考点06 函数模型及其应用(教师版)备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
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1、 第 1 页 / 共 16 页 考点考点 06 函数模型及其应用函数模型及其应用 1、能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。 2、感受导数在解决实际问题中的作用。 利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块,导数是求函数的一种重要工具,对 函数的解析式没有特殊的要求,无论解析式是复杂或者简单,与三角函数还是与其他模块的结 合都可以运用导数求解,常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合,这 是近几年江苏高考命题的趋势。 在高考复习中要注意以下几点: 1、导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步:弄清问题,选取自变量,确立函数的取值 范围;第二步:构建函数,将实际问题
2、转化为数学问题;第三步:解决构建数学问题;第四步: 将解出的结果回归实际问题,对结果进行取舍。 2、在建立函数模型时,要注意函数的定义域,要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、 三角函数等知识点模块的结合。 1、 【2020 年山东卷】.基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染 者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模 型:(e) rt I t 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律, 指数增长率r与R0, T近似满足R0 =1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28,
3、T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1倍需要 的时间约为(ln20.69) ( ) 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 五年高考真题五年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 16 页 A. 1.2天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】因 0 3.28R ,6T , 0 1RrT ,所以 3.28 1 0.38 6 r ,所以 0.38rtt I tee, 设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 t天, 则 1 0.38()0.38 2 t tt ee ,所以 1 0.38 2
4、 t e,所以 1 0.38ln2t , 所以 1 ln20.69 1.8 0.380.38 t 天. 故选:B. 2、 【2020 年北京卷】为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的 企业要限期整改、 设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为 ( )Wf t , 用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所 示. 给出下列四个结论: 在 12 , t t这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在 2 t时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在
5、 3 t时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中,在 1 0,t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】 ( )( )f bf a ba 表示区间端点连线斜率的负数, 第 3 页 / 共 16 页 在 12 , t t这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比 乙企业强;正确; 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中,甲企业在 12 , t t这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大, 即在 12 , t t的污水治理能力最强错误; 在 2 t时刻,甲切线的斜率
6、比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企 业强;正确; 在 3 t时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;正确; 故答案为: 3、 【2020 年江苏卷】17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底 O在水平线 MN上、 桥AB与 MN平行, OO为铅垂线(O 在 AB上).经测量, 左侧曲线AO上任一点D到 MN的距离 1 h(米) 与D到 OO 的距离a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ; 右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h(米)与F到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6
7、 800 hbb .已知点 B到 OO的距离为 40 米. (1)求桥 AB 的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF,且 CE为 80 米,其中 C,E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时,桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? 【解析】 (1)由题意得 23 11 |406 40 | 80 40800 O AO A | | 8040120ABO AO B 米 (2)设总造价为 ( )f x万元, 2 1 |80160 40 O O,设|O Ex , 第 4 页 / 共 1
8、6 页 32 131 ( )(1606 )160(80) ,(040) 800240 f xkxxkxx 322 1336 ( )(160),( )()020 8008080080 f xkxxfxkxxx (0 舍去) 当020 x时,( )0fx ;当2040 x时,( )0fx ,因此当20 x=时, ( )f x取最小值, 答:当20OE米时,桥墩 CD 与 EF的总造价最低. 4、【2019 年高考北京理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度 满足 m2m1= 2 1 5 2 lg E E ,其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k=1,2)已知太阳的星
9、等是26.7,天狼星的 星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A1010.1 B10.1 Clg10.1 D1010.1 【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E , 令 21 1.45,26.7mm , 则 1 21 2 22 lg( 1.4526.7)10.1, 55 E mm E 从而 10.1 1 2 10 E E . 故选 A. 5、【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着 陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器
10、的通讯联系为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 2 L点的轨 道运行 2 L点是平衡点,位于地月连线的延长线上设地球质量为 M,月球质量为 M,地月距离为 R, 2 L点到月球的距离为 r, 根据牛顿运动定律和万有引力定律, r 满足方程: 121 223 () () MMM Rr RrrR . 设 r R ,由于的值很小,因此在近似计算中 345 3 2 33 3 (1) ,则 r 的近似值为 第 5 页 / 共 16 页 A 2 1 M R M B 2 1 2 M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3 M R M 【答案】D 【解析】由
11、 r R ,得rR, 因为 121 223 () () MMM Rr RrrR , 所以 121 22222 (1) (1) MMM RRR , 即 543 23 2 22 1 133 (1)3 (1)(1) M M , 解得 2 3 1 3 M M , 所以 2 3 1 . 3 M rRR M 故选 D. 6、 【2018 年江苏高考】 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 的一段圆弧( 为此圆弧的中 点)和线段构成已知圆 的半径为 40米,点 到的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室 大棚,大棚 内的地块形状为矩形,大棚 内的地块形状为,要求均在线段上,均在 圆弧上设与所成的角为
12、 (1)用 分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围; (2)若大棚 内种植甲种蔬菜,大棚 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求 当 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 第 6 页 / 共 16 页 【解析】分析: (1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公 式得结果,最后根据实际意义确定的取值范围; (2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根 据单调性确定函数最值取法. 详解: 解: (1)连结 PO 并延长交 MN 于 H,则 PHMN,所以 OH=10 过 O 作 OEBC于 E,则 OEMN,所以COE=, 故 O
13、E=40cos,EC=40sin, 则矩形 ABCD的面积为 2 40cos(40sin+10)=800(4sincos+cos), CDP 的面积为 2 40cos(4040sin)=1600(cossincos) 过 N 作 GNMN,分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K,则 GK=KN=10 令GOK=0,则 sin0= ,0(0, ) 当 0, )时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, 所以 sin的取值范围是 ,1) 答:矩形 ABCD的面积为 800(4sincos+cos)平方米,CDP的面积为 1600(cossincos),sin 的取值范围是 ,1) (2)因为甲、乙两种
14、蔬菜的单位面积年产值之比为 43, 设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积的年产值为 3k(k0), 则年总产值为 4k 800(4sincos+cos)+3k 1600(cossincos) =8000k(sincos+cos),0, ) 设 f()= sincos+cos,0, ), 则 令,得 = , 当 (0, )时,所以 f()为增函数; 第 7 页 / 共 16 页 当 ( , )时,所以 f()为减函数, 因此,当 = 时,f()取到最大值 答:当 = 时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 题型一、一元二次函数、指数函数等模型一元二次函数、指数函数等模型 1、 (2020
15、届北京市顺义区高三上学期期末) 某部影片的盈利额 (即影片的票房收入与固定成本之差) 记为 y , 观影人数记为x,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图 (2) 、图(3)中的实线分别为调整后 y 与x的函数图象. 给出下列四种说法: 图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本; 图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; 图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; 图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本. 其中,正确的说法是_.(填写所有正确说法的编号) 【答案】 【解析】解:由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为y kx
16、b , 0,0kb,即k为票价, 当0k 时,yb,则b为固定成本, 二年模拟试题二年模拟试题 第 8 页 / 共 16 页 由图象(2)知,直线向上平移, k不变,即票价不变, b变大,则b变小,成本减小. 故错误,正确; 由图象(3)知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大, k变大,即提高票价, b不变,则b不变,成本不变. 故正确,错误; 故答案为: 2、 (2020 届山东省济宁市高三上期末)2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中 华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“
17、放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的 质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足5730 0 2 t NN ( 0 N表示碳14原有的质量) ,则经过5730年 后,碳14的质量变为原来的_;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 1 2 至 3 5 , 据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5730年之间 (参考数据: 22 log 31.6,log 52.3) 【答案】 1 2 4011 【解析】 当5730t 时, 1 00 1 2 2 NNN 经过5730年后,碳14的质量变为原来的 1 2 令 0 3 5 NN,则 5730 3 2 5 t 222 3 l
18、 o gl o g 3l o g 50 . 7 5 7 3 05 t 0.7 57304011t 良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为 1 2 ;4011 3、(2019 南京、盐城一模)盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”, 对环境进行了大力整治,目前盐城市的空气质量位列全国前十,吸引了大量的外地游客某旅行社组织了 一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园,数据显示,近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x) mlnxx 600 x x21446(4x22, mR), 其中 x 为每天的时刻, 若凌晨 6 点时, 测得空气质量指数为
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