考点08 利用导数研究函数的性质(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 25 页 考点考点 08 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 1、了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次函数的 多项式函数的单调性。 2、了解函数极大(小)值、最大(小)值与导数的关系,会求不超过三次函数的多项式函数 的极大(小)值、最大(小)值。 利用导数研究函数的单调性、奇偶性、极值和最值是近几年高考的热点和难点,在考查中主要 以压轴题的方式出现,难度较大。纵观这几年江苏高考不难发现主要利用导数研究函数的单调 性以及零点和不等式等知识点的结合。因此在复习中要注意加强函数的性质的研究和学习。 1、利用导数研究函数的单调性要注意
2、一下两点: (1)求函数的单调性不要忘记求函数的定义 域。 (2)给定区间的单调性不要忽略等号; 2、利用导数求函数的单调区间,这类问题常于含参的不等式结合,要重视分类讨论的思想和 数形结合的思想的应用。 3、求参数的取值范围,这类问题可以转化为研究函数的极值或者最值问题; 1、 【2020 年江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 3 (0) 2 P,A,B 是圆 C: 22 1 ()36 2 xy 上的两个 动点,满足PAPB,则PAB面积的最大值是_ 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 25 页 【答
3、案】10 5 【解析】PAPBPCABQ 设圆心C到直线AB距离为d,则 2 31 |=2 36,|1 44 ABdPC 所以 222 1 2 36(1)(36)(1) 2 PAB Sdddd V 令 222 (36)(1) (06)2(1)( 236)04ydddydddd (负值舍去) 当04d时,0y ;当46d时,0y,因此当4d 时,y取最大值,即 PAB S取最大值为10 5, 故答案为:10 5 2、 【2019 年高考天津理数】 已知aR, 设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f x xaxx 若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立,则a的取值范围
4、为 A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【答案】C 【解析】当1x 时,(1)1 2210faa 恒成立; 当1x时, 2 2 ( )2202 1 x f xxaxaa x 恒成立, 令 2 ( ) 1 x g x x , 则 222 (11)(1)2(1) 1 ( ) 111 xxxx g x xxx 11 122 (1)20 11 xx xx , 当 1 1 1 x x ,即0 x时取等号, max 2( )0ag x,则0a . 当1x 时,( )ln0f xxax,即 ln x a x 恒成立, 第 3 页 / 共 25 页 令( ) ln x h x x ,则 2 ln1 ( )
5、 (ln ) x h x x , 当ex时,( )0h x ,函数( )h x单调递增, 当0ex时,( )0h x ,函数( )h x单调递减, 则ex时,( )h x取得最小值(e)eh, min ( )eah x, 综上可知,a的取值范围是0,e. 故选 C. 3、【2018 年高考全国卷理数】已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是_ 【答案】 【解析】, 所以当时函数单调递减,当时函数单调递增, 从而得到函数的递减区间为 5 2 ,2 33 kkk Z, 函数的递增区间为 2 ,2 33 kkk Z, 所以当 2 , 3 xkkZ时,函数取得最小值, 此时, 所以,
6、 故答案是. 4、【2019 年高考北京理数】设函数 ee xx f xa (a 为常数)若 f(x)为奇函数,则 a=_; 若 f(x)是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是_ 【答案】1,0 第 4 页 / 共 25 页 【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式,据此可得a的值,然后利用( )0fx 可得 a 的取 值范围. 若函数 ee xx f xa 为奇函数,则 ,fxf x即eeee xxxx aa , 即1e e0 xx a 对任意的x恒成立, 则10a ,得1a. 若函数 ee xx f xa 是 R 上的增函数,则( ) ee0 xx fxa 在 R 上恒成立, 即 2
7、 e x a 在 R 上恒成立, 又 2 e0 x ,则0a, 即实数a的取值范围是,0. 5、 【2018 年高考江苏】 若函数在内有且只有一个零点, 则在 上的最大值与最小值的和为_ 【答案】3 【解析】由 2 620fxxax得0 x或 3 a x , 因为函数 f x在0,上有且仅有一个零点且 0 =1f,所以0,0 33 aa f , 因此 32 210, 33 aa a 解得3a . 从而函数 f x在1,0上单调递增,在0,1上单调递减,所以 max 0 ,f xf min min1 ,11f xfff, 则 maxmin f xf x 0 +11 43.ff 故答案为3. 6、
8、 【2020 年全国 1 卷】.已知函数 2 ( )exf xaxx. (1)当 a=1时,讨论 f(x)的单调性; (2)当 x0 时,f(x) 1 2 x3+1,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当1a 时, 2x xxefx, 21 x fxex, 第 5 页 / 共 25 页 由于 20 x fxe,故 fx单调递增,注意到 00 f ,故: 当,0 x 时, 0,fxf x 单调递减, 当0,x时, 0,fxf x 单调递增. (2)由 3 1 1 2 fxx得, 23 1 1 2 x eaxxx,其中0 x, .当 x=0 时,不等式为:11,显然成立,符合题意; .当0 x时,
9、分离参数 a 得, 3 2 1 1 2 x exx a x , 记 3 2 1 1 2 x exx g x x , 2 3 1 21 2 x xexx gx x , 令 2 1 10 2 x exxh xx, 则 1 x h xex, 10 x hxe , 故 h x单调递增, 00h xh , 故函数 h x单调递增, 00h xh, 由 0h x 可得: 2 1 1 0 2 x exx 恒成立, 故当0,2x时, ( ) 0gx , g x单调递增; 当2,x时, ( ) 0gx 1时, 2 2 121 ( )110h x xxx , 由此可得 h x在1,单调递增,所以当 t1时, 1h
10、 th,即 1 2ln0tt t . 因为 2 1x , 323 331(1)0tttt ,3k , 所以 33232 2 11 3312ln33132lnxtttk ttttttt tt 32 3 36ln1ttt t . 由()(ii)可知,当1t 时, 1g tg,即 32 3 36ln1ttt t , 故 32 3 36ln10ttt t 由可得 121212 20 xxfxfxf xf x . 所以,当3k 时,任意的 12 ,1,x x ,且 12 xx,有 1212 12 2 fxfxf xf x xx . 8、 【2020 年山东卷】已知函数 1 ( )elnln x f xa
11、xa (1)当ae时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围 【解析】 (1)( )ln1 x f xexQ, 1 ( ) x fxe x ,(1)1kfe . (1)1feQ,切点坐标为(1,1+e), 函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(1)(1)yeex ,即12yex, 切线与坐标轴交点坐标分别为 2 (0,2),(,0) 1e , 第 8 页 / 共 25 页 所求三角形面积为 122 2 |= 211ee ; (2)解法一: 1 ( )lnln x f xaexa Q, 1 1 ( )
12、 x fxae x ,且0a. 设( )( )g xfx,则 1 2 1 ( )0, x g xae x g(x)在(0,)上单调递增,即 ( )fx 在(0,)上单调递增, 当1a 时,( )01 f , 11 min f xf, 1f x 成立. 当1a 时, 1 1 a , 1 1 1 a e , 1 1 1 ( )(1)(1)(1)0 a ffa ea a , 存在唯一 0 0 x ,使得 0 1 0 0 1 ()0 x fxae x ,且当 0 (0,)xx时( )0fx,当 0 (,)xx时 ( )0fx , 0 1 0 1 x ae x , 00 ln1lnaxx , 因此 0
13、1 min00 ( )()lnln x f xf xaexa 00 00 11 ln1ln2ln122ln1axaaxa xx 1, 1,f x 1f x 恒成立; 当01a时, (1)ln1,faaa(1)1,( )1ff x不是恒成立. 综上所述,实数 a的取值范围是1,+). 解法二: 11 1 xlna x f xaelnxlnaelnxlna 等价于 1 1 lna xlnx elnaxlnxxelnx , 令 x g xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx , 显然 g x为单调增函数,又等价于1lnaxlnx ,即1lnalnxx , 令 1h xlnxx ,则 11
14、1 x h x xx 在0,1上 h(x)0,h(x)单调递增;在(1,+)上 h(x)0,则当(,0), 3 a x 时,( )0fx;当0, 3 a x 时,( )0fx故( )f x在 (,0), 3 a 单调递增,在0, 3 a 单调递减; 若 a=0,( )f x在(,) 单调递增; 若 a0,则当,(0,) 3 a x 时,( )0fx;当,0 3 a x 时,( )0fx故( )f x在 ,(0,) 3 a 单调递增,在,0 3 a 单调递减. (2)满足题设条件的 a,b 存在. (i)当 a0 时,由(1)知,( )f x在0,1单调递增,所以( )f x在区间0,l的最小值
15、为(0)=fb,最 大值为(1)2fab.此时 a,b 满足题设条件当且仅当1b,21ab ,即 a=0,1b (ii)当 a3 时,由(1)知,( )f x在0,1单调递减,所以( )f x在区间0,1的最大值为(0)=fb,最 小值为(1)2fab此时 a,b 满足题设条件当且仅当21a b ,b=1,即 a=4,b=1 (iii)当 0a3 时,由(1)知,( )f x在0,1的最小值为 3 327 aa fb ,最大值为 b 或2 a b 若 3 1 27 a b ,b=1,则 3 3 2a ,与 0a3 矛盾. 第 10 页 / 共 25 页 若 3 1 27 a b ,21ab ,
16、则3 3a 或3 3a 或 a=0,与 0a3 矛盾 综上,当且仅当 a=0,1b或 a=4,b=1 时,( )f x在0,1的最小值为-1,最大值为 1 10、【2019 年高考北京理数】已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx ()求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程; ()当 2,4x 时,求证:6( )xf xx; ()设( ) |( )()|()F xf xxaaR,记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M(a)当 M(a)最 小时,求 a 的值 【解析】 ()由 32 1 ( ) 4 f xxxx得 2 3 ( )21 4 fxxx. 令( )1fx,即 2 3 2
17、11 4 xx ,得0 x或 8 3 x . 又(0)0f, 88 ( ) 327 f, 所以曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程是yx与 88 273 yx, 即yx与 64 27 yx. ()令( )( ), 2,4g xf xx x . 由 32 1 ( ) 4 g xxx得 2 3 ( )2 4 g xxx. 令( )0g x 得0 x或 8 3 x . ( ), ( )g x g x的情况如下: x 2 ( 2,0) 0 8 (0, ) 3 8 3 8 ( ,4) 3 4 ( )g x ( )g x 6 0 64 27 0 所以( )g x的最小值为6,最大值为0. 故6( )
18、0g x ,即6( )xf xx. 第 11 页 / 共 25 页 ()由()知, 当3a时,( )(0) |(0)|3MFgaaa ; 当3a时,( )( 2) |( 2)| 63MFagaa; 当3a时,( )3M a . 综上,当( )M a最小时,3a. 11、【2019 年高考浙江】已知实数0a,设函数( )= ln1,0.f xaxxx (1)当 3 4 a 时,求函数( )f x的单调区间; (2)对任意 2 1 ,) e x均有( ), 2 x f x a 求a的取值范围 注:e=2.71828为自然对数的底数 【解析】(1)当 3 4 a 时, 3 ( )ln1,0 4 f
19、xxx x 31( 12)(2 11) ( ) 42 141 xx f x xxxx , 所以,函数( )f x的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+) (2)由 1 (1) 2 f a ,得 2 0 4 a 当 2 0 4 a时,( ) 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a ,则2 2t 设 2 ( )212ln ,2 2g ttxtxx t, 则 2 11 ( )(1)2ln x g tx tx xx (i)当 1 , 7 x 时, 1 12 2 x ,则 ( )(2 2)84 2 12lng tgxxx 记 1 ( )42 2 1l
20、n , 7 p xxxx x,则 第 12 页 / 共 25 页 2212121 ( ) 11 xxxx p x xxxx x (1)1( 221) 1(1)(12 ) xxx x xxxx . 故 x 1 7 1 (,1) 7 1 (1,) ( )p x 0 + ( )p x 1 ( ) 7 p 单调递减 极小值(1)p 单调递增 所以,( )(1)0p xp 因此,( )(2 2)2 ( )0g tgp x (ii)当 2 11 , e7 x 时, 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx 令 2 11 ( )2ln(1), e7 q xxxxx , 则 ln2 ( )10 x
21、 q x x , 故( )q x在 2 11 , e7 上单调递增,所以 1 ( ) 7 q xq 由(i)得, 12 712 7 (1)0 7777 qpp 所以,( )0q x 因此 1( ) ( )10 2 q x g tg xx 由(i) (ii)知对任意 2 1 , e x ,2 2,), ( ) 0tg t, 第 13 页 / 共 25 页 即对任意 2 1 , e x ,均有( ) 2 x f x a 综上所述,所求 a 的取值范围是 2 0, 4 题型一题型一 函数的单调性函数的单调性 1、 (2020 届山东省济宁市高三上期末)已知函数 ln10f xxa xa a,若有且只
22、有两个整数 12 ,x x使得 1 0f x,且 2 0f x,则a的取值范围是( ) A 3ln3 0, 2 B0,2ln2 C 3ln3 ,2ln2 2 D 2ln24 3ln3 , 32 【答案】C 【解析】 ln10f xxa xa a, 1 1fxa x , 1ln111faa 当1a 时,函数单调递增,不成立; 当1a 时,函数在 1 0, 1a 上单调递增,在 1 , 1a 上单调递增; 有且只有两个整数 12 ,x x使得 1 0f x,且 2 0f x,故 20f且 30f 即ln2220,ln22aaa; ln33 ln3330, 2 aaa 故选:C. 2、 (2020
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