2上有 5 个零点， 所以当 k=5 时， 5 5 2x ，当 k=6 时， 6 5 2x ，解得 1229 510 ， 第 8 页 / 共 20 页 故正确. 函数 f x=sin（ 5 x

13、 ）的增区间为： 2 2 252 kxk， 73 22 1010 kk x . 取 k=0， 当 12 5 时，单调递增区间为 71 248 x， 当 29 10 时，单调递增区间为 73 2929 x， 综上可得， f x在 0, 10 单调递增.故正确. 所以结论正确的有.故本题正确答案为 D. 10、【2019 年高考天津卷理数】 已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA 是奇函数， 将 yf x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x若 g x的 最小正周期为2，且2 4 g ，则 3 8 f A2 B2 C2 D2 【答案】C

14、 【解析】 ( )f x为奇函数，(0)sin0,= ,0,fAkkkZ0 ； 又 12 ( )sin,2, 1 2 2 g xAxT 2， 又 ( )2 4 g，2A， ( )2sin2f xx， 3 ()2. 8 f故选 C. 11、 【2018 年高考江苏卷】已知函数 sin 2() 22 yx的图象关于直线 3 x 对称，则的值 是_ 【答案】 6 第 9 页 / 共 20 页 【解析】由题意可得 2 sin1 3 ，所以 2 () 326 kkk Z， 因为 22 ，所以 0,. 6 k 【名师点睛】由对称轴得 2 () 326 kkk Z，再根据限制范围求结果.函数 sinyAxB

15、（A0，0）的性质： (1) maxmin ,yAB yAB ； (2)最小正周期 2 T ； (3)由 2 xkkZ求对称轴； (4)由 2 2 22 kxkkZ求增区间;由 3 2 2 22 kxkkZ求减区 间. 12、【2019 年高考浙江卷】设函数( )sin ,f x x xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域 【答案】（1） 2 或 3 2 ；（2） 33 1,1 22 【解析】 （1）因为()sin()f xx是偶函数，所以，对任意实数x都有sin()sin()xx ， 即sin cosco

16、s sinsin coscos sinxxxx， 故2sin cos0 x， 所以cos0 又0,2)， 因此 2 或 3 2 （2） 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 第 10 页 / 共 20 页 3 1cos 2 23 x 因此，函数的值域是 33 1,1 22 题型一题型一 三角函数的性质三角函数的性质 1、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考） 设函数 2 sincos ( )(,0) xxx f xaR a ax ， 若( 2 0 1 9 ) 2f ， (2019)f(

17、) A2 B-2 C2019 D-2019 【答案】B 【解析】 因为 2 sincos ( ) xxx f x ax ， 所以 22 sin()cos()sincos ()( ) xxxxxx fxf x axax ， 因此函数 ( )f x为奇函数， 又( 2019)2f ，所以(2019)( 2019)2ff . 故选 B 2、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数 ( )cos()(0)f xx 的最小正周期为，且对 xR， ( ) 3 f xf 恒成立，若函数( )yf x在0, a上单调递减，则a的最大值是（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】B 【

18、解析】 因为函数 cosf xx的最小正周期为，所以 2 2 ， 二年模拟试题二年模拟试题 第 11 页 / 共 20 页 又对任意的x，都使得 3 f xf ， 所以函数 f x在 3 x 上取得最小值，则 2 2 3 k ，kZ， 即2, 3 kkZ ， 所以 cos 2 3 f xx ， 令222, 3 kxkkZ ，解得, 63 kxkkZ ， 则函数 yf x在0, 3 上单调递减，故a的最大值是 3 . 故选 B 3、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）已知函数( )sin cosf xxx ，则（ ） A f x的最小正周期为 B yf x图象的一条对称轴方程为 4 x C

19、f x的最小值为 2 D f x的0, 2 上为增函数 【答案】B 【解析】 ( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 对 A，( )f x的最小正周期为2，故 A 错误； 对 B，()2sin2 42 f ，( )yf x图象的一条对称轴方程为 4 x ，故 B 正确； 对 C， ( )f x的最小值为 2 ，故 C 错误； 对 D，由0, 2 x ，得 3 , 444 x ，则( )f x在0, 2 上先增后减，故 D 错误 故选：B 4、 （2020 届山东实验中学高三上期中）已知函数 sin23cos2f xaxx的图象关于直线 12 x 对 称，若 12 4f xf x，

20、则 12 a xx的最小值为（ ） 第 12 页 / 共 20 页 A 4 B 2 C D2 【答案】B 【解析】 ( )f x的图象关于直线 12 x 对称， (0)() 6 ff ， 即 33 3 22 a ，1a ， 则 ( )sin23cos22sin 2 6 f xxxx ， 12 () ()4f xf x ， 1 ()2f x ， 2 ()2f x 或 1 ()2f x ， 2 ()2f x， 即 1 ( )f x， 2 ()f x一个为最大值，一个为最小值， 则 12 |xx 的最小值为 2 T ， T， 12 |xx 的最小值为 2 ， 即 12 a xx的最小值为 2 . 故

21、选：B 5、 （2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数( )sin 2 3 f xx ，则下列结论正确的是（ ） A是 ( )f x的一个周期 B ( )f x的图像可由sin2yx 的图像向右平移 3 得到 C ()f x 的一个零点为 6 x D( )yf x的图像关于直线 17 12 x 对称 【答案】ACD 【解析】 ( )sin 2 3 f xx 的最小正周期为，故也是其周期，故 A 正确； ( )f x的图像可由sin2yx 的图像向右平移 6 得到，故 B 错误； 第 13 页 / 共 20 页 77 ()()sinsin0 663 2 3 ff ，故 C 正确； s

22、insin 17175 () 1262 sin1 32 f ，故 D 正确. 故选：ACD 6、.（2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数 sin 0f xx，将函数 yf x的图象向右平移 4 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于_. 【答案】4 【解析】由题得 12 =,4 ,() 42 nn nZ , 因为0，所以的最小值等于 4. 故答案为：4 7、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数( )2sin()(0) 3 f xx 的图 象关于点,0 2 对称，则的最小值为_. 【答案】 4 3 . 【解析】由题意可得, 32

23、kkZ ， 求得 2 2, 3 kkZ， 又0，则的最小值为 4 3 ， 故答案为： 4 3 . 8、(2019 南京学情调研）已知函数 f(x)2sin(2x) 2 2 的图像关于直线 x 6 对称，则 f(0)的值 为_ 【答案】. 1 【解析】由题意， f 6 2sin 2 6 2， 即 sin 3 1， 又因为 2 2 ， 6 3 5 6 ， 所以 3 2 ，即 6 ，所以 f(x)2sin 2x 6 ，f(0)1. 9、(2019 苏锡常镇调研）函数( )cos()(0) 3 f xx 的图像关于直线 2 x 对称，则的最小值 第 14 页 / 共 20 页 为 【答案】. 3 2

24、【解析】解法解法 1：根据余弦函数的图像及性质，令 kx 3 ，Zk得 k x 3 ，令 2 3 k 得k2 3 2 ，Zk，又因为0，所以当0k时取得最小值为. 3 2 解法解法 2： 由条件可得1) 2 ( f， 即1) 32 c o s ( ， 则 k 32 ，Zk， 解得k2 3 2 ，Zk， 又因为0，所以当0k时取得最小值为. 3 2 解后反思：解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！ 10、 (2019 苏州期初调查） 已知函数 f(x)sin(2x)(0)的一条对称轴是 x 5 12， 则_ 【答案】 3 【解析】因为函数 f(x)的一条对称轴是

25、x 5 12， 所以 2 5 12 k 2 ， kZ， 则 k4 3 ， kZ，又因为 00，0)的图像经过点 6 ，2 ，且相邻两条 对称轴间的距离为 2 ，则 f 4 的值为_ 【答案】. 3 【解析】由相邻两条对称轴间的距离为 2 ， 知其最小正周期 T2 2 ， 从而得 2 T 2 2， 又 f(x) 2sin(2x)的图像经过点 6 ，2 ，所以 2sin 3 2，解得 2k 6 (kZ)，又因为 00) 与函数 y |cosx|的图像恰有四个公共点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1x2x3x4，则 x4 1 tanx4_ 【答案

26、】2 【解析】根据图形可得直线 ya(x2)与函数 ycosx 的图像相切于点(x4，cosx4)，其中 x4 4 ， . 因为 ysinx，由导数的几何意义可得 asinx4cosx40 x42 ，化简得 x4 1 tanx42. 8、 （2020 届江苏省南通市高三下学期 3 月开学考试）将函数 sin 6 f xx （0）的图象向左平 移 3 个单位长度后，所得图象关于直线x 对称，则的最小值为_. 【答案】 1 2 【解析】 将函数 f （x） sin （x 6 ） （0） 的图象向左平移 3 个单位后， 可得函数 ysin （x 36 ） 的图象，再根据所得图象关于直线 x 对称，可

27、得 36 k 2 ，kZ， 当 k0 时， 取得最小值为 1 2 ， 故答案为 1 2 题型三题型三 三角函数的解析式三角函数的解析式 1、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）已知函数( ) 2sin(2)f xx 的图象过点,2 6 A ，则( ) 第 19 页 / 共 20 页 A把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数 2sin2yx 的图象 B函数 f x在区间 ,0 2 上单调递减 C函数 f x在区间0,2内有五个零点 D函数 f x在区间 0, 3 上的最小值为 1 【答案】D 【解析】因为函数( )2sin(2)f xx的图象过点,2 6 A ， 所以2sin2 3

28、，因此2, 32 kkZ ， 所以2, 6 kkZ ， 因此( )2sin(2)2sin222sin2 66 f xxxkx ； A 选项，把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin 2 6 yx 的图象，故 A 错； B 选项，由 3 222, 262 kxkkZ 得 2 , 63 kxkkZ ，即函数 ( )2sin 2 6 f xx 的单调递减区间是： 2 , 63 kkkZ ，故 B 错； C 选项，由( ) 2sin20 6 f xx 得2, 6 xkkZ ，即, 122 k xkZ ， 因此0,2x，所以 5111723 , 12121212 x ，共四个零点，故 C

29、错； D 选项，因为 0, 3 x ，所以 5 2, 666 x ，因此 1 sin 2,1 62 x ，所以 2sin21,2 6 x ，即( )2sin 2 6 f xx 的最小值为 1，故 D 正确； 故选：D. 2、 （2020 浙江温州中月高考模拟）已知( ) sin()f xAx （0,04,) 2 A ）过点 1 (0, ) 2 ， 第 20 页 / 共 20 页 且当 6 x 时，函数( )f x取得最大值 1. （1）将函数 ( )f x的图象向右平移 6 个单位得到函数( )g x，求函数( )g x的表达式； （2）在（1）的条件下，函数 2 ( )( )( )2cos1h xf xg xx，求( ) h x在0, 2 上的值域. 【答案】(1)( )sin(2) 6 g xx ；(2) 1,2. 【解析】 (1)由函数 ( )f x取得最大值 1，可得 1A,函数过 1 0, 2 得 1 2 sin，, 26 12, 6662 fkkZ ，04，2 2 6 f xsinx ， 2 66 g xfxsinx . (2) 32222 6 h xsin xcos xsinx ， 71 0,2,21 266626 xxsinx ， 1222 6 sinx ，值域为1,2.